3.2.1 双曲线及其标准方程 教学设计

3.2.1双曲线及其标准方程
一、内容和内容解析
1.内容
双曲线的几何特征和概念，双曲线的标准方程.
2.内容解析
本节课是人教A版选择性必修第一册第三章《圆锥曲线》第二节《双曲线》第一课时《双曲线及其标准方程》．圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容，从本章知识的内部结构看，椭圆、双曲线、抛物线的研究背景、研究问题、研究方法具有高度的相似性，因而．本单元的学习可以类比椭圆的研究过程．
本单元的内容是在学生学习了椭圆及其标准方程，并通过方程研究了椭圆的几何性质的基础上，利用信息技术手段，抽象双曲线的几何特征，然后类比椭圆标准方程的推导过程，建立双曲线的标准方程．再利用方程研究双曲线的几何性质，并利用它们解决简单的实际问题.从知识的前后联系看，本单元是坐标法的进一步应用，所要解决的仍然是解析几何的“两个基本问题”：建立曲线的方程；通过方程研究曲线的几何性质．本节课是本单元的起始．
本节课最重要、最根本的数学思想方法是坐标法．另外，在解决问题的过程中，数形结合、类比、特殊化与一般化、转化与化归也发挥着重要作用．本节课的学习，有助于学生学会合乎逻辑地、有条理地、严谨精确地思考和解决问题，有助于发展学生数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算、直观想象等方面的素养．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：双曲线的几何特征和概念，双曲线的标准方程，．
二、目标和目标解析
1.目标
（1）经历从具体情境中抽象出双曲线的过程，掌握双曲线的定义、标准方程．.
（2）了解双曲线的简单应用．
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）借助信息技术，能通过实际绘制双曲线的过程认识双曲线的几何特征、给出双曲线的定义，能通过建立适当的直角坐标系；根据双曲线上的点满足的几何条件列出双曲线上的点的坐标满足的方程，化简列出的方程，得到双曲线的标准方程．
（2）能通过将关于双曲线的实际问题转化为关于双曲线的数学问题，运用双曲线的定义、标准方程解决关于双曲线的数学问题，从而解决关于双曲线的实际问题，发展数学建模素养．
三、教学问题诊断分析
学生对坐标法已有了初步认识，通过直线与圆的方程、椭圆及其标准方程的学习，对用坐标法研究曲线的基本思路与方法已经有了了解，但还不善于自觉运用坐标法，在学习中可能会遇到如下困难．
难点一：如何抽象出双曲线的几何特征．不同于椭圆，对于双曲线来说，需要借助信息技术手段向学生展示，随着P点的运动，两圆的交点的移动路径是怎样的．进而抽象出动点满足的几何条件是到两个定点的距离差的绝对值为定长．
难点二：如何建立适当的直角坐标系．对此，教学中强调适当的标准是所得方程简单，能较好地反映曲线的性质；适当的方法是尽可能使曲线关于原点和坐标轴对称．类比椭圆，观察发现双曲线也具有对称性，并且过两定点的直线就是它的对称轴，在此基础上建立“适当的直角坐标系”．
难点三：如何化简由双曲线的几何特征直接得到的方程．化简这个方程需要两次平方，并且涉及的字母多，对学生的运算能力要求较高．虽然类似椭圆标准方程的推导过程，由于需要去绝对值，方程中含有正负号，如何化简，考查学生运算能力的同时，对学生综合能力也提出了较高要求．
四、教学过程设计
1.概念引入
前面我们介绍了圆锥曲线的形成，并在平面直角坐标系中研究了椭圆及其标准方程．本节课我们将学习第二种圆锥曲线——双曲线．双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线．如发电厂冷却塔的外形就是双曲线的一部分绕轴旋转所成的曲面．那么，什么是双曲线呢？我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题．
问题1：椭圆的定义是什么，它的标准方程是怎样的？
师生活动：学生回答，教师通过学生的答案，强调求曲线方程的步骤以及方程中a、b、c间的关系．
设计意图：通过对椭圆及其标准方程的复习，帮助学生回顾椭圆研究的过程，为研究双曲线及其标准方程做准备．
问题2：既然平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆，那么一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？
师生活动：借助信息技术手段，探究在直线l上取两个定点A、B,P是直线l上的动点．在平面内取两个定点F1F2，以F1为圆心，线段PA为半径作圆，再以F2为圆心，线段PB为半径作圆，探究点P在线段AB上运动时，两圆交点的轨迹；点P在线段AB外运动时，两圆交点的轨迹．
设计意图：通过强化双曲线概念的抽象和建立过程，提高学生思维的严谨性与语言表达能力；同时让学生获得焦点、焦距等概念.
2. 概念的理解
问题3：遵循解析几何研究的内在逻辑，了解椭圆的概念后，应建立双曲线的标准方程．你能类比求椭圆标准方程的方程，尝试建立双曲线的方程？
师生活动：通过生生讨论，明确如何建立适当的直角坐标系．观察双曲线发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，因此，我们取经过两焦点F1F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
追问：对于方程如何
师生活动：学生尝试化简．需先去绝对值，化成
类比椭圆标准方程的化简过程，移项、平方，整理得
平方整理得
从简化、美化入手，继续优化方程．
问题4：讨论以上方程的变形是不是同解变形？
师生活动：明确方程与所给双曲线是等价的，是双曲线的方程，并且称为双曲线的标准方程．感悟方程蕴含的简洁美、对称美，感悟“数”与“形”内在的一致性．
设计意图：明确求曲线的方程的大致步骤，避免推导过程中思维的盲目性；引导学生学会建立适当的直角坐标系；以双曲线标准方程的推导为载体，引导学生掌握推导圆锥曲线方程的一般思路与方法；深化学生对曲线与方程的关系的理解．
3.概念的巩固应用
师生活动：根据焦点位置设双曲线标准方程，且c=5, a=3,求出b.
设计意图：巩固双曲线及其标准方程的概念.
设计意图：本例题是一道实际应用题，指导学生抽象出数学问题，建立适当的直角坐标系进行求解．
4.归纳总结、布置作业
教师引导学生归纳总结本节课知识脉络.
布置作业：（1）教材P121练习 2，3,4．
（2）教材P127习题3.2 1，2．
五、目标检测设计
设计意图：巩固双曲线及其标准方程的概念；在解题过程中可以利用定义求解，也可以利用方程的思想．
2 如图设 A，B 两点的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是 试求M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状
设计意图：由点M的轨迹方程判断轨迹的形状，与3.1例3比较，指导学生发现规律．