3.1.2 椭圆的简单几何性质（第二课时）教案

3.1.2椭圆的简单几何性质（第二课时）
(人教A版选择性必修数学第一册第三章圆锥曲线的方程)
一、教学目标
1.掌握椭圆的第二定义；
2.能够自主探究椭圆的简单几何性质.
二、教学重难点
1.推导椭圆的第二定义和焦半径公式；
2.研究椭圆几何性质的思路与方法.
三、教学过程
1.复习巩固
活动：完成下表
【活动预设】由学生完成上表
【设计意图】带领学生复习上节课学习的椭圆的简单几何性质.
2.课堂探究
2.1 探究1
活动：已知椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点. 为椭圆上一动点，为坐标原点.探究：当在何位置时，最小？又在何位置时，最大？
【活动预设】由学生自主完成
问题1：如果椭圆方程变为一般方程：，结论又会如何呢？
【预设的答案】当在短轴顶点时，；当在长轴顶点时，.
【设计意图】渗透从特殊到一般的思想
2.2 探究2
活动：已知椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点. 为椭圆上一动点. 探究：当在何位置时，最小？又在何位置时，最大？
【活动预设】由学生自主完成
问题2：上述，有什么几何意义？
【预设的答案】代表到直线的距离
【设计意图】渗透数形结合的思想
问题3：也就是说，椭圆上任意一点，它到左焦点的距离和它到直线的距离之比为常数，那么对于一般的椭圆是否有类似的性质呢？我们考虑下面的一般情况：已知椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点. 为椭圆上一动点. 探究：当在何位置时，最小？又在何位置时，最大？
【预设的答案】设，则
因为
所以
即
设直线，到直线的距离为，则，
【设计意图】渗透从特殊到一般的思想.
2.3 概念形成
椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一动点.
左准线，右准线
椭圆第二定义：
到左焦点的距离与它到左准线的距离的比为离心率，即；
到右焦点的距离与它到右准线的距离的比为离心率即.
焦半径公式： ，
， .
3.课堂巩固
例：动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹.
【预设的答案】因为
所以
化简得：
所以
【设计意图】引出椭圆第二定义
拓展：动点定点的距离与到定直线的距离之比是一个常数，动点的轨迹是否也是椭圆呢？
【设计意图】留给学生课后自主研究
4.课后探究
探究1：已知椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点. 为椭圆上一动点. 探究：当在何位置时，最大？又在何位置时，最小？
探究2：已知椭圆，、分别为椭圆的左、右顶点. 为椭圆上一动点. 探究：当在何位置时，最大？又在何位置时，最小？
【设计意图】鼓励学生利用课余时间自主探究
5.课堂小结
思考：这节课我们主要学习了什么内容？体现了哪些数学思想方法？
【设计意图】梳理本节课所学内容，总结数学思想方法.