3.2.2 双曲线的简单几何性质 教学设计
文档属性
| 名称 | 3.2.2 双曲线的简单几何性质 教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 150.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-22 11:59:54 | ||
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文档简介
双曲线的简单几何性质
一、教材分析
“双曲线的几何性质”是人教A版高中数学教材《选择性必修第一册》第3章第2节的内容。它是学习了椭圆的几何性质和双曲线的标准方程之后，对双曲线的进一步认识。双曲线的标准方程对双曲线的几何性质提供了知识准备，椭圆的几何性质的研究为双曲线的几何性质的探究提供了方法铺垫。本节课侧重让学生通过双曲线的方程研究双曲线的几何性质，重点研究双曲线的渐近线。
二、学情分析
教学对象是**高中高二（3）班的学生，学生思维相对比较活跃，有较强的探究问题的能力。学生学习了“椭圆的几何性质”，对用代数方法研究圆锥曲线的几何性质有一定认识。
三、教学目标
（1）体验用双曲线的方程探究几何性质的过程，进一步感悟用代数方法研究几何问题的基本思想。
（2）理解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等
四、重点与难点
教学重点：体悟双曲线几何性质的探究过程，理解双曲线的简单几何性质。
教学难点：双曲线渐近线的理解。
五、课型与教学方法
课型：新授课
教学方法：以问题为主线贯穿始终，以学生为主体，以教师为主导，以核心素养发展为目标，精心设计问题情境，从学生的认知规律出发进行启发式教学，通过类比、探究引导学生对问题的思考，运用学生自主学习、小组合作探究的教学方式。
六、媒体运用
PPT、几何画板辅助教学
七、教学过程设计
（一）复习回顾，提出问题（6分钟）
师：学习了双曲线的方程以后，接下来应该研究什么问题？
生：几何性质。
师：你认为要研究哪些几何性质？
生：范围，对称性，顶点，离心率……
问题1 （教师在黑板上画出双曲线的大致图形）双曲线上任意一点的坐标有什么范围？
生1：算出双曲线与轴的两个交点坐标，再观察图形，可得或。
师：这个方法非常直观，肉眼观察准确吗？有没有可能双曲线的一部分图形在直线和直线之间？
生1：应该没有吧（比较犹豫）。
师：既然从图形不能说清楚，有没有其它办法说清楚？
生2：双曲线的方程变形为，可得，得到或。
师：非常好，从代数的角度，通过方程来研究，得到双曲线位于与所表示的平面区域内。
师：有没有范围限制？
生：（思考了一会儿）可以取全体实数，没有范围限制。
设计意图 本节课没有回顾椭圆几何性质的研究方法。意在通过学生的回答了解学生真实的想法。课堂上，学生没有首先想到从代数变形的角度分析，说明从几何角度分析是学生的自然想法。沿着学生的思路，为了得到更精细的图形，还有哪些限制，使得问题2的提出成为自然。
（二）合作探究，建构数学（25分钟）
问题2 既然没有范围限制，画双曲线时，是否在与所表示的平面区域内可以随意地画？有没有别的限制？
（小组讨论，合作交流）
生3：因为，说明，进而得，当时可得，所以在第一象限内双曲线一定在直线下方，其它象限可以对的正负分类讨论。
生4：其它象限没必要分类讨论。根据对称性，得到第四象限的双曲线在直线上方。再根据双曲线关于轴对称，可得二三象限的双曲线在直线上方和直线下方。
师：利用对称性，很好。从逻辑上应该先说明双曲线的对称性，怎么说明？
生5：方程中，换成，方程不变，说明双曲线关于轴对称。同理可得双曲线关于轴和原点对称。
师：通过大家的努力，我们知道双曲线一定在以直线和为边界的平面区域内。所以，我们在画双曲线时，可以先把这两条直线画出来。下面请同学们在草稿纸上画出双曲线的草图。
（展示同学画的双曲线的草图的形状如下。）
师：你认为哪个图画得更精确？
问题3 在第一象限内，随着的增大，双曲线远离直线还是靠近直线？（其它象限根据对称性研究。）
众：靠近，从老师平时在黑板上画的图看出来。
师：老师的图也不一定精确。
生6：（举手）由方程可知，当和都无穷大时，等式右边的1可以忽略不计，双曲线近似地看成，也就是，说明随着的增大，双曲线与直线越来越接近。（同学们都投来赞许的目光。）
生7：我认为说理还不充分，这只是对方程的一种感觉，没能说清楚。
生8：生6说的是无穷大时的一种状态，没有说明随着增大的过程中，双曲线与直线的接近程度这个变化过程。
师：非常好，你抓住了问题的本质。如何刻画这个变化过程？
生8：应该可以用函数，具体怎么做还没想好。
（小组讨论：如何严格地说明随着的增大，双曲线与直线的接近程度。）
通过小组讨论，得出三种方法：
生9：设为第一象限内双曲线上任意一点，它到直线的距离是，根据，化简得，
在老师的点拨下，变形为，从而得到随的增大而减小。当无穷大时，无限接近0，此时双曲线与直线无限靠近，但永不相交。
生10：过点作直线垂直于轴，与直线在第一象限交于点
则，得到。
生11：过点作直线垂直于轴，与直线在第一象限交于点，再用类似生10的方法。
师：刚才的研究，我们用代数方法严格说明了双曲线与直线和的接近程度，我们把这两条直线称为双曲线的渐近线。下面请看几何画板作出的标准的双曲线。（几何画板展示，并说明顶点、实轴、虚轴。）
问题4 椭圆的离心率可以刻画椭圆的“扁”和“圆”的程度，双曲线中对双曲线有什么影响？
生12：，说明越大，双曲线渐近线的斜率的绝对值越大，双曲线开口越大。
师：我们把刻画双曲线开口大小的量称为双曲线的离心率。
接着，以表格的形式归纳总结出焦点在轴上的双曲线的几何性质，并让学生类比给出焦点在轴上的双曲线的几何性质。
设计意图 以双曲线的渐近线为探究重点，在渐近线的探究过程中，需要用到双曲线的对称性，因此，把对称性的学习作为渐近线探究过程中的一小步自然地融入。探究双曲线的“精细”的图形，是本节课的主线。如果一开始就用几何画板展示双曲线，那么后续的探究过程将索然无味。让几何画板晚出场，激发学生从代数角度探究双曲线的欲望。在形成理性认识的基础上，再回过头用几何画板观察，观察图形的过程正是享受探究成果的过程。
（三）数学运用，内化方法（10分钟）
例1 求出下列双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点、离心率、渐近线方程。
（1） （2）
问题5 从上面两题的解答过程，你有什么发现？
生13：它们离心率相同，渐近线相同
生14：借用生6的想法，可以认为无限增大时，方程右边的1和-2都对方程几乎没有影响，都变成，所以渐近线相同。（生14和生6都露出自豪的表情。）
师：你能得出一般性的结论吗？
生14： 的渐近线相同，进一步得到的渐近线与的取值无关。
（四）反思交流，总结提升（4分钟）
问题6 本节课哪个环节给你印象最深？
生15：和都无穷大时，双曲线方程中右边的1可以忽略不计，这个想法虽然很朴素，却帮助我们得到一般性的结论：的渐近线与的取值无关。
生16：代数方法对渐近线的研究很重要，说明想要精确地研究“形”，就需要考虑“数”。
师：非常好，双曲线的几何性质的研究过程让我们再一次体悟了数形结合。
设计意图 能够在后续学习中进行迁移的，一定是已经内化的数学方法和数学思想。这些不是在课堂总结中老师提出的“数形结合”等词语，而是学生参与的最真实、最自然的课堂体悟。本节课让学生对感悟最深的“点”进行总结、交流，旨在提炼数学活动经验，助推数学内化。
（五）作业布置
教科书43页练习第1、2、3、4题，习题2。3（2）第1题。
八、板书设计
双曲线的几何性质 （双曲线的几何性质表格） （渐近线的证明思路） 例1
自由书写区
九、 教学设计说明与教后反思
数学是自然的，数学教学也是自然的，这是高中数学人教A版教材主编刘绍学先生《主编寄语》中的重要观点。自然的数学教学要求教师放下思维的“身段”，从学生的角度自然地看，自然地想，自然地分析，自然地解决数学问题，实现数学知识的自然生成和数学方法的自然迁移。
1、用学生的眼光观察问题，让数学知识自然建构
从形的角度直观地观察数学对象，是学生认识数学对象的首选。高二学生的抽象思维能力还不完善，加上图形的直观性使得图形信息更容易被学生从头脑中提取。更重要的是，从高一到现在的数学学习中，学生习惯于从形的角度去分析。指数函数、对数函数、三角函数的单调性的研究，都是从函数图象观察得到，并没有进行严格的理论证明。因此，用图形来研究双曲线上点的坐标的范围成为学生的首选就成为必然。以“从形的角度研究的范围”作为后续问题的生长点，从学生观察问题的角度出发，自然地提出问题“既然没有范围限制，画双曲线时，是否在与所表示的平面区域内可以随意地画？有没有别的限制？”这使得直线呼之欲出。在此基础上，进一步从学生的角度提出问题“随着的增大，双曲线远离直线还是靠近直线”，从代数角度研究该问题使得渐近线的知识自然地建构。
新的问题与学生头脑中已有的知识结构越接近，越能促进知识的建构。用学生的眼光观察问题，从学生的角度提出问题，就是努力寻求知识的生长点，让新的数学问题顺应原有的知识，实现认知冲突向认知平衡的转化。
2、用学生的思维思考问题，让教学难点自然突破
学生在课堂中对问题的想法往往“出其不意”，正是这些与教师的预设不一样的想法暴露了学生原汁原味的思维。本节课学生的“出其不意”有二点。一是本以为学生直接通过方程变形研究的范围，学生却从图形入手，教师抓住肉眼观察图形可能不准确，迫使学生不得不考虑从方程的角度思考。用方程精确地研究图形，为渐近线的研究提供方法铺垫。二是本想引导学生从函数角度研究渐近线，学生却在此之前观察方程，发现当和都无穷大时，等式右边的1可以忽略不计。这是从代数角度研究渐近线的初步尝试，不仅成为函数的方法研究渐近线的自然过渡，还对渐近线有更深的认识，得到了问题5中一般性结论，进而突破本节课的教学难点：渐近线的理解。
我们追求课堂上学生积极回应老师的问题，使得课堂教学顺利进行。然而课堂的“顺”与“不顺”不完全取决于教师的课前预设，更取决于学生的课堂表现和教师面对学生的表现作出的反应。关注课堂上学生的真实想法，充分利用学生的思维，采用“迂回”的策略，往往能更好地突破教学难点，让课堂出现意料之外的惊喜。
3、从学生的体悟提炼方法，让核心素养自然孕育
数学思想方法是在思维深度参与的数学体验和感悟中，逐步形成的。本节课最重要的方法是用代数方法研究几何问题。双曲线的每一步图形的精细的过程，都是从方程的角度研究图形的体验过程，每一步的探究都将学生的思维逼进“墙角”，让学生想到只能从方程的角度去研究。这样的探究体验给学生留下了深深的活动“烙印”。深度体验之后，设置问题6，回过头来细细地反思、慢慢地品位本节课给自己印象最深的“点”。学生在总结中，自然地领悟到以数助形的数学方法。这样提炼出来的思想方法就不仅仅是老师口中的数学思想方法，而是浸入学生头脑深处的能够带得走的，可以迁移的数学思想方法。这些思想方法的积累让数学核心素养自然而然地孕育。
一、教材分析
“双曲线的几何性质”是人教A版高中数学教材《选择性必修第一册》第3章第2节的内容。它是学习了椭圆的几何性质和双曲线的标准方程之后，对双曲线的进一步认识。双曲线的标准方程对双曲线的几何性质提供了知识准备，椭圆的几何性质的研究为双曲线的几何性质的探究提供了方法铺垫。本节课侧重让学生通过双曲线的方程研究双曲线的几何性质，重点研究双曲线的渐近线。
二、学情分析
教学对象是**高中高二（3）班的学生，学生思维相对比较活跃，有较强的探究问题的能力。学生学习了“椭圆的几何性质”，对用代数方法研究圆锥曲线的几何性质有一定认识。
三、教学目标
（1）体验用双曲线的方程探究几何性质的过程，进一步感悟用代数方法研究几何问题的基本思想。
（2）理解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等
四、重点与难点
教学重点：体悟双曲线几何性质的探究过程，理解双曲线的简单几何性质。
教学难点：双曲线渐近线的理解。
五、课型与教学方法
课型：新授课
教学方法：以问题为主线贯穿始终，以学生为主体，以教师为主导，以核心素养发展为目标，精心设计问题情境，从学生的认知规律出发进行启发式教学，通过类比、探究引导学生对问题的思考，运用学生自主学习、小组合作探究的教学方式。
六、媒体运用
PPT、几何画板辅助教学
七、教学过程设计
（一）复习回顾，提出问题（6分钟）
师：学习了双曲线的方程以后，接下来应该研究什么问题？
生：几何性质。
师：你认为要研究哪些几何性质？
生：范围，对称性，顶点，离心率……
问题1 （教师在黑板上画出双曲线的大致图形）双曲线上任意一点的坐标有什么范围？
生1：算出双曲线与轴的两个交点坐标，再观察图形，可得或。
师：这个方法非常直观，肉眼观察准确吗？有没有可能双曲线的一部分图形在直线和直线之间？
生1：应该没有吧（比较犹豫）。
师：既然从图形不能说清楚，有没有其它办法说清楚？
生2：双曲线的方程变形为，可得，得到或。
师：非常好，从代数的角度，通过方程来研究，得到双曲线位于与所表示的平面区域内。
师：有没有范围限制？
生：（思考了一会儿）可以取全体实数，没有范围限制。
设计意图 本节课没有回顾椭圆几何性质的研究方法。意在通过学生的回答了解学生真实的想法。课堂上，学生没有首先想到从代数变形的角度分析，说明从几何角度分析是学生的自然想法。沿着学生的思路，为了得到更精细的图形，还有哪些限制，使得问题2的提出成为自然。
（二）合作探究，建构数学（25分钟）
问题2 既然没有范围限制，画双曲线时，是否在与所表示的平面区域内可以随意地画？有没有别的限制？
（小组讨论，合作交流）
生3：因为，说明，进而得，当时可得，所以在第一象限内双曲线一定在直线下方，其它象限可以对的正负分类讨论。
生4：其它象限没必要分类讨论。根据对称性，得到第四象限的双曲线在直线上方。再根据双曲线关于轴对称，可得二三象限的双曲线在直线上方和直线下方。
师：利用对称性，很好。从逻辑上应该先说明双曲线的对称性，怎么说明？
生5：方程中，换成，方程不变，说明双曲线关于轴对称。同理可得双曲线关于轴和原点对称。
师：通过大家的努力，我们知道双曲线一定在以直线和为边界的平面区域内。所以，我们在画双曲线时，可以先把这两条直线画出来。下面请同学们在草稿纸上画出双曲线的草图。
（展示同学画的双曲线的草图的形状如下。）
师：你认为哪个图画得更精确？
问题3 在第一象限内，随着的增大，双曲线远离直线还是靠近直线？（其它象限根据对称性研究。）
众：靠近，从老师平时在黑板上画的图看出来。
师：老师的图也不一定精确。
生6：（举手）由方程可知，当和都无穷大时，等式右边的1可以忽略不计，双曲线近似地看成，也就是，说明随着的增大，双曲线与直线越来越接近。（同学们都投来赞许的目光。）
生7：我认为说理还不充分，这只是对方程的一种感觉，没能说清楚。
生8：生6说的是无穷大时的一种状态，没有说明随着增大的过程中，双曲线与直线的接近程度这个变化过程。
师：非常好，你抓住了问题的本质。如何刻画这个变化过程？
生8：应该可以用函数，具体怎么做还没想好。
（小组讨论：如何严格地说明随着的增大，双曲线与直线的接近程度。）
通过小组讨论，得出三种方法：
生9：设为第一象限内双曲线上任意一点，它到直线的距离是，根据，化简得，
在老师的点拨下，变形为，从而得到随的增大而减小。当无穷大时，无限接近0，此时双曲线与直线无限靠近，但永不相交。
生10：过点作直线垂直于轴，与直线在第一象限交于点
则，得到。
生11：过点作直线垂直于轴，与直线在第一象限交于点，再用类似生10的方法。
师：刚才的研究，我们用代数方法严格说明了双曲线与直线和的接近程度，我们把这两条直线称为双曲线的渐近线。下面请看几何画板作出的标准的双曲线。（几何画板展示，并说明顶点、实轴、虚轴。）
问题4 椭圆的离心率可以刻画椭圆的“扁”和“圆”的程度，双曲线中对双曲线有什么影响？
生12：，说明越大，双曲线渐近线的斜率的绝对值越大，双曲线开口越大。
师：我们把刻画双曲线开口大小的量称为双曲线的离心率。
接着，以表格的形式归纳总结出焦点在轴上的双曲线的几何性质，并让学生类比给出焦点在轴上的双曲线的几何性质。
设计意图 以双曲线的渐近线为探究重点，在渐近线的探究过程中，需要用到双曲线的对称性，因此，把对称性的学习作为渐近线探究过程中的一小步自然地融入。探究双曲线的“精细”的图形，是本节课的主线。如果一开始就用几何画板展示双曲线，那么后续的探究过程将索然无味。让几何画板晚出场，激发学生从代数角度探究双曲线的欲望。在形成理性认识的基础上，再回过头用几何画板观察，观察图形的过程正是享受探究成果的过程。
（三）数学运用，内化方法（10分钟）
例1 求出下列双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点、离心率、渐近线方程。
（1） （2）
问题5 从上面两题的解答过程，你有什么发现？
生13：它们离心率相同，渐近线相同
生14：借用生6的想法，可以认为无限增大时，方程右边的1和-2都对方程几乎没有影响，都变成，所以渐近线相同。（生14和生6都露出自豪的表情。）
师：你能得出一般性的结论吗？
生14： 的渐近线相同，进一步得到的渐近线与的取值无关。
（四）反思交流，总结提升（4分钟）
问题6 本节课哪个环节给你印象最深？
生15：和都无穷大时，双曲线方程中右边的1可以忽略不计，这个想法虽然很朴素，却帮助我们得到一般性的结论：的渐近线与的取值无关。
生16：代数方法对渐近线的研究很重要，说明想要精确地研究“形”，就需要考虑“数”。
师：非常好，双曲线的几何性质的研究过程让我们再一次体悟了数形结合。
设计意图 能够在后续学习中进行迁移的，一定是已经内化的数学方法和数学思想。这些不是在课堂总结中老师提出的“数形结合”等词语，而是学生参与的最真实、最自然的课堂体悟。本节课让学生对感悟最深的“点”进行总结、交流，旨在提炼数学活动经验，助推数学内化。
（五）作业布置
教科书43页练习第1、2、3、4题，习题2。3（2）第1题。
八、板书设计
双曲线的几何性质 （双曲线的几何性质表格） （渐近线的证明思路） 例1
自由书写区
九、 教学设计说明与教后反思
数学是自然的，数学教学也是自然的，这是高中数学人教A版教材主编刘绍学先生《主编寄语》中的重要观点。自然的数学教学要求教师放下思维的“身段”，从学生的角度自然地看，自然地想，自然地分析，自然地解决数学问题，实现数学知识的自然生成和数学方法的自然迁移。
1、用学生的眼光观察问题，让数学知识自然建构
从形的角度直观地观察数学对象，是学生认识数学对象的首选。高二学生的抽象思维能力还不完善，加上图形的直观性使得图形信息更容易被学生从头脑中提取。更重要的是，从高一到现在的数学学习中，学生习惯于从形的角度去分析。指数函数、对数函数、三角函数的单调性的研究，都是从函数图象观察得到，并没有进行严格的理论证明。因此，用图形来研究双曲线上点的坐标的范围成为学生的首选就成为必然。以“从形的角度研究的范围”作为后续问题的生长点，从学生观察问题的角度出发，自然地提出问题“既然没有范围限制，画双曲线时，是否在与所表示的平面区域内可以随意地画？有没有别的限制？”这使得直线呼之欲出。在此基础上，进一步从学生的角度提出问题“随着的增大，双曲线远离直线还是靠近直线”，从代数角度研究该问题使得渐近线的知识自然地建构。
新的问题与学生头脑中已有的知识结构越接近，越能促进知识的建构。用学生的眼光观察问题，从学生的角度提出问题，就是努力寻求知识的生长点，让新的数学问题顺应原有的知识，实现认知冲突向认知平衡的转化。
2、用学生的思维思考问题，让教学难点自然突破
学生在课堂中对问题的想法往往“出其不意”，正是这些与教师的预设不一样的想法暴露了学生原汁原味的思维。本节课学生的“出其不意”有二点。一是本以为学生直接通过方程变形研究的范围，学生却从图形入手，教师抓住肉眼观察图形可能不准确，迫使学生不得不考虑从方程的角度思考。用方程精确地研究图形，为渐近线的研究提供方法铺垫。二是本想引导学生从函数角度研究渐近线，学生却在此之前观察方程，发现当和都无穷大时，等式右边的1可以忽略不计。这是从代数角度研究渐近线的初步尝试，不仅成为函数的方法研究渐近线的自然过渡，还对渐近线有更深的认识，得到了问题5中一般性结论，进而突破本节课的教学难点：渐近线的理解。
我们追求课堂上学生积极回应老师的问题，使得课堂教学顺利进行。然而课堂的“顺”与“不顺”不完全取决于教师的课前预设，更取决于学生的课堂表现和教师面对学生的表现作出的反应。关注课堂上学生的真实想法，充分利用学生的思维，采用“迂回”的策略，往往能更好地突破教学难点，让课堂出现意料之外的惊喜。
3、从学生的体悟提炼方法，让核心素养自然孕育
数学思想方法是在思维深度参与的数学体验和感悟中，逐步形成的。本节课最重要的方法是用代数方法研究几何问题。双曲线的每一步图形的精细的过程，都是从方程的角度研究图形的体验过程，每一步的探究都将学生的思维逼进“墙角”，让学生想到只能从方程的角度去研究。这样的探究体验给学生留下了深深的活动“烙印”。深度体验之后，设置问题6，回过头来细细地反思、慢慢地品位本节课给自己印象最深的“点”。学生在总结中，自然地领悟到以数助形的数学方法。这样提炼出来的思想方法就不仅仅是老师口中的数学思想方法，而是浸入学生头脑深处的能够带得走的，可以迁移的数学思想方法。这些思想方法的积累让数学核心素养自然而然地孕育。