3.1.1 椭圆及其标准方程（第二课时）教案

3.1.1 椭圆及其标准方程（第二课时）
(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)
一、教学目标
1.巩固椭圆的定义和标准方程，掌握求点的轨迹方程的三种方法：定义法、直接法、代入法（相关点法）；
2.通过动点轨迹方程的求解过程，培养学生归纳、类比、迁移的能力，激发学生学习兴趣，提高学生的创新意识.
二、教学重难点
1.重点：求动点轨迹方程的三种方法.
2.难点：结合条件选取恰当的方式求动点的轨迹方程.
三、教学过程
1.复习巩固，引入新课
上节课我们学习了椭圆的定义并推导出了它的标准方程，那椭圆的定义是什么？标准方程有哪几种形式？
【答案预设】
平面内到两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．其中，叫椭圆的焦点，叫椭圆的焦距.
椭圆标准方程有两种形式：
焦点在x轴上，
焦点在y轴上,
其中
【设计意图】加深对椭圆定义及其标准方程的理解，为求动点的轨迹方程做准备.
2.自主探究，得出新知
活动1：如图所示，已知动圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程.
【活动预设】经过分析，发现点P的轨迹符合椭圆的定义，再根据椭圆的定义求出点P满足的标准方程.
【设计意图】让学生掌握定义法求动点的轨迹方程.
活动2：如图设A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(5，0). 直线AM，BM相交于点M，且他们的斜率之积是，求点M的轨迹方程.
【活动预设】设动点M的坐标为(x，y)，根据题目意思用含x，y的式子表示直线AM，BM的斜率，得到x，y的关系式,求出轨迹方程.写出的关系式若学生没有注明限制条件时，引导学生关注特殊点的要求.
【设计意图】类比椭圆标准方程推导过程，利用直接法求动点的轨迹方程，并去除不符合条件的特殊点.
活动3：如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
【活动预设】由点M是线段PD的中点得到点M的坐标与点P坐标之间的关系式，并由点P坐标满足圆的方程代入得到点M的坐标所满足的方程.
【设计意图】让学生体会椭圆生成的另一种方式，利用代入法（相关点法）求动点的轨迹方程.
思考：由活动3我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆.想一想，能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
3.应用巩固，强化方法
已知A(0，-1)，B(0，1)，三角形ABC的周长为6，求顶点C的轨迹方程.
4.归纳小结，思维提升
（1）回顾了椭圆的定义和标准方程，学习并体会了生成椭圆轨迹的几种方式，掌握了求轨迹方程的三种方法：①定义法 ②直接法 ③代入法(相关点法).
（2）数学思想：数形结合、转化化归、类比归纳
【设计意图】
（1）梳理本节课学习的数学知识，体会探究过程中渗透的数学思想方法；
（2）培养学生敢于思考，不断总结的思维习惯，提升学生的数学核心素养，鼓励学生积极攀登知识高峰，为进一步的数学学习做好准备.
课外作业
课本109页，练习第3、4题；
课本115页，习题3.1 第6、8、9、10题.
课后探究：
课下与同学一起探究完成思考题，体会由圆得到椭圆的两种方式，并思考由圆得到的椭圆有哪些性质.
【设计意图】
通过练习巩固本节课所学的内容和方法，让学生学会用知识解决问题；
分层布置作业，让学有余力的同学多思考，多花时间研究问题.