2.5.1 直线与圆的位置关系 教学设计

直线与圆的位置关系
一、教材分析
“直线与圆的位置关系”是人教A版高中数学教材《选择性必修第一册》的内容，是在学习了直线方程、圆的方程等一系列基础知识之后来研究直线与圆之间的位置关系．涉及两大数学思想：数形结合、方程思想。本节内容的核心是研究如何根据方程判断直线与圆的位置关系。用方程来研究直线与圆的位置关系的两种方法分别是对学生已有的通过直线与圆的公共点个数和圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆的位置关系的代数化。本节内容既是已经研究的通过方程判断直线与直线位置关系的延续，又为后续研究直线与圆锥曲线的位置关系奠定研究方法上的基础。因此本节内容具有承上启下的作用，是感悟解析几何的基本思想，培育直观想象素养和数学运算素养的较好素材。
二、学情分析
知识上，学生会从几何角度通过直线与圆的公共点个数和圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断直线与圆的位置关系，本节课的核心是引导学生将这两种判断方法分别“代数化”，总结出一般性的方法。同时，在直线与直线的位置关系的学习过程中，学生积累了通过两条直线所联立的方程组的解来判断两直线位置关系的基本活动经验，有助于学生通过方程来研究直线与圆的位置关系。
三、教学目标
根据《课程标准》，依据教材内容和学生情况，确定本课时的教学目标为如下：
　 （1） 会依据直线和圆的方程熟练地求出它们的交点坐标。
（2）掌握利用圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系判断直线和圆的三种位置关系，理解直线和圆的三种位置关系（相离、相切、相交）与相应的直线和圆的方程所组成的方程组的解（无解、唯一解、两组解）的对应关系。
（3）会处理直线与圆相交时所得的弦长问题，求圆的切线方程。
（4）通过对直线和圆的位置关系的研究，感受数形结合的思想，体会用方程研究曲线的坐标法思想。
四、重点与难点
基于上述教学目标与学情分析，确定本节课的教学重点与难点如下：
教学重点：根据方程判断直线与圆的位置关系，坐标法的基本思想。
教学难点：根据方程研究直线与圆的位置关系。
五、课型与教学方法
课型：新授课
教学方法：采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过设置探究活动，让学生积极参与，在教师的引导和同伴交流中，逐步建构数学知识．
六、媒体运用
PPT、几何画板辅助教学
七、教学过程
师：解析几何是用代数的方法研究几何问题，前面我们学习了直线的方程和圆的方程，今天我们来研究直线与圆的位置关系
（一）问题情境（6分钟）
用幻灯片展示一个圆，分别出现三条直线，其中前两条直线与圆的位置关系分别为相离和相交（可以从图形的角度很容易看出来） ，第三条直线与圆的位置关系从图上看像相切，又有点像相交、相离（从图形的角度不能准确地判断第三条直线与圆的位置关系）
问题1：直线 与圆C是什么位置关系？
问题2：如何准确地判断直线与圆C的位置关系？
【设计意图：1、让学生通过具体例子回顾初中判断直线与圆的位置关系的方法，侧重于“形”的方面。2、设置直线与圆的位置关系不能通过观察从形的角度准确地判断，让学生体会需要定量研究直线与圆的位置关系即建立坐标系，用方程判断直线与圆的位置关系的必要性，引出课题，切入本节课研究的核心问题：如何根据方程来判断直线与圆的位置关系】
（二）数学探究（15分钟）
（1）小组讨论，如何准确地判断直线与圆C的位置关系？
（学生分组讨论，全班交流，选择其中一种方法进行计算，进而准确地判断直线与圆C的位置关系。）
【设计意图：让学生通过讨论，想到建立直角坐标系，用方程来定量地研究直线与圆的位置关系。再结合问题情境中直线与圆的公共点的个数判断直线与圆的位置关系的方法，对它进行代数化，可以得到联立方程组的方法。结合初中用圆心到直线的距离与半径的大小进行比较的方法对圆心到直线的距离进行代数运算，得到运用方程判断直线与圆的位置关系的第二种方法】
（2）根据学生的讨论结果，在几何画板中度量出直线与圆C的方程，让学生选择一种方法进行计算，判断直线与圆C的位置关系。
【设计意图：计算出的结果是相离，而从图形的角度很多学生认为是相切，进而体会代数方法可以定量的、精确的研究直线与圆的位置关系】
师：刚才同学们的两种方法都是通过代数计算完美地解决了直接观察图形不容易解决的问题，正好印证了著名数学家华罗庚的一句话：“形缺数时难入微”。
（三）建构数学（6分钟）
问题3：把判断直线与圆C的位置关系的方法一般化，如何根据方程来判断直线与圆的位置关系？
师：下面请一个同学来总结，把刚才的问题一般化，根据方程来判断直线与圆的位置关系的两种方法（板书表格）
方法一：设直线，圆
可由方程组（）的解的不同情况来判断：
当方程组有两组实数解时，直线与圆相交；
当方程组有一组实数解时，直线与圆相切；
当方程组没有实数解时，直线与圆相离．
方法二:设直线，圆
可由圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断：
（1）当时，直线与圆相交；
（2）当时，直线与圆相切；
（3）当时，直线与圆相离．
师：从方程组的解的角度我们正好可以解释为什么直线与圆只有三种位置关系
问题4：两种方法中你更喜欢哪一种方法？
师：刚才的两种方法中你更喜欢哪一种方法？（此处为例题1的方法的选择做铺垫）
师：两种方法都可以判断直线与圆的位置关系，各有优点。其中联立方程组用判别式法的代数特征更明显，更具有一般性，这在以后研究直线与圆锥曲线的位置关系时仍然适用。d与r的大小关系法更关注几何图形的结构特征，注重“形”的运用，解析几何是研究几何图形的，若能充分挖掘形的特征，往往会有意外的惊喜。
【设计意图：让学生认识两种方法的各自的特点，为例题方法的选择做铺垫】
（四）数学运用（15分钟）
师：有了上面的经验，请同学们选择适当的方法完成下题。
例题1、直线 ，圆
判断直线与圆C的位置关系。如果相交，求直线被圆截得的弦长
（本例题让学生在黑板上做，然后让学生点评）
【设计意图：运用刚才的方法判断直线与圆的位置关系，体会数与形的结合以及几何图形的结构特征在解题中的运用，另外，此题求弦长时通过解方程组的方法可以替代教材中例题1的功能，故例题1不作为例题呈现】
例题2、自点作圆的切线，求切线的方程。
变式1：自点作圆的切线，求切线的方程。
变式2：自点作圆的切线，求切线的方程。
（本例题让学生回答，教师板书）
（五）课堂小结（3分钟）
一个核心：用方程研究直线与圆的位置关系
两种方法：d与r的大小比较法；判别式法
一种思想：数形结合
师：我们围绕用方程研究直线与圆的位置关系这个核心，探究了两种方法：d与r的大小比较法；判别式法，在此过程中，我们反复体会了数与形之间相互转化的思想。实现了直线与圆的位置关系由形到数，由直观到理论的再认识。
（六）课后作业
教科书第103页练习：第1，2，3，4，5题
八、板书设计
直线与圆的位置关系 （两种方法研究直线与圆的位置关系表格） 例1（学生板演） 变式1 变式2
例2（教师板演）
九、设计说明与教后反思
1、问题情境这样设计的原因：通过方程用坐标法研究直线与圆的位置关系是本节课的核心，本节课问题情境中用几何画板展示一个圆和三条直线，学生通过观察直线与圆的公共点的个数从形的角度很容易判断前两条直线与圆分别是相离和相交，而第三条直线与圆到底是什么位置关系，从图形的角度没有办法说清楚。这就很自然地让学生思考如何精确地判断直线与圆的位置关系，学生会想到定量研究，进而建立直角坐标系，从方程的角度来研究，切入本节课的核心问题：如何通过方程来判断直线与圆的位置关系。
2、本节课设计的主线：通过问题情境，体会建立直角坐标系，用方程研究直线与圆的位置关系的必要性结合初中的方法，从方程的角度通过特例探究如何用方程判断直线与圆的位置关系从特殊到一般，总结用方程判断直线与圆的位置关系的两种方法对两种方法进行比较认识，体会几何直观与纯代数方法在解析几何中的作用例题进一步体会两种方法的运用，在实际问题中用上述方法研究直线与圆位置关系有关的问题，并在例题中充分体会“数”与“形”的转化
3、本节内容处理好两个关系：一是与初中直线与圆的位置关系的学习的关系，初中是从“形”的角度直观认识，高中是用坐标法通过方程从“数”的角度研究，高中的这两种方法分别是初中判断直线与圆的位置关系的两种方法的代数化，初中没法从理论上解释的一些问题通过方程可以解释，比方说为什么直线与圆有且只有三种位置关系，从某种意义上说，是认识直线与圆的位置关系从直观到理论的过程，这在本节课的设计中有较好地让学生体会。二是处理好本节内容与后续直线与圆锥曲线的位置关系之间的关系，让学生在本节内容中一方面感悟纯代数的办法，另一方面，又认识到圆的几何特性，从形的角度有助于帮助解决问题。