2.3.1 两条直线交点的坐标 2.3.2两点间距离公式 教学设计
文档属性
| 名称 | 2.3.1 两条直线交点的坐标 2.3.2两点间距离公式 教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 229.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-22 11:59:54 | ||
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文档简介
2.3.1两条直线的交点坐标2.3.2两点间的距离公式
一、内容和内容解析
1.内容
两条直线的交点坐标、两点间的距离公式以及它们的应用.
2.内容解析
第3 节“直线的交点坐标与距离公式”是运用直线的方程判断两条直线的位置关系，求两条直线相交时交点的坐标；推导点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式.
求两直线的交点坐标的方法，学生在初中的一次函数中已经学会使用，高中阶段则重新从直线上点的坐标与直线的方程的关系的角度切入，加深了对求交点坐标的本质的理解.在前节已经学习了如何利用直线的方程来判断两直线的位置关系的基础上，本节要通过解两条直线的方程组成的方程组，从解的个数来判断两直线的位置关系.
距离问题是欧氏几何的基本问题之一，在欧氏几何中，把两点间线段的长度定义为距离. 而两点间的距离公式与过两点的直线斜率公式是平面解析几何中两个最基本的公式. 教科书中用向量方法得出平面上两点间的距离公式，同时，还设置了问题引导学生思考两点间的距离公式是否可以使用勾股定理来解决，使学生了解两种推导两点间距离的方法，并且能够评价对两种方法的体会.
运用坐标法解决平面几何问题主要是培养学生数形结合的数学思想.将坐标语言的表述应用于平面几何问题有助于培养学生的直观想象、数学运算素养.通过对平面几何问题的解决，使得学生首先会用原理、公式、并通过练习实现学生达到熟练掌握运算方法、技巧的能力.
结合以上分析，确定本节课的教学重点：求两条直线交点坐标、判断两直线的位置关系、求两点间的距离.
二、目标和目标解析
1.目标与学科素养
目标：
（1）理解解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；
（2）了解根据方程组的解的个数判定两条直线的位置关系；
（3）掌握平面上两点间的距离公式；
（4）理解用坐标法证明简单的平面几何问题.
素养：
（1）数学抽象：掌握平面内两点间的距离公式；
（2）数学运算：求两直线的交点坐标、判断两直线的位置关系、求两点间的距离；
（3）数学建模：用坐标法解决平面几何问题.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）能列出方程组，并正确求出两直线的交点坐标.
（2）能够根据方程组解的个数判断两直线的位置关系．
（3）能够运用公式求出两点间的距离.
（4）能够根据题意，建立合适的平面直角坐标系，完成对平面几何问题的证明.
三、教学问题诊断分析
学生在初中的一次函数中已经能够解决过求两直线交点的问题，在2.2节直线的方程一节中也学习了如何用直线的方程来判断两直线的位置关系.在本节中从曲线上的点与曲线方程的关系入手，揭示解方程组法求两直线交点坐标的本质.由于前面学生已有知识的铺垫，理解这一点应该不太困难.从两曲线公共点个数来判断它们的位置关系，是几何中的重要方法，在解析几何后面的位置关系问题的研究中还要多次出现，要让学生理解这种判断两曲线位置关系的思路，从而理解通过方程组解的个数来判断两直线位置关系的方法.
学生在必修课程中已经接触过已知起点坐标和终点坐标的向量求解模长的问题，这实际上为本节课两点间的距离公式提供了基础.实际上，本节中两点间距离公式就是通过求一个向量的模长来证明的.因此，两点间距离公式的推导和记忆都不会对学生造成太大的认知障碍.但是对于两点间距离公式的应用，会给学生带来一些困扰.首先，就是运算量会稍大一些；其次，对于简单的平面几何问题的证明，是否想到通过建系用坐标法解决、怎么建系以及建系后的运算都会使学生的学生产生困难.
本节课的教学难点是用坐标法解决平面几何问题.
四、教学过程设计
（一）概念的引入
在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，本节课我们学习的主要问题是两条直线的交点坐标以及平面内两点间距离问题.
问题1：点与直线的关系是什么？
几何元素 代数表示
点
直线
点在直线上
师生活动：学生独立思考、讨论交流．
教师提示，引导学生从点与直线的关系入手，并填写表格.
设计意图：通过对点与直线关系的复习，帮助学生再次明确曲线上的点的坐标满足曲线方程.
问题2： 如果两直线，相交于一点,若点的坐标为 则点的坐标与这两条直线的方程有何关系
几何元素 代数表示
直线与的交点
师生活动：学生独立思考、讨论交流．
设计意图：引导学生明确公共点同时在两条直线上，因此公共点的坐标应该同时满足两条直线的方程，也就是公共点的坐标就是方程组的解..
（二）概念的理解
（1）两条直线的交点坐标
问题1：求两条直线交点坐标的方法是什么？
师生活动：学生独立思考，根据复习引入部分的探讨回答问题．
设计意图：总结复习引入部分的探究，并得到求交点坐标的方法.
问题2：直线它们的方程组成的二元一次方程组为当方程组有唯一解时，直线与的位置关系是怎样的？当方程组有无数个解时，直线与的位置关系是怎样的？当方程组无解时，直线与的位置关系是怎样的？
师生活动：指导学生分析，找到方程组的解的情况与两条直线位置关系之间的对应关系.学生讨论，在教师的指导下总结.
设计意图：.通过问题引起学生对方程组解的个数与直线间位置关系二者之间的联系的思考，使学生理解可以通过解方程组的方法来判断直线的位置关系.
问题3：根据对问题2的研究，我们可以怎么样判断直线与直线的位置关系？
师生活动：学生思考、讨论交流，总结结论.
设计意图：对问题2的探究进行总结归纳，同时得到判断两直线位置关系的方法．
问题4：你能用直线的斜率判断上述各对直线的位置关系吗？比较用斜率判断和解方程组这两种方法，你有什么体会？
师生活动：学生思考、讨论交流，教师总结.
设计意图：让学生回忆使用斜率的方法解决本题，并与解方程组的方法进行比较，体会两种方法的联系与区别：用斜率判断和解方程组判断这两种方法都是通过代数方法研究直线与直线的位置关系.用斜率容易判断直线与直线的平行或相交（垂直），但无法直接得出相交时两直线的交点坐标.
（2）两点间的距离公式
我们知道，在各种几何量中，直线段的长度是最基本的.所以，在解析几何中，最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式.下面我们就来研究这个公式.
请同学们阅读教科书第72页的探究部分：如图2.3-2，已知平面内两点 ，如何求，间的距离？
问题1：此公式与两点的先后顺序有关吗？
师生活动：学生思考、讨论交流.
设计意图：通过问题，使学生明确公式与点的顺序无关，从而加深对公式的理解.
问题2：当直线平行于轴时，怎么表示？当直线平行于轴时，怎么表示？
师生活动：学生思考、讨论交流.
设计意图：两点间距离公式适用于两个点在平面内任意位置的问题，使学生明确公式与点的顺序无关.
问题3：你能利用构造直角三角形，再用勾股定理推到两点间距离公式吗？
师生活动：学生思考、讨论交流，教师总结.
设计意图：先引导学生如何构造直角三角形，再利用分类讨论思想，使用勾股定理推导出两点间的距离公式，并与向量法的推导形成对比，让学生体会方法的不同.
（三）概念的巩固应用
例1.求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：
师生活动：学生分析解题思路，并尝试写出解题过程.教师可以根据学生的解题过程是否规范，条理是否清楚进行讲解.
设计意图：利用例1使学生明确求交点坐标的方法，会使用解方程组的方法求解两条直线的交点坐标，并能根据直线方程画出图形.
例2.判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标：
（1），
（2）
（3）
师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范.
设计意图：利用例2使学生巩固利用方程组解的个数判断两直线位置关系的方法.
练习2.分别判断下列直线的位置关系,若相交,求出它们的交点.
(1);
(2);
(3).
师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．
设计意图：利用与例2完全类似的问题，有针对性的对判断两直线位置关系的方法进行巩固.
例3.已知点，，在轴上求一点,使，并求的值.
师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范.
设计意图：通过例3使学生巩固两点间距离公式，以及学会将已知条件中的几何关系转化为代数语言.除此之外，也培养学生的数学运算的素养..
练习3.已知点，在轴上的点与点的距离等于10，求点的坐标．
师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．
设计意图：利用与例4完全类似的问题，有针对性的对例题进行巩固.
例4.用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍
教师引导学生分析解题思路，与学生共同完成解题过程，并向学生提出以下问题：
问题1：证明过程的第一步是什么？
问题2：建系后的步骤是什么？
问题3：写出点的坐标后，应继续做什么？
问题4：用坐标进行代数运算后的步骤是什么？
问题5：通过这个例题，我们利用坐标法解决平面几何问题的基本步骤应该是怎样的？
问题6：根据例4的条件，你是否还有其他建立坐标系的方法？
师生活动：学生阅读证明过程，教师以问题串的形式向学生提出问题，学生交流讨论，教师归纳总结.
设计意图：问题1，2,3，4,5的作用是引导学生注意解题步骤，并启发学生概括出坐标法解决平面几何问题的基本步骤；问题6引导学生明白，对于同一个问题，建系的方法并不唯一，但是我们应该选择更有利于我们运算的坐标系.比如，建系时可以利用相互垂直的两直线作为坐标轴；应该让几何图形的边或顶点等几何元素更多的位于坐标轴上；也可以利用几何图形的对称性，以对称轴为其坐标轴；等等.
练习4.已知点，判断的形状．
师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．
设计意图：通过练习4，使学生巩固用坐标法解决平面几何问题的基本思想，本题可以使用两种不同的方法进行解决，通过一题多解，拓宽学生的思维，提升学生逻辑推理的数学素养.
（四）归纳总结、布置作业
教师引导学生回顾本节知识，本节课我们学习了以下问题：
（1）求两条直线的交点坐标；
（2）判断两直线的位置关系；
（3）两点间的距离公式；
（4）用坐标法解决平面几何问题.
设计意图：从方法以及公式两个方面对本节课的知识进行归纳小结，使学生从整体上把握本节课所学的知识.
布置作业：
教科书第72页，练习1,2,3；教科书第74页，练习1,2,3.
一、内容和内容解析
1.内容
两条直线的交点坐标、两点间的距离公式以及它们的应用.
2.内容解析
第3 节“直线的交点坐标与距离公式”是运用直线的方程判断两条直线的位置关系，求两条直线相交时交点的坐标；推导点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式.
求两直线的交点坐标的方法，学生在初中的一次函数中已经学会使用，高中阶段则重新从直线上点的坐标与直线的方程的关系的角度切入，加深了对求交点坐标的本质的理解.在前节已经学习了如何利用直线的方程来判断两直线的位置关系的基础上，本节要通过解两条直线的方程组成的方程组，从解的个数来判断两直线的位置关系.
距离问题是欧氏几何的基本问题之一，在欧氏几何中，把两点间线段的长度定义为距离. 而两点间的距离公式与过两点的直线斜率公式是平面解析几何中两个最基本的公式. 教科书中用向量方法得出平面上两点间的距离公式，同时，还设置了问题引导学生思考两点间的距离公式是否可以使用勾股定理来解决，使学生了解两种推导两点间距离的方法，并且能够评价对两种方法的体会.
运用坐标法解决平面几何问题主要是培养学生数形结合的数学思想.将坐标语言的表述应用于平面几何问题有助于培养学生的直观想象、数学运算素养.通过对平面几何问题的解决，使得学生首先会用原理、公式、并通过练习实现学生达到熟练掌握运算方法、技巧的能力.
结合以上分析，确定本节课的教学重点：求两条直线交点坐标、判断两直线的位置关系、求两点间的距离.
二、目标和目标解析
1.目标与学科素养
目标：
（1）理解解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；
（2）了解根据方程组的解的个数判定两条直线的位置关系；
（3）掌握平面上两点间的距离公式；
（4）理解用坐标法证明简单的平面几何问题.
素养：
（1）数学抽象：掌握平面内两点间的距离公式；
（2）数学运算：求两直线的交点坐标、判断两直线的位置关系、求两点间的距离；
（3）数学建模：用坐标法解决平面几何问题.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）能列出方程组，并正确求出两直线的交点坐标.
（2）能够根据方程组解的个数判断两直线的位置关系．
（3）能够运用公式求出两点间的距离.
（4）能够根据题意，建立合适的平面直角坐标系，完成对平面几何问题的证明.
三、教学问题诊断分析
学生在初中的一次函数中已经能够解决过求两直线交点的问题，在2.2节直线的方程一节中也学习了如何用直线的方程来判断两直线的位置关系.在本节中从曲线上的点与曲线方程的关系入手，揭示解方程组法求两直线交点坐标的本质.由于前面学生已有知识的铺垫，理解这一点应该不太困难.从两曲线公共点个数来判断它们的位置关系，是几何中的重要方法，在解析几何后面的位置关系问题的研究中还要多次出现，要让学生理解这种判断两曲线位置关系的思路，从而理解通过方程组解的个数来判断两直线位置关系的方法.
学生在必修课程中已经接触过已知起点坐标和终点坐标的向量求解模长的问题，这实际上为本节课两点间的距离公式提供了基础.实际上，本节中两点间距离公式就是通过求一个向量的模长来证明的.因此，两点间距离公式的推导和记忆都不会对学生造成太大的认知障碍.但是对于两点间距离公式的应用，会给学生带来一些困扰.首先，就是运算量会稍大一些；其次，对于简单的平面几何问题的证明，是否想到通过建系用坐标法解决、怎么建系以及建系后的运算都会使学生的学生产生困难.
本节课的教学难点是用坐标法解决平面几何问题.
四、教学过程设计
（一）概念的引入
在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，本节课我们学习的主要问题是两条直线的交点坐标以及平面内两点间距离问题.
问题1：点与直线的关系是什么？
几何元素 代数表示
点
直线
点在直线上
师生活动：学生独立思考、讨论交流．
教师提示，引导学生从点与直线的关系入手，并填写表格.
设计意图：通过对点与直线关系的复习，帮助学生再次明确曲线上的点的坐标满足曲线方程.
问题2： 如果两直线，相交于一点,若点的坐标为 则点的坐标与这两条直线的方程有何关系
几何元素 代数表示
直线与的交点
师生活动：学生独立思考、讨论交流．
设计意图：引导学生明确公共点同时在两条直线上，因此公共点的坐标应该同时满足两条直线的方程，也就是公共点的坐标就是方程组的解..
（二）概念的理解
（1）两条直线的交点坐标
问题1：求两条直线交点坐标的方法是什么？
师生活动：学生独立思考，根据复习引入部分的探讨回答问题．
设计意图：总结复习引入部分的探究，并得到求交点坐标的方法.
问题2：直线它们的方程组成的二元一次方程组为当方程组有唯一解时，直线与的位置关系是怎样的？当方程组有无数个解时，直线与的位置关系是怎样的？当方程组无解时，直线与的位置关系是怎样的？
师生活动：指导学生分析，找到方程组的解的情况与两条直线位置关系之间的对应关系.学生讨论，在教师的指导下总结.
设计意图：.通过问题引起学生对方程组解的个数与直线间位置关系二者之间的联系的思考，使学生理解可以通过解方程组的方法来判断直线的位置关系.
问题3：根据对问题2的研究，我们可以怎么样判断直线与直线的位置关系？
师生活动：学生思考、讨论交流，总结结论.
设计意图：对问题2的探究进行总结归纳，同时得到判断两直线位置关系的方法．
问题4：你能用直线的斜率判断上述各对直线的位置关系吗？比较用斜率判断和解方程组这两种方法，你有什么体会？
师生活动：学生思考、讨论交流，教师总结.
设计意图：让学生回忆使用斜率的方法解决本题，并与解方程组的方法进行比较，体会两种方法的联系与区别：用斜率判断和解方程组判断这两种方法都是通过代数方法研究直线与直线的位置关系.用斜率容易判断直线与直线的平行或相交（垂直），但无法直接得出相交时两直线的交点坐标.
（2）两点间的距离公式
我们知道，在各种几何量中，直线段的长度是最基本的.所以，在解析几何中，最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式.下面我们就来研究这个公式.
请同学们阅读教科书第72页的探究部分：如图2.3-2，已知平面内两点 ，如何求，间的距离？
问题1：此公式与两点的先后顺序有关吗？
师生活动：学生思考、讨论交流.
设计意图：通过问题，使学生明确公式与点的顺序无关，从而加深对公式的理解.
问题2：当直线平行于轴时，怎么表示？当直线平行于轴时，怎么表示？
师生活动：学生思考、讨论交流.
设计意图：两点间距离公式适用于两个点在平面内任意位置的问题，使学生明确公式与点的顺序无关.
问题3：你能利用构造直角三角形，再用勾股定理推到两点间距离公式吗？
师生活动：学生思考、讨论交流，教师总结.
设计意图：先引导学生如何构造直角三角形，再利用分类讨论思想，使用勾股定理推导出两点间的距离公式，并与向量法的推导形成对比，让学生体会方法的不同.
（三）概念的巩固应用
例1.求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：
师生活动：学生分析解题思路，并尝试写出解题过程.教师可以根据学生的解题过程是否规范，条理是否清楚进行讲解.
设计意图：利用例1使学生明确求交点坐标的方法，会使用解方程组的方法求解两条直线的交点坐标，并能根据直线方程画出图形.
例2.判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标：
（1），
（2）
（3）
师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范.
设计意图：利用例2使学生巩固利用方程组解的个数判断两直线位置关系的方法.
练习2.分别判断下列直线的位置关系,若相交,求出它们的交点.
(1);
(2);
(3).
师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．
设计意图：利用与例2完全类似的问题，有针对性的对判断两直线位置关系的方法进行巩固.
例3.已知点，，在轴上求一点,使，并求的值.
师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范.
设计意图：通过例3使学生巩固两点间距离公式，以及学会将已知条件中的几何关系转化为代数语言.除此之外，也培养学生的数学运算的素养..
练习3.已知点，在轴上的点与点的距离等于10，求点的坐标．
师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．
设计意图：利用与例4完全类似的问题，有针对性的对例题进行巩固.
例4.用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍
教师引导学生分析解题思路，与学生共同完成解题过程，并向学生提出以下问题：
问题1：证明过程的第一步是什么？
问题2：建系后的步骤是什么？
问题3：写出点的坐标后，应继续做什么？
问题4：用坐标进行代数运算后的步骤是什么？
问题5：通过这个例题，我们利用坐标法解决平面几何问题的基本步骤应该是怎样的？
问题6：根据例4的条件，你是否还有其他建立坐标系的方法？
师生活动：学生阅读证明过程，教师以问题串的形式向学生提出问题，学生交流讨论，教师归纳总结.
设计意图：问题1，2,3，4,5的作用是引导学生注意解题步骤，并启发学生概括出坐标法解决平面几何问题的基本步骤；问题6引导学生明白，对于同一个问题，建系的方法并不唯一，但是我们应该选择更有利于我们运算的坐标系.比如，建系时可以利用相互垂直的两直线作为坐标轴；应该让几何图形的边或顶点等几何元素更多的位于坐标轴上；也可以利用几何图形的对称性，以对称轴为其坐标轴；等等.
练习4.已知点，判断的形状．
师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．
设计意图：通过练习4，使学生巩固用坐标法解决平面几何问题的基本思想，本题可以使用两种不同的方法进行解决，通过一题多解，拓宽学生的思维，提升学生逻辑推理的数学素养.
（四）归纳总结、布置作业
教师引导学生回顾本节知识，本节课我们学习了以下问题：
（1）求两条直线的交点坐标；
（2）判断两直线的位置关系；
（3）两点间的距离公式；
（4）用坐标法解决平面几何问题.
设计意图：从方法以及公式两个方面对本节课的知识进行归纳小结，使学生从整体上把握本节课所学的知识.
布置作业：
教科书第72页，练习1,2,3；教科书第74页，练习1,2,3.