2.3.3 点到直线距离 教学设计

2.3.3点到直线距离公式
一、内容和内容解析
1.内容
点到直线的距离公式.
2.内容解析
在前面已经研究了两点间的距离公式、直线方程、两直线的位置关系，同时也介绍了 “以数论形，以形辅数”的数学思想方法． “点到直线的距离”是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算；《点到直线的距离》的研究，又为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．
结合以上分析，确定本节课的教学重点：点到直线的距离公式的推导思路分析；点到直线的距离公式的应用．
二、目标和目标解析
1.目标
（1）会用向量工具推导点到直线的距离公式；
（2）掌握点到直线的距离公式,能应用点到直线距离公式解决有关距离问题；
（3）通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．
2.目标解析
理解点到直线的距离公式的推导过程；掌握点到直线的距离公式的应用．通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力，使学生在学会知识的过程中，进一步领会用解析法解决图形性质的能力．通过公式推导思路的探索、评价，优化学生的思维品质，培养学生辩证统一的思想；领会事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题，培养学生团队合作精神，培养学生锲而不舍的钻研品质和勇于探究的科学精神．
三、教学问题诊断分析
高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识，具备了一定的利用解析法研究几何问题的能力．高二学生基础知识较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高，本课采用类比发现式教学法，启导法、讲练结合法、题组教学法等等．
利用解析法推导公式时，由于字母较多，用运算量大，在具体的运算过程中学生容易产生畏难情绪，半途而废；采取课前预习，小组讨论，学生展示等手段加以突破．对于几何法中的构造直角三角形学生感到比较困难；采取利用复习两点间距离公式的推导复习，利用类比教学法加以突破；对于几向量法学生不容易想到，采取启导法，小组讨论法，让学生领会“设点不求点”的解题思路．本节课的教学难点点到直线的距离公式的推导不同方法的思路分析．
四、教学过程设计
（一）创设情境，引入新课
问题1：在铁路附近有一个仓库,现在需要铺设一条连接仓库和铁路的道路.请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短
师生活动：学生独立思考.将实际问题抽象成数学问题.
问题2：设点，直线 : ,
如何求点P到直线L的距离？
设计意图：以实际问题为背景来引课，激发学生学习数学的热情和兴趣．通过生活中点到直线距离的问题情境，引出在坐标系下探究点到直线距离公式的问题.
（二）转化探究，获得新知
如图，点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中是垂足.
思路：
此方法为最常规的思路来解决：求直线方程-----求交点（直接求出x和y的值）-------两点间距离公式-----------化简公式．
设计意图：帮助学生学会联系旧知，制定解决问题的策略，最终探索出点到直线的距离公式，让学生感悟运用坐标法研究几何问题的方法.
问题3：问题3：求点到直线的距离.
通过实例验证，当，或 时，上述公式仍然成立．
设计意图：注重直线方程要分斜率存在和不存在分类讨论，培养学生思维的严谨性．
问题4：上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线距离转化为两点之间的距离，思路自然但运算量较大.反思求解过程,你发现引起复杂运算的原因了吗 由此能否给出简化运算的方法
我们发现引起运算的复杂原因就是求点Q的坐标时运算量比较大。在上述方法中，若设垂足Q的坐标，则．结合方程组 　，我们能直接求出，进而求出．
设计意图：求简是数学追求的一个主要目标，培养学生的求简意识．介绍设而不求的思想方法.
问题5：我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具。能否用向量方法求点到直线的距离？
如图，点P到直线l的距离，就是向量的模，设是直线l上的任意一点， 是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则是在上的投影向量, =.
思考：如何利用直线l的方程得到与的方向向量垂直的单位向量？
设直线l：上的任意两点，则是直线l的方向向量。把, 两式相减，得 ，由平面向量的数量积运算可知，向量与向量垂直，向量 就是与直线的方向向量垂直的一个单位向量的单位向量，我们取 ，
从而= =
因为点在直线l上所以代入上式，
得=
因此=
思考：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？
设计意图：通过不同方法推导点到直线的距离公式，体会算法的多样性，同时比较不同推导方法，比较算法的优劣，优化思维品质，发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养.
问题6：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？
先添作辅助线，过点作轴、轴的垂线交于点，再利用直角三角形的面积公式进行计算．
（三）例题讲解，学以致用
问题7：已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC的面积.
设计意图：通过直接将已知点的坐标代人公式计算，强调公式的形式记忆．在典例分析和练习中熟悉公式的基本结构，并体会点到直线距离公式的初步应用.发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
（四）归纳总结，布置作业
教师引导学生回顾本节知识.
设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结．
布置作业：教科书P77练习1,2,3．
目标检测设计
1.点(1,-1)到直线y=1的距离是(　　)
A. B. C.3 D.2
解析:d==2,故选D.
答案:D
2.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于(　　)
A. B.-
C.-或- D.-
解析:由点到直线的距离公式可得,化简得|3a+3|=|6a+4|,解得实数a=-或-.故选C.
答案:C
3.直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是(　　).
解析:由题意知过点P作直线3x-4y-27=0的垂线,
设垂足为M,则|MP|最小,
直线MP的方程为y-1=-(x-2),
解方程组
∴所求点的坐标为(5,-3).
答案:(5,-3)
设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.