2.4.2 圆的一般方程 教案
文档属性
| 名称 | 2.4.2 圆的一般方程 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 317.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-22 11:59:54 | ||
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文档简介
2.4.2圆的一般方程
(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章)
一、教学目标
1.理解圆的一般方程及其特点,体现数学抽象的学科素养.
2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化,展现了数学逻辑推理的学科素养.
3.会求圆的一般方程,体现数学建模的学科素养.
二、教学重难点
掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程
三、教学过程
1.圆的一般方程概念的形成
1.1创设情境，引发思考
【数学情境】方程表示以为圆心,2为半径的圆.可以将此方程变形为.一般地,圆的标准方程可以变形为：(2)的形式.反过来,形如(2)的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗
例如,对于方程,对其进行配方,得,因为任意一个点的坐标都不满足这个方程,所以这个方程不表示任何图形.所以形如(2)的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程.这表明,形如(2)的方程不一定是圆的方程.
1.2深入探究，形成概念
活动：研究圆与形如的方程之间的关系，应讨论以下基本问题：
（1）这类方程是否都是圆的方程？
（2）如果这类方程表示圆，其系数具有什么条件？
（3）这类方程是圆的方程时，能否直接根据系数写出圆的圆心坐标，求出圆的半径？
（4）这类方程如果不表示圆，方程表示什么曲线？
【活动预设】将方程(2)的左边配方，并把常数项移到右边，得
（1）当时，比较方程和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示以为圆心，为半径的圆；
（2）当时，方程(2)只有实数解它表示一个点；
（3）时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
因此，当时，方程(2)表示一个圆.把方程(2)叫做圆的一般方程.
【设计意图】引导学生认识圆的一般方程与一般形式的二元二次方程之间的关系.
思考:圆的标准方程（）与圆的一般方程（，）各有什么特点
【答案预设】圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径,而圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程,方程的代数特征非常明显.
【设计意图】引导学生认识圆的标准方程与一般方程的特点.
1.3思考辨析，加深理解
1.方程x2＋y2＋x＋1＝0表示一个圆.( )
2.若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.( )
3.二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.( )
4.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.( )
【设计意图】辨析概念加深对圆一般方程的理解.
1.4典例分析，初步应用
例 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆.
（1）求实数m的取值范围；（2）写出圆心坐标和半径.
【答案预设】由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
法二：将方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m
【设计意图】在典例分析中掌握求圆的一般方程与标准方程互化的基本方法.
适时小结
小结1：二元二次方程表示圆的判断方法
任何一个圆的方程都可化为 （1）的形式，但方程（1）不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法:
计算 的值,
若其值为正,则表示圆;
若其值为0,则表示一个点;
若其值为负,则不表示任何图形.
(2)将该方程配方为 ,根据圆的标准方程来判断.
2.圆的一般方程的求法
2.1典例分析，对比感知
例4 求过三点的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径。
分析：将的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程.
解：设圆的方程是.
因为三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程的解.把它们的坐标依次代入方程，得到关于的一个三元一次方程组
解这个方程组，得 所以，所求圆的方程是.
由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是，半径.
思考：与例2的方法比较，有什么体会呢？
【活动预设】例4的解答过程中，教科书选择了先求圆的一般方程，再求出圆心坐标和半径，用的仍然是待定系数法来解.这里选用圆的一般方程，与例2中选用标准方程的方法相比，运算就显得容易一些.容易的原因是得到的方程没有二次项，是一个三元一次方程组.而用圆的标准方程的话，得到的是三元二次方程组，需要消去二次项.一般来说，解一次方程比解二次方程容易.
【设计意图】运用方程的思想，进一步体会待定系数法，在比较中学会根据题目条件优择不同的圆的方程.
适时小结
小结2:求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：
根据题意，选择标准方程或一般方程；
根据条件列出关于或的方程组；
解出或，得到标准方程或一般方程.
注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.
(特殊情况时,可借助图象求解更简单)
2.2跟踪训练，巩固应用
(1)已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，则△ABC的外接圆的方程是_____________________.
(2)圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程是____________________.
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模等核心素养。
2.3归纳小结，总结提升
教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题：
圆与形如的方程之间的关系.
圆的一般方程与标准方程之间的互化.
求圆的一般方程的方法.
【设计意图】从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结.通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
四、课外作业
(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章)
一、教学目标
1.理解圆的一般方程及其特点,体现数学抽象的学科素养.
2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化,展现了数学逻辑推理的学科素养.
3.会求圆的一般方程,体现数学建模的学科素养.
二、教学重难点
掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程
三、教学过程
1.圆的一般方程概念的形成
1.1创设情境，引发思考
【数学情境】方程表示以为圆心,2为半径的圆.可以将此方程变形为.一般地,圆的标准方程可以变形为：(2)的形式.反过来,形如(2)的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗
例如,对于方程,对其进行配方,得,因为任意一个点的坐标都不满足这个方程,所以这个方程不表示任何图形.所以形如(2)的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程.这表明,形如(2)的方程不一定是圆的方程.
1.2深入探究，形成概念
活动：研究圆与形如的方程之间的关系，应讨论以下基本问题：
（1）这类方程是否都是圆的方程？
（2）如果这类方程表示圆，其系数具有什么条件？
（3）这类方程是圆的方程时，能否直接根据系数写出圆的圆心坐标，求出圆的半径？
（4）这类方程如果不表示圆，方程表示什么曲线？
【活动预设】将方程(2)的左边配方，并把常数项移到右边，得
（1）当时，比较方程和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示以为圆心，为半径的圆；
（2）当时，方程(2)只有实数解它表示一个点；
（3）时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
因此，当时，方程(2)表示一个圆.把方程(2)叫做圆的一般方程.
【设计意图】引导学生认识圆的一般方程与一般形式的二元二次方程之间的关系.
思考:圆的标准方程（）与圆的一般方程（，）各有什么特点
【答案预设】圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径,而圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程,方程的代数特征非常明显.
【设计意图】引导学生认识圆的标准方程与一般方程的特点.
1.3思考辨析，加深理解
1.方程x2＋y2＋x＋1＝0表示一个圆.( )
2.若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.( )
3.二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.( )
4.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.( )
【设计意图】辨析概念加深对圆一般方程的理解.
1.4典例分析，初步应用
例 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆.
（1）求实数m的取值范围；（2）写出圆心坐标和半径.
【答案预设】由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
法二：将方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m
【设计意图】在典例分析中掌握求圆的一般方程与标准方程互化的基本方法.
适时小结
小结1：二元二次方程表示圆的判断方法
任何一个圆的方程都可化为 （1）的形式，但方程（1）不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法:
计算 的值,
若其值为正,则表示圆;
若其值为0,则表示一个点;
若其值为负,则不表示任何图形.
(2)将该方程配方为 ,根据圆的标准方程来判断.
2.圆的一般方程的求法
2.1典例分析，对比感知
例4 求过三点的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径。
分析：将的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程.
解：设圆的方程是.
因为三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程的解.把它们的坐标依次代入方程，得到关于的一个三元一次方程组
解这个方程组，得 所以，所求圆的方程是.
由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是，半径.
思考：与例2的方法比较，有什么体会呢？
【活动预设】例4的解答过程中，教科书选择了先求圆的一般方程，再求出圆心坐标和半径，用的仍然是待定系数法来解.这里选用圆的一般方程，与例2中选用标准方程的方法相比，运算就显得容易一些.容易的原因是得到的方程没有二次项，是一个三元一次方程组.而用圆的标准方程的话，得到的是三元二次方程组，需要消去二次项.一般来说，解一次方程比解二次方程容易.
【设计意图】运用方程的思想，进一步体会待定系数法，在比较中学会根据题目条件优择不同的圆的方程.
适时小结
小结2:求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：
根据题意，选择标准方程或一般方程；
根据条件列出关于或的方程组；
解出或，得到标准方程或一般方程.
注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.
(特殊情况时,可借助图象求解更简单)
2.2跟踪训练，巩固应用
(1)已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，则△ABC的外接圆的方程是_____________________.
(2)圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程是____________________.
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模等核心素养。
2.3归纳小结，总结提升
教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题：
圆与形如的方程之间的关系.
圆的一般方程与标准方程之间的互化.
求圆的一般方程的方法.
【设计意图】从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结.通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
四、课外作业