湖南省长沙市湖南广益实验中学2022-2023学年八年级上学期入学考试数学试题（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学八年级（上）入学数学试卷（含答案与解析）
一、选择题（本大共12小题，共36分）
1．（3分）下列四个实数中，属于无理数的是（　　）
A．0 B．﹣2 C． D．
2．（3分）关于x，y的二元一次方程3x﹣ay＝1有一组解是，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（3分）下列调查中，最适合采用抽样调查的是（　　）
A．了解我校八年级1班全体同学的视力情况
B．乘坐飞机时对旅客行李的检查
C．了解小明家三口人对端午节来历的了解程度
D．了解某批灯泡的使用寿命
4．（3分）如图，老师在黑板上建立平面直角坐标系，并把课本放在如图所示的位置，则一定没有被课本遮住的点是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，3） C．（3，1） D．（﹣1，﹣1）
5．（3分）若a＞b，则下列式子中一定成立的是（　　）
A．a+2＜b+2 B．﹣a＞﹣b C． D．2a＞b
6．（3分）去年某市有107493名学生参加中考，为了解这107493名学生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（　　）
A．107493名考生是总体
B．样本容量为1000
C．1000名考生是总体的一个样本
D．每位考生是个体
7．（3分）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（　　）
A．4cm，8cm，13cm B．7cm，6cm，14cm
C．3cm，9cm，5cm D．10cm，10cm，8cm
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，若∠BDE＝56°，则∠DAE的度数为（　　）度．
A．23 B．28 C．52 D．56
9．（3分）如图，已知△ABC的三条边和三个角，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（　　）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．只有甲
10．（3分）一个正多边形的内角和比外角和多360°，则该正多边形的边数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．（3分）如图，小颖按下面方法用尺规作角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别截取OC，OD，使OC＝OD．再分别以点C，D为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的平分线．其作图原理是：△OCP≌△ODP，这样就有∠AOP＝∠BOP，那么判定这两个三角形全等的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
12．（3分）已知点P的坐标为（a，b），其中a，b均为实数，若a，b满足3a＝2b+5，则称点P为“和谐点”．若点M（m﹣1，3m+2）是“和谐点”，则点M所在的象限是（　　）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13．（3分）在直角坐标系中，点P（﹣2，3）向右平移3个单位长度后的坐标为　 　．
14．（3分）在平面直角坐标系中，已知点M（m﹣1，2m+3）在y轴上，则m＝　 　．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BD＝4，点D到AB的距离为2，则BC＝　 　．
16．（3分）如图，小虎用10块高度都是4cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE为 　 　cm．
17．（3分）若关于x的不等式组只有3个整数解，则m的取值范围是 　 　．
18．（3分）已知关于x、y的方程组，其中﹣3≤t≤1，给出下列结论：①是方程组的解；②若x﹣y＝3，则t＝1；③若M＝2x﹣y﹣t，则M的最小值为﹣3；其中正确的有 　 　（填写正确答案的序号）．
三、解答题（本题共7个小题，共66分.19、20各6分，21、22、23题各10分，24、25题各12分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）解不等式组．
21．（10分）阅读并填空：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，直线MN交BD于点O．试说明∠1＝∠2的理由．
解：在△ABD和△CDB中，
．
∴△ABD≌△CDB（ 　 　）．
∴　 　（全等三角形的对应角相等）．
∴AD∥BC（ 　 　）．
∴∠1＝∠2（ 　 　）．
22．（10分）某校为了解“课程选修”的情况，对报名参加“艺术鉴赏”，“科技制作”，“数学思维”，“阅读写作”这四个选修项目的学生（每人限报一课）进行抽样调查，下面是根据收集的数据绘制的不完整的统计图：请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）此次共调查了 　 　名学生，扇形统计图中“艺术鉴赏”部分的圆心角是 　 　度；
（2）此次调查“数学思维”的人数为 　 　，并补全条形统计图；
（3）现该校共有600名学生报名参加这四个选修项目，请你估计大约有 　 　名学生选修“科技制作”项目？
23．（10分）某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元．
（1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？
（2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天，改造1个乙种型号大棚的时间是3天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个，改造资金最多能投入128万元，要求改造时间不超过35天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？
24．（12分）我们约定：若点P的坐标为（x，y），则把坐标为（kx+y，x﹣ky）的点Pk成为点P的“k阶益点”（其中k为正整数），例如：P2（2×3+4，3﹣2×4）即P2（10，﹣5）就是点P（3，4）的“2阶益点”．
（1）已知点P3（﹣1，﹣7）是点P（x，y）的“3阶益点”，求点P的坐标；
（2）已知点P2是点P（t+1，2t）的“2阶益点”，将点先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点Q，若点Q落在第四象限，求t的取值范围；
（3）已知点P（x，y）的“k阶益点”是Pk（3，﹣2），若x＜y＜2x，求符合要求的点P的坐标．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（a，b）且a、b满足，过点A作AB⊥x轴于B，过点A作AC⊥y轴于C点，点E，F分别是直线AB，x轴的动点．
（1）如图1点E，F分别在线段AB，OB上，若∠BEC＝∠BFC，求证：CE＝CF；
（2）如图2，连接EF，已知∠ECF＝45°．
①求证：EF＝AE+OF；
②若三角形BEF的面积为4，∠ECF＝45°，求线段EF的长度；
（3）已知，点E，F分别在线段AB和BO的延长线上，连接EF．
①如图3，已知AB＝2OF，CF⊥EF，线段EF上存在一点M，使得MF＝CF，求点M的坐标；
②如图4，请直接写出线段EF，AE和OF之间的数量关系以及点C到直线EF的距离．
2022-2023学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学八年级（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大共12小题，共36分）
1．（3分）下列四个实数中，属于无理数的是（　　）
A．0 B．﹣2 C． D．
【分析】根据有理数和无理数的定义判断即可．
【解答】解：A．0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．﹣2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了无理数，掌握无理数是无限不循环小数是解题的关键．
2．（3分）关于x，y的二元一次方程3x﹣ay＝1有一组解是，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】把代入方程3x﹣ay＝1得出9﹣4a＝1，求出方程的解即可．
【解答】解：把代入方程3x﹣ay＝1得，9﹣4a＝1，
解得a＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．
3．（3分）下列调查中，最适合采用抽样调查的是（　　）
A．了解我校八年级1班全体同学的视力情况
B．乘坐飞机时对旅客行李的检查
C．了解小明家三口人对端午节来历的了解程度
D．了解某批灯泡的使用寿命
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A．了解我校八年级1班全体同学的视力情况，全面调查，故本选项不符合题意；
B．乘坐飞机时对旅客行李的检查，适合全面调查，故本选项不符合题意；
C．了解小明家三口人对端午节来历的了解湿度，适合全面调查，故本选项不符合题意；
D．了解某批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4．（3分）如图，老师在黑板上建立平面直角坐标系，并把课本放在如图所示的位置，则一定没有被课本遮住的点是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，3） C．（3，1） D．（﹣1，﹣1）
【分析】直接利用第三象限点的坐标特点，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：只有第三象限没有被课本遮挡，故一定没有被课本遮住的点是（﹣1，﹣1）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
5．（3分）若a＞b，则下列式子中一定成立的是（　　）
A．a+2＜b+2 B．﹣a＞﹣b C． D．2a＞b
【分析】根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵a＞b，
∴a+2＞b+2，
故A不符合题意；
B、∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
故B不符合题意；
C、∵a＞b，
∴＞，
故C符合题意；
D、∵a＞b，
∴2a＞2b，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
6．（3分）去年某市有107493名学生参加中考，为了解这107493名学生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（　　）
A．107493名考生是总体
B．样本容量为1000
C．1000名考生是总体的一个样本
D．每位考生是个体
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A、107493名考生的数学成绩是总体，故A不符合题意；
B、样本容量为1000，故B符合题意；
C、1000名考生的数学成绩是总体的一个样本，故C不符合题意；
D、每位考生的数学成绩是个体，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
7．（3分）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（　　）
A．4cm，8cm，13cm B．7cm，6cm，14cm
C．3cm，9cm，5cm D．10cm，10cm，8cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、4+8＝12＜13，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、7+6＝13＜14，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、3+5＝8＜9，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、8+10＝18＞10，能组成三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，若∠BDE＝56°，则∠DAE的度数为（　　）度．
A．23 B．28 C．52 D．56
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可得∠CAB+∠B＝90°，∠BDE+∠B＝90°，可得∠CAB＝∠BDE，根据角平分线的定义即可求出∠DAE的度数．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BDE+∠B＝90°，
∴∠CAB＝∠BDE，
∵∠BDE＝56°，
∴∠CAB＝56°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠CAB＝28°，
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
9．（3分）如图，已知△ABC的三条边和三个角，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（　　）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．只有甲
【分析】根据全等三角形的判定一一判断即可．
【解答】解：∵∠A＝180°﹣42°﹣51°＝87°，
根据AAS可以判定甲与△ABC全等，根据ASA可以判定乙与△ABC全等．
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．（3分）一个正多边形的内角和比外角和多360°，则该正多边形的边数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据一个正多边形的内角和比外角和多360°，结合多边形的内角和定理和外角和定理可列方程，解方程可求解．
【解答】解：设该正多边形的边数为n，
由题意得（n﹣2）×180°﹣360°＝360°，
解得n＝6，
答：该正多边形的边数为6．
故选：B．
【点评】本题主要考查正多边形的内角和定理，多边形的外角的性质，注意方程思想的运用．
11．（3分）如图，小颖按下面方法用尺规作角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别截取OC，OD，使OC＝OD．再分别以点C，D为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的平分线．其作图原理是：△OCP≌△ODP，这样就有∠AOP＝∠BOP，那么判定这两个三角形全等的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】根据SSS证明三角形全等即可．
【解答】解：由作图可知OC＝OD，CP＝DP，
在△POC和△POD中，
，
∴△POC≌△POD（SSS），
∴∠POC＝∠POD，即线OP就是∠AOB的平分线．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定，角平分线的判定等知识，解题的关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题．
12．（3分）已知点P的坐标为（a，b），其中a，b均为实数，若a，b满足3a＝2b+5，则称点P为“和谐点”．若点M（m﹣1，3m+2）是“和谐点”，则点M所在的象限是（　　）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【分析】直接利用“和谐点”的定义得出m的值，进而得出答案．
【解答】解：点M在第三象限，
理由如下：
∵点M（m﹣1，3m+2）是“和谐点”，
∴3（m﹣1）＝2（3m+2）+5，
解得m＝﹣4，
∴m﹣1＝﹣5，3m+2＝﹣10，
∴点M在第三象限．
故选：B．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握“和谐点”的定义是解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13．（3分）在直角坐标系中，点P（﹣2，3）向右平移3个单位长度后的坐标为　（1，3）　．
【分析】让点P的横坐标加3，纵坐标不变即可．
【解答】解：平移后点P的横坐标为﹣2+3＝1，纵坐标不变为3；
∴点P（﹣2，3）向右平移3个单位长度后的坐标为（1，3）．
故答案填：（1，3）．
【点评】平移变换是中考的常考点，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
14．（3分）在平面直角坐标系中，已知点M（m﹣1，2m+3）在y轴上，则m＝　1　．
【分析】根据点在y轴上的点横坐标为0求解．
【解答】解：根据点在y轴上的点横坐标为0，得：m﹣1＝0，
解得：m＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了点与坐标的对应关系，熟记坐标轴上的点的特征是解答本题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BD＝4，点D到AB的距离为2，则BC＝　6　．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由AD平分∠CAB知DC＝DE＝2，则可得出答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠CAB，
∴DC＝DE＝2，
∵BD＝4，
∴BC＝CD+BD＝2+4＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查角平分线的性质、勾股定理，解题的关键是掌握角平分线的性质．
16．（3分）如图，小虎用10块高度都是4cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE为 　33　cm．
【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝12cm，DC＝BE＝21cm，
∴DE＝DC+CE＝33（cm），
答：两堵木墙之间的距离为33cm．
故答案为：33．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
17．（3分）若关于x的不等式组只有3个整数解，则m的取值范围是 　﹣3＜m≤﹣　．
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组只有3个整数解，确定出m的范围即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
解得：≤x＜2，
∵不等式组只有3个整数解，即﹣1，0，1，
∴﹣2＜≤﹣1，
解得：﹣3＜m≤﹣．
故答案为：﹣3＜m≤﹣．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解本题的关键．
18．（3分）已知关于x、y的方程组，其中﹣3≤t≤1，给出下列结论：①是方程组的解；②若x﹣y＝3，则t＝1；③若M＝2x﹣y﹣t，则M的最小值为﹣3；其中正确的有 　①②③　（填写正确答案的序号）．
【分析】先解出方程组得，再逐项判断．
【解答】解：，
（2）﹣（1）得：4y＝4t﹣4，
∴y＝t﹣1，
把y＝t﹣1代入（2）得x＝2t+1，
∴，
当t＝0时，，
∴是方程组的解，故①正确；
若x﹣y＝3，则2t+1﹣（t﹣1）＝3，
∴t＝1，故②正确；
∵M＝2x﹣y﹣t＝2（2t+1）﹣（t﹣1）﹣t＝2t+3，﹣3≤t≤1，
∴﹣3≤M≤5，
∴M的最小值为﹣3，故③正确；
∴正确的有①②③，
故答案为：①②③．
【点评】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法．
三、解答题（本题共7个小题，共66分.19、20各6分，21、22、23题各10分，24、25题各12分）
19．（6分）计算：．
【分析】直接利用立方根的性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2+4﹣（﹣1）+1
＝﹣2+4﹣+1+1
＝4﹣．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
20．（6分）解不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由1﹣（x+3）＜x，得：x＞﹣，
由2（x+5）≥4（x﹣1），得：x≤7，
则不等式组的解集为﹣＜x≤7．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（10分）阅读并填空：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，直线MN交BD于点O．试说明∠1＝∠2的理由．
解：在△ABD和△CDB中，
．
∴△ABD≌△CDB（ 　SSS　）．
∴　∠ADB＝∠CBD　（全等三角形的对应角相等）．
∴AD∥BC（ 　内错角相等，两直线平行　）．
∴∠1＝∠2（ 　两直线平行，内错角相等　）．
【分析】根据全等三角形的判定和性质以及平行线的判定解答即可．
【解答】解：在△ABD和△CDB中，
．
∴△ABD≌△CDB（SSS）．
∴∠ADB＝∠CBD（全等三角形的对应角相等）．
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：SSS；∠ADB＝∠CBD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【点评】考查了全等三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（10分）某校为了解“课程选修”的情况，对报名参加“艺术鉴赏”，“科技制作”，“数学思维”，“阅读写作”这四个选修项目的学生（每人限报一课）进行抽样调查，下面是根据收集的数据绘制的不完整的统计图：请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）此次共调查了 　200　名学生，扇形统计图中“艺术鉴赏”部分的圆心角是 　144　度；
（2）此次调查“数学思维”的人数为 　40人　，并补全条形统计图；
（3）现该校共有600名学生报名参加这四个选修项目，请你估计大约有 　90　名学生选修“科技制作”项目？
【分析】（1）由“阅读写作”的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以“艺术鉴赏”人数所占比例可得其圆心角度数；
（2）根据四个选修项目人数之和等于总人数求出“数学思维”人数，从而补全图形；
（3）总人数乘以样本中“科技制作”人数所占比例即可．
【解答】解：（1）此次共调查的学生人数为50÷25%＝200（名），
扇形统计图中“艺术鉴赏”部分的圆心角是360°×＝144°，
故答案为：200，144；
（2）“数学思维”的人数为200﹣（80+30+50）＝40（人），
补全图形如下：
故答案为：40人；
（3）选修“科技制作”项目的人数约为600×＝90（名），
故答案为：90．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
23．（10分）某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元．
（1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？
（2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天，改造1个乙种型号大棚的时间是3天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个，改造资金最多能投入128万元，要求改造时间不超过35天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？
【分析】（1）设改造1个甲种型号大棚需要x万元，改造1个乙种型号大棚需要y万元，根据“改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设改造m个甲种型号大棚，则改造（8﹣m）个乙种型号大棚，根据改造时间不超过35天且改造费用不超过128万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各改造方案，再利用总价＝单价×数量分别求出三种方案所需改造费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设改造1个甲种型号大棚需要x万元，改造1个乙种型号大棚需要y万元，
依题意，得：，
解得：．
答：改造1个甲种型号大棚需要12万元，改造1个乙种型号大棚需要18万元．
（2）设改造m个甲种型号大棚，则改造（8﹣m）个乙种型号大棚，
依题意，得：，
解得：≤m≤．
∵m为整数，
∴m＝3，4，5，
∴共有3种改造方案，方案1：改造3个甲种型号大棚，5个乙种型号大棚；方案2：改造4个甲种型号大棚，4个乙种型号大棚；方案3：改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚．
方案1所需费用12×3+18×5＝126（万元）；
方案2所需费用12×4+18×4＝120（万元）；
方案3所需费用12×5+18×3＝114（万元）．
∵114＜120＜126，
∴方案3改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚基地投入资金最少，最少资金是114万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
24．（12分）我们约定：若点P的坐标为（x，y），则把坐标为（kx+y，x﹣ky）的点Pk成为点P的“k阶益点”（其中k为正整数），例如：P2（2×3+4，3﹣2×4）即P2（10，﹣5）就是点P（3，4）的“2阶益点”．
（1）已知点P3（﹣1，﹣7）是点P（x，y）的“3阶益点”，求点P的坐标；
（2）已知点P2是点P（t+1，2t）的“2阶益点”，将点先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点Q，若点Q落在第四象限，求t的取值范围；
（3）已知点P（x，y）的“k阶益点”是Pk（3，﹣2），若x＜y＜2x，求符合要求的点P的坐标．
【分析】（1）构建方程组求解即可；
（2）构建不等式组解决问题即可；
（3）根据不等式组，求出整数k，可得结论．
【解答】解：（1）由题意，解得，，
∴P（﹣1，2）；
（2）由题意，，
解得，t＞﹣；
（3）由题意，，
解得，，
∵x＜y＜2x，
∴＜＜，
解得，＜k＜5，
∵k是正整数，
∴K＝2或3或4，
∴或或，
∴满足条件的点P的坐标为（，）或（，）或（，）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解一元一次方程，不等式组等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或不等式解决问题．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（a，b）且a、b满足，过点A作AB⊥x轴于B，过点A作AC⊥y轴于C点，点E，F分别是直线AB，x轴的动点．
（1）如图1点E，F分别在线段AB，OB上，若∠BEC＝∠BFC，求证：CE＝CF；
（2）如图2，连接EF，已知∠ECF＝45°．
①求证：EF＝AE+OF；
②若三角形BEF的面积为4，∠ECF＝45°，求线段EF的长度；
（3）已知，点E，F分别在线段AB和BO的延长线上，连接EF．
①如图3，已知AB＝2OF，CF⊥EF，线段EF上存在一点M，使得MF＝CF，求点M的坐标；
②如图4，请直接写出线段EF，AE和OF之间的数量关系以及点C到直线EF的距离．
【分析】（1）由“AAS”可证△CAE≌△COF，可得CE＝CF；
（2）①由“SAS”可证△ACE≌△OCH，可得CH＝CE，∠ACE＝∠OCH，由“SAS”可证△CEF≌△CHF，可得EF＝HF，可得结论；
②由三角形的面积关系可求解；
（3）①由“ASA”可证△COF≌△FHM，可得FH＝CO＝4，FO＝HM＝2，即可求解；
②由“SAS”可证△FCE≌△HCE，可得EF＝EH，∠CEA＝∠ECN，可得AE＝FO+EF，由角平分线的性质可求AC＝CN＝4．
【解答】（1）证明：∵，
∴（a﹣4）2+＝0，
∴a＝4，b＝4，
∴点A（4，4），
∵AB⊥OB，AC⊥OC，∠BOC＝90°，
∴AC＝AB＝4，四边形ABOC是矩形，
∴四边形ABOC是正方形，
∴OC＝AC，
∵∠BEC＝∠BFC，
∴∠CEA＝∠CFO，
又∵∠BOC＝∠BAC＝90°，
∴△CAE≌△COF（AAS），
∴CE＝CF；
（2）①证明：如图2，在x轴的负半轴上截取OH＝AE，连接CH，
∵AE＝OH，∠COH＝∠CAE＝90°，AC＝CO，
∴△ACE≌△OCH（SAS），
∴CH＝CE，∠ACE＝∠OCH，
∵∠ECF＝45°，
∴∠ACE+∠FCO＝45°，
∴∠OCH+∠FCO＝45°＝∠ECF，
又∵CF＝CF，
∴△CEF≌△CHF（SAS），
∴EF＝HF，
∴EF＝OH+OF＝AE+OF；
②解：∵△ACE≌△OCH，
∴S△ACE＝S△OCH，
∵△CEF≌△CHF，
∴S△CEF＝S△CFH，
∵S△BEF＝4，S正方形OBAC＝4×4＝16，
∴S△CEF+S△ACE+S△COF＝2S△CFH＝12，
∴2××HF×CO＝12，
∴4EF＝12，
∴EF＝3；
（3）①解：如图3，过点M作MH⊥BF于H，
∵AB＝2OF，
∴OF＝2，
∵CF⊥EF，MH⊥FH，
∴∠CFE＝∠FHM＝∠COF＝90°，
∴∠CFO+∠EFB＝90°＝∠CFO+∠FCO，
∴∠EFB＝∠FCO，
又∵∠COF＝∠FHM＝90°，CF＝FM，
∴△COF≌△FHM（ASA），
∴FH＝CO＝4，FO＝HM＝2，
∴OH＝2，
∴点M（2，﹣2）；
②解：AE＝FO+EF，理由如下：
如图4，在AB上截取AH＝OF，连接CH，过点C作CN⊥EF于N，
∵OF＝AH，∠A＝∠COF＝90°，AC＝CO，
∴△ACH≌△OCF（SAS），
∴CF＝CH，∠NCF＝∠ACH，
∴∠FCH＝∠FCO+∠OCH＝∠ACH+∠OCH＝∠ACO＝90°，
∵∠FCE＝45°，
∴∠ECH＝45°＝∠FCE，
又∵FC＝CH，CE＝CE，
∴△FCE≌△HCE（SAS），
∴EF＝EH，∠CEA＝∠ECN，
∴AE＝AH+EH＝FO+EF，
∵∠CEA＝∠ECN，AC⊥AE，CN⊥EN，
∴AC＝CN＝4，
∴点C到直线EF的距离为4．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．