【核心素养目标】1.3.2正方形的判定 教学设计

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1.3.2正方形的判定教学设计
课题 1.3.2正方形的判定 单元 1 学科 数学 年级 九
教材分析 本课内容从属于“图形与几何”中的“图形的性质”，因而务必服务于演绎推理教学的远期目标：“让学生经历‘探索—发现—猜想—证明’的过程，体会证明的必要性，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想，发展空间观念”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标．
科学素养 理解正方形的概念，要求学生明确正方形是最最特殊的四边形，理解正方形的概念是探究正方形性质和判定的出发点。经历对正方形性质和判定的理性思辨和归纳过程，形成对正方形的完整认识，并能解决相关问题，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力.
学习 目标 1．探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别； 2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 .
重点 正方形的判定方法.
难点 正方形的判定方法.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师提问： 什么是正方形？正方形有哪些性质？ 学生回答 复习与本课关系密切的正方形的性质，引入本课，为本课的学习做好准备。同时板书课题.
讲授新课 如何判定一个四边形是正方形呢？。 判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条： （1）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等； （2）先证它是菱形，再证它有一个角为直角. 如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角打开，只要剪口线与折痕成45°角，展开后的图形就是正方形. 你知道这样做的道理吗？ 想一想：满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流． 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证. 满足怎样条件的矩形是正方形？ 预 【猜想1】当矩形的一组邻边相等时，会变成一个正方形. 【猜想2】当矩形的对角线互相垂直时，会变成一个正方形. 证明 猜想1：有一组邻边相等的矩形是正方形. 已知：四边形ABCD是矩形，AB=BC. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=90°，四边形ABCD是平行四边形 又∵ AB=BC， ∴四边形ABCD是正方形. 猜想2：对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知：四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴OA=OC=OB=OD，∠BAD=90°. 又∵ AC⊥BD， ∴△AOB ≌ △AOD（SAS）. ∴AB = AD. ∴四边形ABCD是正方形.（正方形的定义）. 【归纳】 正方形的判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形. 符号语言： ∵四边形ABCD是矩形，AB=BC， ∴四边形ABCD是正方形. 正方形的判定定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形. 符号语言： ∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形. 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形. 满足怎样条件的菱形是正方形？ 【猜想3】当菱形的有一个角是直角时，会变成一个正方形. 【猜想4】当菱形的对角线相等时，会变成一个正方形. 【证明】 猜想3：有一个角是直角的菱形是正方形. 已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC，四边形ABCD是平行四边形 又∵ ∠A=90°， ∴四边形ABCD是正方形. 猜想4：对角线相等的菱形是正方形. 已知：四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AC=BD. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD. 又∵ AC=BD， ∴OA=OC=OB=OD，∠AOB=∠BOC= ∠COD=∠AOD=90°. ∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都 是等腰直角三角形. ∴∠BAD=90° ∴四边形ABCD是正方形（正方形的定义）. 【归纳】 正方形的判定定理3：有一个角是直角的菱形是正方形. 符号语言： ∵四边形ABCD是菱形，∠A=90°， ∴四边形ABCD是正方形. 定理4：对角线相等的菱形是正方形. 符号语言： ∵四边形ABCD是矩形，AC=BD， ∴四边形ABCD是正方形. 总结归纳 正方形判定的几条途径： 例1 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形 BECF 是正方形. 想一想 我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形。 任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明. 以正方形四边的中点为顶点，可以组成一个正方形。 议一议 菱形的中点四边形会是什么形状？矩形的中点四边形会是什么形状？ 你能试着证明吗？ 决定中点四边形形状的关键因素是什么？ 决定中点四边形的形状的主要因素是:原四边形的对角线的长度和位置关系. 思考回答 观察与思考 动手操作，交流反馈 说出猜想 熟悉证明过程 熟悉正方形的判定定理1、2及其几何语言 动手操作，交流反馈 说出猜想 熟悉证明过程 熟悉正方形的判定定理及其几何语言 学生试着归纳正方形的判定 明确例题的做法 动手画一画，观看图形猜测结论 证明猜想 动手画一画，观看图形猜测结论 通过想一想与操作环节，引出将要探究的内容 通过活动探究当矩形满足一组邻边相等或对角线互相垂直时，所得的四边形是正方形. 通过证明让学生明确正方形的判定定理1、2，培养学生的逻辑推理能力. 通过归纳进一步熟悉正方形的判定定理，培养归纳概括能力. 通过活动探究当菱形形满足有一个角是直角或对角线相等时，所得的四边形是正方形. 通过证明让学生明确正方形的判定定理3、4，培养学生的逻辑推理能力. 通过归纳进一步熟悉正方形的判定定理，培养归纳概括能力. 让学生在探究过程中进一步加深对正方形的判定定理的认识和理解，培养学生的应用意识. 探究中点四边形的问题，旨在综合应用平行四边形及正方形的性质定理和判定定理，发展空间感念，培养学生解决问题的能力. 利用类比的方法分别提出了以菱形、矩形以及平行四边形各边中点为顶点所组成图形的形状问题，除了让学生猜测、证明外，还希望学生能进一步分析、概括得到一个一般性的结论：所得的四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系.
课堂练习 1.在菱形ABCD中，若要添加一个条件后，使它是正方形，则添加的条件可以是(　　) A．AB＝AD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD 2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(　　) A．BC＝AC B．BD＝DF C．AC＝BF D．CF⊥BF 3.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是___________（只填写序号）． 4.如图所示，E 是正方形 ABCD 边 BC 上任意一点，EF⊥BO 于 F，EG⊥CO 于 G，若 AB = 10 厘米，则四边形 EGOF 的周长是_____厘米. 5．已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线 BD上的两点，且BE=DF． 求证：四边形AECF是菱形 6．如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H 分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH．四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如何判断的？ 由学生自己独立思考完成，并找出做的好的同学谈谈自己的思路和见解。 这个环节是巩固本课知识点，通过设置一组由浅入深的练习，来检测学生的掌握情况，在这部分的设计中，主要是发挥学生作为教学主体的主动性，让学生感受学习的乐趣和成功的喜悦。
课堂小结 谈一谈这节课有什么收获？
板书 课题： 1.3.2 正方形的判定 (1) 有一组邻边相等的矩形是正方形； (2) 对角线互相垂直的矩形是正方形； (3) 有一个角是直角的菱形是正方形； (4) 对角线相等的菱形是正方形。
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