【新课标】1.3.2正方形的判定 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
1.3.2正方形的判定
北师大版 九年级上册
教学目标
1．探索并证明正方形的判定，了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；
2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 .
情景导入
什么是正方形？正方形有哪些性质？
正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.
正方形性质：①四个角都是直角;
②四条边都相等;
③对角线相等且互相垂直平分；
④既是中心对称图形也是轴对称图形.
新知讲解
如何判定一个四边形是正方形呢？
判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条：
（1）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；
（2）先证它是菱形，再证它有一个角为直角.
简记 ： 即是矩形又是菱形就是正方形
新知讲解
如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样才能剪出一个正方形？
剪下一个等腰直角三角形就能剪出一个正方形.
新知讲解
方位角和距离
满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流．
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
对角线相等
对角线垂直
新知讲解
准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
新知讲解
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
一组邻边相等
对角线互相垂直
正方形
你能证明这两种猜想吗？
新知讲解
定理：有一组邻边相等的矩形是正方形.
已知：ABCD是矩形，且AB=BC，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是矩形，
∴∠A = 90°，
又∵AB = BC，
∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
证明：有一组邻边相等的矩形是正方形.
新知讲解
证明：对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图，在矩形ABCD中，AC , DB是它的两条对角线，AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
证明：
∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴ AD=AB=BC=CD,
∴四边形ABCD是正方形.
归纳总结
通过矩形判定正方形：
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，
AB=AD，
所以四边形ABCD是正方形。
判定方法2：对角线互相垂直的矩形是正方形。
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，
AC⊥BD，
所以四边形ABCD是正方形。
A
B
C
D
O
判定方法1：有一组邻边相等的矩形是正方形。
新知讲解
你能证明这两个猜想吗？
把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
正方形
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
菱形
一个角是直角
对角线相等
正方形
新知讲解
定理：有一个角是直角的菱形是正方形.
已知：ABCD是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = DA，
又∵∠A = 90° ，
∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
新知讲解
定理：对角线相等的菱形是正方形.
已知：ABCD是菱形，AC=BD，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD
∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）
又∵AC = BD ，
∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.
∴∠ABC = 90°.
∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
归纳总结
正方形判定的几条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角，
一组邻边相等，
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
典例精析
例1 如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC ，CE平分∠DCB , BF∥CE , CF∥BE.
求证：四边形BECF是正方形.
F
A
B
E
C
D
典例精析
F
A
B
E
C
D
证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°,
又∵BE平分∠ABC, CE平分∠DCB,
∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°,
∴ ∠EBC =∠ECB .
∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 .
在△EBC中
∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°,
∴∠BEC = 90°,
∴菱形BECF是正方形.
想一想
我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形。
那么，任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明.
想一想
A
D
C
B
A1
B1
C1
D1
以正方形四边的中点为顶点，可以组成一个正方形。
证明思路：
利用三角形的中位线证出A1D1=A1B1=C1D1
=C1B1，从而得到四边形A1B1C1D1是矩形，再根据一组邻边相等得出A1B1C1D1是正方形。
议一议
以菱形各边的中点为顶点组成的四边形会是什么形状？以矩形各边的中点为顶点组成的四边形会是什么形状？
菱形的中点组成的四边形是矩形.
你能试着证明吗？
矩形的中点组成的四边形是菱形.
议一议
已知：如图，点 E，F，G，H 分别是菱形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为矩形.
证明：连接 AC，BD，
∵ E，F分别是 AB 和 BC 边中点，
∴ EF∥AC，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD.
∴EF∥HG，EH∥FG，
∴四边形 EFGH ，PFQO 为平行四边形.
又∵四边形 ABCD 是菱形
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），
∴∠1=90°，∠2=90°.
∴四边形 EFGH 是矩形（矩形的定义）
议一议
已知：如图，点 E，F，G，H 分别是矩形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为菱形.
证明：连接 AC，BD，
∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点，
∴EF∥AC 且 EF = AC，
同理可证 HG∥AC且HG =AC，
EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD.
议一议
∴四边形 EFGH 为平行四边形.
又∵四边形 ABCD是矩形
∴AC=BD（矩形的对角线相等），
∴EF=EH
∴四边形 EFGH 是菱形（菱形的定义）
归纳总结
决定中点四边形形状的关键因素是什么？
对角线
不垂直，
不相等
平行四边形
对角线
不垂直，
不相等
平行四边形
对角线相等
菱形
对角线垂直
矩形
对角线相等且垂直
正方形
课堂练习
1.在菱形ABCD中，若要添加一个条件后，使它是正方形，则添加的条件可以是(　　)
A．AB＝AD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD
2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(　　)
A．BC＝AC B．BD＝DF C．AC＝BF D．CF⊥BF
B
C
课堂练习
3.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是___________（只填写序号）．
②③或①④
4.如图所示，E 是正方形 ABCD 边 BC 上任意一点，EF⊥BO 于 F，EG⊥CO 于 G，若 AB = 10 厘米，则四边形 EGOF 的周长是_____厘米.
课堂练习
5．已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线 BD上的两点，且BE=DF．
求证：四边形AECF是菱形
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CB,AD∥CB.
∴∠ADF=∠CBE.
又∵BE=DF,
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AF=CE,∠AFD=∠CEB.
∴∠AFE=∠CEF.∴AF∥CE.
课堂练习
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AD=AB,∴∠ADF=∠ABE.
又∵BE=DF,∴△AFD≌△AEB（SAS）.
∴AF=AE.
∴四边形AECF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.
课堂练习
6．如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H 分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH．四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如何判断的？
解：四边形EFGH是正方形.
理由如下：在正方形ABCD中，
AB=BC=CD=AD,
∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CG=DH,
∴BE=CF=DG=AH.
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS).
课堂练习
∴∠AEH=∠DHG,HE=EF=FG=GH.
∴四边形EFGH是菱形.
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°.
∴∠EHG=90°.
∴四边形EFGH是正方形.
课堂总结
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
板书设计
1.3.2 正方形的判定
(2) 对角线互相垂直的矩形是正方形；
(3) 有一个角是直角的菱形是正方形；
(4) 对角线相等的菱形是正方形.
(1) 有一组邻边相等的矩形是正方形；
作业布置
教材第25页习题1.8 第2、3题
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin