高中数学选择性必修第三册RJ·A--6.2 排列与组合-6.2.3 组合 6.2.4 组合数课件 课件（共18张ppt）
文档属性
| 名称 | 高中数学选择性必修第三册RJ·A--6.2 排列与组合-6.2.3 组合 6.2.4 组合数课件 课件（共18张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-22 20:56:05 | ||
图片预览
文档简介
第六章
6.2
排列与组合
6.2.3 组合
6.2.4 组合数
学习目标
1.理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系.
2.能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用组合数的性质化简、计算、证明.
3.能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应用能力和分析问题、解决问题的能力.
核心素养：逻辑推理、数学运算、数学建模.
新知学习
探究：从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
这一问题与6.2.1节的问题1有什么联系与区别？
从6.2.1节问题1的6种选法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2种不同顺序的选法，我们可以将它看成是先选出甲、乙2名同学，然后再分配上午和下午而得到的.同样，先选出甲、丙或乙、丙，再分配上午和下午也都各有2种方法.而从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，就只需考虑将选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序.于是，在6.2.1节问题1的6种选法中，将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况：
甲乙，甲丙，乙丙.
将具体背景舍去，上述问题可以概括为：
从3个不同元素中取出2个元素作为一组，一共有多少个不同的组？
新知讲解
一般地，从????个不同元素中取出????（????≤????）个元素作为一组，叫做从????个不同元素中取出????个元素的一个组合（combination）.
?
思考：你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？
从排列与组合的定义可以知道，两者都是从????个不同元素中取出????（????≤????）个元素，这是它们的共同点.但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的.例如，在上述探究问题中，“甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，但不是相同的排列.由此，以“元素相同”为标准分类，就可以建立起排列和组合之间的对应关系，如图所示.
?
思考：校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆.
下面的问题是排列问题，还是组合问题？
（1）从中选3辆，有多少种不同的方法？
（2）从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法？
在（1）中，选出3辆车即可，没有顺序，是一个组合问题；
在（2）中，不仅要选出3辆车，还要分配给3位同学，有顺序，是一个排列问题.
典例剖析
例5 平面内有A，B，C，D共4个点.
（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？
（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？
解：（1）一条有向线段的两个端点要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段的条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为
A24＝4×3＝12.
这12条有向线段分别为 ????????，????????，????????，????????，????????，????????，????????，????????，????????，????????，????????，????C.
（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：
AB，AC，AD，BC，BD，CD.
?
思考：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？
进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？
（1）中的排列和（2）中的组合之间的对应关系如下：
排列 组合
????????，???????? → AB
????????，???????? → AC
????????，???????? → AD
????????，???????? → BC
????????，???????? → BD
????????，???????? → CD
取出两个元素的组合的个数是排列数的一半.
?
新知讲解
从????个不同元素中取出????（????≤????）个元素的所有不同组合的个数，叫做从????个不同元素中取出????个元素的组合数，用符号C?????????表示.
例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为C23，从4个不同元素中取出3个元素的组合数表示为C34.
?
探究：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数A????????来求组合数C????????呢？
?
前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系，并求得了从3个不同元素中取出2个元素的组合数C23＝3.
运用同样的方法，我们来求从4个不同元素中取出3个元素的组合数????34.设这4个元素为????，????，????，????，那么从中取出3个元素的排列数A34＝24，以“元素相同”为标准将这24个排列分组，一共有4组，如图所示，因此组合数C34＝4.
?
观察上图，也可以这样理解求“从4个元素中取出3个元素的排列数????34”：
第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有C34种不同的取法；
第2步，将取出的3个元素作全排列，共有????33种不同的排法.
于是，根据分步乘法计数原理，有A34＝C34·A33，即C34＝A43A33＝4.
?
同样地，求“从????个元素中取出????个元素的排列数A????????”，可以看作由以下两个步骤得到：
第1步，从????个不同元素中取出????个元素作为一组，共有C????????种不同的取法；
第2步，将取出的????个元素作全排列，共有A????????种不同的排法.
根据分步乘法计数原理，有A????????＝C????????·A????????.
因此
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}C????????＝A????????A????????＝?????????1?????2…?????????+1?????！.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
这里????，????∈?????，并且????≤????.这个公式叫做组合数公式.
?
因为A????????＝?????！??????????！，
所以，上面的组合数公式还可以写成
?
C????????＝?????！?????！??????????！.
另外，我们规定C????0＝1.
?
提示：（1）对组合数公式C????????应注意两点：
①它的值是一个非零自然数；②????，????∈?????，且????≤????.
（2）在学习组合数公式时，要注意与排列数公式进行对比.
组合数公式1一般用于求值计算；
组合数公式2一般用于化简与证明，因为这个公式便于整体约分化简.
?
典例剖析
例6?计算：（1）C310；（2）C710；（3）C1010；（4）C010.
解：根据组合数公式，可得
（1）C310＝A103A33＝10×9×83!＝120；
（2）C710＝10!7!10?7!＝10×9×8×7!7!×3!＝10×9×83!＝120；
（3）C1010＝A1010A1010＝10!10!＝1；
（4）C010＝1.
?
思考：观察例6的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现？
（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？
新知讲解
组合数的两个性质
性质1 C????????＝C?????????????.
?
性质2 C????+1????＝C????????+C?????????1.
?
例7?在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.
（1）有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
解：（1）所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，
所以抽法种数为C3100＝A1003A33＝100×99×983!＝161 700；
（2）从2件次品中抽出1件的抽法有C12种，从98件合格品中抽出2件的抽法有C298种，
因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为C12×C298＝2×98×972!＝9 506.
?
（3）方法1 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为C12×C298+C22×C198＝9 506+98＝9 604.
方法2 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即C3100-C398＝161 700-98×97×963!＝9 604.
?
随堂小测
1.计算：（1）C83-2C62；
（2）C104-C73·A33.
?
26
0
2.某班级要从4名男生，2名女生中选派4人参加某次社区服务活动，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 （ ）
A.14 B.24 C.28 D.48
A
3.为了配合创建全国文明城市的活动，某校现从4名男教师和5名女教师中选取3人组成创文明志愿者小组，若男女教师至少各有一人，则不同的选法共有 （ ）
A.140种 B.84种 C.70种 D.35种
C
4.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 （ ）
A.300 B.216 C.180 D.162
C
课堂小结
组合与组合数的概念：
组合数公式：
组合：一般地，从????个不同元素中取出????（????≤????）个元素作为一组，叫做从????个不同元素中取出????个元素的一个组合.
?
组合数：从????个不同元素中取出????（????≤????）个元素的所有不同组合的个数，叫做从????个不同元素中取出????个元素的组合数，用符号C?????????表示.
?
C????????＝A????????A????????＝?????????1?????2…?????????+1?????！.
?
C????????＝?????！?????！??????????！.
?
规定：C????0＝1.
?
谢 谢！
6.2
排列与组合
6.2.3 组合
6.2.4 组合数
学习目标
1.理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系.
2.能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用组合数的性质化简、计算、证明.
3.能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应用能力和分析问题、解决问题的能力.
核心素养：逻辑推理、数学运算、数学建模.
新知学习
探究：从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
这一问题与6.2.1节的问题1有什么联系与区别？
从6.2.1节问题1的6种选法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2种不同顺序的选法，我们可以将它看成是先选出甲、乙2名同学，然后再分配上午和下午而得到的.同样，先选出甲、丙或乙、丙，再分配上午和下午也都各有2种方法.而从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，就只需考虑将选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序.于是，在6.2.1节问题1的6种选法中，将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况：
甲乙，甲丙，乙丙.
将具体背景舍去，上述问题可以概括为：
从3个不同元素中取出2个元素作为一组，一共有多少个不同的组？
新知讲解
一般地，从????个不同元素中取出????（????≤????）个元素作为一组，叫做从????个不同元素中取出????个元素的一个组合（combination）.
?
思考：你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？
从排列与组合的定义可以知道，两者都是从????个不同元素中取出????（????≤????）个元素，这是它们的共同点.但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的.例如，在上述探究问题中，“甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，但不是相同的排列.由此，以“元素相同”为标准分类，就可以建立起排列和组合之间的对应关系，如图所示.
?
思考：校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆.
下面的问题是排列问题，还是组合问题？
（1）从中选3辆，有多少种不同的方法？
（2）从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法？
在（1）中，选出3辆车即可，没有顺序，是一个组合问题；
在（2）中，不仅要选出3辆车，还要分配给3位同学，有顺序，是一个排列问题.
典例剖析
例5 平面内有A，B，C，D共4个点.
（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？
（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？
解：（1）一条有向线段的两个端点要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段的条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为
A24＝4×3＝12.
这12条有向线段分别为 ????????，????????，????????，????????，????????，????????，????????，????????，????????，????????，????????，????C.
（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：
AB，AC，AD，BC，BD，CD.
?
思考：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？
进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？
（1）中的排列和（2）中的组合之间的对应关系如下：
排列 组合
????????，???????? → AB
????????，???????? → AC
????????，???????? → AD
????????，???????? → BC
????????，???????? → BD
????????，???????? → CD
取出两个元素的组合的个数是排列数的一半.
?
新知讲解
从????个不同元素中取出????（????≤????）个元素的所有不同组合的个数，叫做从????个不同元素中取出????个元素的组合数，用符号C?????????表示.
例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为C23，从4个不同元素中取出3个元素的组合数表示为C34.
?
探究：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数A????????来求组合数C????????呢？
?
前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系，并求得了从3个不同元素中取出2个元素的组合数C23＝3.
运用同样的方法，我们来求从4个不同元素中取出3个元素的组合数????34.设这4个元素为????，????，????，????，那么从中取出3个元素的排列数A34＝24，以“元素相同”为标准将这24个排列分组，一共有4组，如图所示，因此组合数C34＝4.
?
观察上图，也可以这样理解求“从4个元素中取出3个元素的排列数????34”：
第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有C34种不同的取法；
第2步，将取出的3个元素作全排列，共有????33种不同的排法.
于是，根据分步乘法计数原理，有A34＝C34·A33，即C34＝A43A33＝4.
?
同样地，求“从????个元素中取出????个元素的排列数A????????”，可以看作由以下两个步骤得到：
第1步，从????个不同元素中取出????个元素作为一组，共有C????????种不同的取法；
第2步，将取出的????个元素作全排列，共有A????????种不同的排法.
根据分步乘法计数原理，有A????????＝C????????·A????????.
因此
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}C????????＝A????????A????????＝?????????1?????2…?????????+1?????！.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
这里????，????∈?????，并且????≤????.这个公式叫做组合数公式.
?
因为A????????＝?????！??????????！，
所以，上面的组合数公式还可以写成
?
C????????＝?????！?????！??????????！.
另外，我们规定C????0＝1.
?
提示：（1）对组合数公式C????????应注意两点：
①它的值是一个非零自然数；②????，????∈?????，且????≤????.
（2）在学习组合数公式时，要注意与排列数公式进行对比.
组合数公式1一般用于求值计算；
组合数公式2一般用于化简与证明，因为这个公式便于整体约分化简.
?
典例剖析
例6?计算：（1）C310；（2）C710；（3）C1010；（4）C010.
解：根据组合数公式，可得
（1）C310＝A103A33＝10×9×83!＝120；
（2）C710＝10!7!10?7!＝10×9×8×7!7!×3!＝10×9×83!＝120；
（3）C1010＝A1010A1010＝10!10!＝1；
（4）C010＝1.
?
思考：观察例6的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现？
（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？
新知讲解
组合数的两个性质
性质1 C????????＝C?????????????.
?
性质2 C????+1????＝C????????+C?????????1.
?
例7?在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.
（1）有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
解：（1）所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，
所以抽法种数为C3100＝A1003A33＝100×99×983!＝161 700；
（2）从2件次品中抽出1件的抽法有C12种，从98件合格品中抽出2件的抽法有C298种，
因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为C12×C298＝2×98×972!＝9 506.
?
（3）方法1 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为C12×C298+C22×C198＝9 506+98＝9 604.
方法2 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即C3100-C398＝161 700-98×97×963!＝9 604.
?
随堂小测
1.计算：（1）C83-2C62；
（2）C104-C73·A33.
?
26
0
2.某班级要从4名男生，2名女生中选派4人参加某次社区服务活动，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 （ ）
A.14 B.24 C.28 D.48
A
3.为了配合创建全国文明城市的活动，某校现从4名男教师和5名女教师中选取3人组成创文明志愿者小组，若男女教师至少各有一人，则不同的选法共有 （ ）
A.140种 B.84种 C.70种 D.35种
C
4.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 （ ）
A.300 B.216 C.180 D.162
C
课堂小结
组合与组合数的概念：
组合数公式：
组合：一般地，从????个不同元素中取出????（????≤????）个元素作为一组，叫做从????个不同元素中取出????个元素的一个组合.
?
组合数：从????个不同元素中取出????（????≤????）个元素的所有不同组合的个数，叫做从????个不同元素中取出????个元素的组合数，用符号C?????????表示.
?
C????????＝A????????A????????＝?????????1?????2…?????????+1?????！.
?
C????????＝?????！?????！??????????！.
?
规定：C????0＝1.
?
谢 谢！