高中数学选择性必修第三册RJ·A--7.1 条件概率与全概率公式-7.1.1 条件概率课件（共16张PPT）
文档属性
| 名称 | 高中数学选择性必修第三册RJ·A--7.1 条件概率与全概率公式-7.1.1 条件概率课件（共16张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-22 21:08:52 | ||
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文档简介
(共16张PPT)
7.1.1 条件概率
条件概率与全概率公式
第七章
7.1
学习目标
1.结合古典概型，了解条件概率的概念，能计算简单随机事件的条件概率.
2.结合古典概型，了解条件概率与事件的独立性的关系.
3.结合古典概型，会利用乘法公式计算概率.
核心素养：数学建模、逻辑推理、数学运算.
新知学习
在必修“概率”一章的学习中，我们遇到过求同一试验中两个事件同时发生（积事件）的概率的问题.当事件相互独立时，有
如果事件不独立，如何表示积事件的概率呢？
问题1 某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表（单位：人）所示.
团员 非团员 合计
男生 16 9 25
女生 14 6 20
合计 30 15 45
在班级里随机选择一人做代表，
（1）选到男生的概率是多少？
（2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？
随机选择一人做代表，则样本空间包含45个等可能的样本点.用表示事件“选到团员”，表示事件“选到男生”，根据上表中的数据可以得出，，
（1）根据古典概型知识可知，选到男生的概率
＝＝.
（2）“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件发生的条件下，事发生”的概率，记为.此时相当于以为样本空间来考虑事件发生的概率，而在新的样本空间中事件就是积事件，包含的样本点数.根据古典概型知识可知，＝＝.
问题2 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭.随机选择一个家庭，那么
（1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？
（2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？
观察两个小孩的性别，用表示男孩，表示女孩，则样本空间，且所有样本点是等可能的.用表示事件“选择的家庭中有女孩”，表示事件“选择的家庭中两个孩子都是女孩”，则
（1）根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率
＝.
（2）“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件发生的条件下，事件发生”的概率，记为.此时成为样本空间，事件就是积事件根据古典概型知识可知，
＝.
探究：在问题1和问题2中，都有.一般地，不一定相等.如果相等，那么事件应满足什么条件？
直观上看，当事件相互独立时，事件发生与否不影响事件B发生的概率，这等价于成立.
事实上，若事件相互独立，即，则＝；
反之，若，则
即事件相互独立.
因此，当时，当且仅当事件相互独立时，有.
新知讲解
在上面两个问题中，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是.
这个结论对于一般的古典概型仍然成立.事实上，如图所示，若已知事件发生，则成为样本空间.此时，事件发生的概率是包含的样本点数与包含的样本点数的比值，即.
因为＝＝＝，
所以，在事件发生的条件下，事件发生的概率还可以通过来计算.
一般地，设为两个随机事件，且P（A）>0，我们称
为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率.
思考：对于任意两个事件，如果已知，如何计算呢？
由条件概率的定义，对任意两个事件，则
我们称上式为概率的乘法公式（multiplication formula）.
典例剖析
例1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.
求：
（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；
（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.
解法1：设“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”.
（1）“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件.从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间包含20个等可能的样本点，即＝A25＝5×4＝20.
因为A13×A12＝3×2＝6，所以＝＝.
（2）“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件发生的条件下，事件发生的概率，显然.利用条件概率公式，得＝＝.
解法2：在缩小的样本空间上求.已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道.因此，事件发生的条件下，事件发生的概率为
.
又，利用乘法公式可得×＝.
提示：从例1可知，求条件概率有两种方法：一种是基于样本空间，先计算和，再利用条件概率公式求；另一种是根据条件概率的直观意义，增加了“发生”的条件后，样本空间缩小为就是以为样本空间计算的概率.
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设，则
（1）；
（2）如果是两个互斥事件，则；
（3）设和互为对立事件，则（|）.
例2 已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？
解：用分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则，.
；
（）＝（）|）＝×＝；
（）＝（）（|）＝×＝.
因为所以中奖的概率与抽奖的次序无关.
事实上，在抽奖问题中，无论是放回随机抽取还是不放回随机抽取，中奖的概率都与抽奖的次序无关.
例3 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的
最后1位数字.求：
（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；
（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.
解：（1）设“第次按对密码”，则事件“不超过2次就按对密码”可表示为.
事件与事件互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得
（）＝（）|）＝+×＝.
因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为.
（2）设＝“最后1位密码为偶数”，则
（|）＝+＝.
因此 ，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为.
随堂小测
1.某校从6名学生干部（其中女生4人，男生2人）中选3人参加学校的汇演活动，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为 （ ）
A. B. C. D.
2.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为 （ ）
A. B. C. D.
B
A
3.气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为 （ ）
A. B. C. D.
B
4.在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个（摸出第1个不放回），求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率.
课堂小结
条件概率
乘法公式
（1）；
（2）如果是两个互斥事件，则；
（3）设和互为对立事件，则（|）.
条件概率的性质
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演讲人姓名
7.1.1 条件概率
条件概率与全概率公式
第七章
7.1
学习目标
1.结合古典概型，了解条件概率的概念，能计算简单随机事件的条件概率.
2.结合古典概型，了解条件概率与事件的独立性的关系.
3.结合古典概型，会利用乘法公式计算概率.
核心素养：数学建模、逻辑推理、数学运算.
新知学习
在必修“概率”一章的学习中，我们遇到过求同一试验中两个事件同时发生（积事件）的概率的问题.当事件相互独立时，有
如果事件不独立，如何表示积事件的概率呢？
问题1 某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表（单位：人）所示.
团员 非团员 合计
男生 16 9 25
女生 14 6 20
合计 30 15 45
在班级里随机选择一人做代表，
（1）选到男生的概率是多少？
（2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？
随机选择一人做代表，则样本空间包含45个等可能的样本点.用表示事件“选到团员”，表示事件“选到男生”，根据上表中的数据可以得出，，
（1）根据古典概型知识可知，选到男生的概率
＝＝.
（2）“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件发生的条件下，事发生”的概率，记为.此时相当于以为样本空间来考虑事件发生的概率，而在新的样本空间中事件就是积事件，包含的样本点数.根据古典概型知识可知，＝＝.
问题2 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭.随机选择一个家庭，那么
（1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？
（2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？
观察两个小孩的性别，用表示男孩，表示女孩，则样本空间，且所有样本点是等可能的.用表示事件“选择的家庭中有女孩”，表示事件“选择的家庭中两个孩子都是女孩”，则
（1）根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率
＝.
（2）“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件发生的条件下，事件发生”的概率，记为.此时成为样本空间，事件就是积事件根据古典概型知识可知，
＝.
探究：在问题1和问题2中，都有.一般地，不一定相等.如果相等，那么事件应满足什么条件？
直观上看，当事件相互独立时，事件发生与否不影响事件B发生的概率，这等价于成立.
事实上，若事件相互独立，即，则＝；
反之，若，则
即事件相互独立.
因此，当时，当且仅当事件相互独立时，有.
新知讲解
在上面两个问题中，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是.
这个结论对于一般的古典概型仍然成立.事实上，如图所示，若已知事件发生，则成为样本空间.此时，事件发生的概率是包含的样本点数与包含的样本点数的比值，即.
因为＝＝＝，
所以，在事件发生的条件下，事件发生的概率还可以通过来计算.
一般地，设为两个随机事件，且P（A）>0，我们称
为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率.
思考：对于任意两个事件，如果已知，如何计算呢？
由条件概率的定义，对任意两个事件，则
我们称上式为概率的乘法公式（multiplication formula）.
典例剖析
例1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.
求：
（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；
（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.
解法1：设“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”.
（1）“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件.从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间包含20个等可能的样本点，即＝A25＝5×4＝20.
因为A13×A12＝3×2＝6，所以＝＝.
（2）“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件发生的条件下，事件发生的概率，显然.利用条件概率公式，得＝＝.
解法2：在缩小的样本空间上求.已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道.因此，事件发生的条件下，事件发生的概率为
.
又，利用乘法公式可得×＝.
提示：从例1可知，求条件概率有两种方法：一种是基于样本空间，先计算和，再利用条件概率公式求；另一种是根据条件概率的直观意义，增加了“发生”的条件后，样本空间缩小为就是以为样本空间计算的概率.
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设，则
（1）；
（2）如果是两个互斥事件，则；
（3）设和互为对立事件，则（|）.
例2 已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？
解：用分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则，.
；
（）＝（）|）＝×＝；
（）＝（）（|）＝×＝.
因为所以中奖的概率与抽奖的次序无关.
事实上，在抽奖问题中，无论是放回随机抽取还是不放回随机抽取，中奖的概率都与抽奖的次序无关.
例3 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的
最后1位数字.求：
（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；
（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.
解：（1）设“第次按对密码”，则事件“不超过2次就按对密码”可表示为.
事件与事件互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得
（）＝（）|）＝+×＝.
因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为.
（2）设＝“最后1位密码为偶数”，则
（|）＝+＝.
因此 ，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为.
随堂小测
1.某校从6名学生干部（其中女生4人，男生2人）中选3人参加学校的汇演活动，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为 （ ）
A. B. C. D.
2.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为 （ ）
A. B. C. D.
B
A
3.气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为 （ ）
A. B. C. D.
B
4.在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个（摸出第1个不放回），求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率.
课堂小结
条件概率
乘法公式
（1）；
（2）如果是两个互斥事件，则；
（3）设和互为对立事件，则（|）.
条件概率的性质
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谢 谢！
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