高中数学选择性必修第三册RJ·A--7.1 条件概率与全概率公式-7.1.2 全概率公式 课件（共16张PPT）

第七章
7.1
条件概率与全概率公式
7.1.2 全概率公式
新知学习
思考：从有????个红球和????个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为????????+????.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
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因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是????????+????.但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响.下面我们给出严格的推导.
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用????????表示事件“第????次摸到红球”，????????表示事件“第????次摸到蓝球”，????＝1，2.如图所示，事件????2可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，即????2＝????1????2∪????1????2.利用概率的加法公式和乘法公式，得
????（????2）＝????（????1????2∪????1????2）＝????（????1????2）+????（????1????2）
＝????（????1）????（????2|????1）+????（????1）????（????2|????1）
＝????????+????×?????1????+?????1+????????+????×????????+?????1
＝????????+????.
上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率.
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新知讲解
一般地，设????1，????2，…，????????是一组两两互斥的事件，????1∪????2∪…∪????????＝Ω，且????（????????）>0，????＝1，2，…，????，则对任意的事件?????????，有
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我们称上面的公式为全概率公式.
全概率公式是概率论中最基本的公式之一.
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【提示】（1）公式的直观作用
由于公式包含了乘法公式????（????????????）＝????（????????）????（????|????????），即先有????????后有????，????????对????的发生均有一定作用，只有????????发生了，才有????发生的可能性，????????是????发生的全部“原因”.因此，我们可视为公式的直观作用是“由因求果”.
（2）运用公式的关键
运用公式的关键是寻找其中的完备事件组????1，????2，…，????????，该完备事件组是为了计算????（????）而人为地引入的，选择适当的完备事件组可以使计算大为简化；选择不适当，则不利于问题的解决.
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典例剖析
例4 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.
解：设????1＝“第1天去A餐厅用餐”，????1＝“第1天去B餐厅用餐”，
????2＝“第2天去A餐厅用餐”，则????＝????1∪????1，且????1与????1互斥.
根据题意得
????（????1）＝????（????1）＝0.5，????（????2|????1）＝0.6，????（????2|????1）＝0.8.
由全概率公式，得
????（????2）＝????（????1）????（????2|????1）+????（????1）????（????2|????1）
????????????????＝0.5×0.6+0.5×0.8
????????????????＝0.7.
因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.
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例5 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，计算它是第????（????＝1，2，3）台车床加工的概率.
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分析：取到的零件可能来自第1台车床，也可能来自第2台或第3台车床，有3种可能.设????＝“任取一零件为次品”，????????＝“零件为第i台车床加工”（????＝1，2，3），如图所示，可将事件????表示为3个两两互斥事件的并，利用全概率公式可以计算出事件????的概率.
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解：设????＝“任取一个零件为次品”，????????＝“零件为第i台车床加工”（????＝1，2，3），则????＝????1∪????2∪????3，且????1，????2，????3两两互斥.根据题意得
????（????1）＝0.25，????（????2）＝0.3，????（????3）＝0.45，
????（????|????1）＝0.06，????（????|????2）＝????（????|????3）＝0.05.
（1）由全概率公式，得
????（????）＝????（????1）????（????|????1）+????（????2）????（????|????2）+????（????3）????（????|????3）
????????＝0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05
????????＝0.052?5.
（2）“如果取到的零件是次品，计算它是第????（????＝1，2，3）台车床加工的概率”，
就是计算在????发生的条件下，事件????????发生的概率.
????（????1|????）＝????????1????????????＝????????1????????????1????????＝0.25×0.060.052?5＝27.
类似地，可得 ????（????2|????）＝27，????（????3|????）＝37.
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思考：例5中????（????????），????（????????|????）的实际意义是什么？
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????（????????）是试验之前就已知的概率，它是第????台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率.
当已知抽到的零件是次品（????发生），????（????????|????）是这件次品来自第????台车床加工的可能性大小，通常称为后验概率.
如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么 27，27，37 就分别是第1，2，3台车床操作员应承担的份额.
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贝叶斯公式 设????1，????2，…，????????是一组两两互斥的事件，????1∪????2∪…∪????????＝????，且????（????????）>0，????＝1，2，…，????，则对任意的事件?????????，????（????）>0，有
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新知讲解
典例剖析
例6 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.
（1）分别求接收的信号为0和1的概率；
*（2）已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.
分析：设????＝“发送的信号为0”，????＝“接收到的信号为0”.为便于求解，我们可将题目中所包含的各种信息用图下直观表示.
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解：设????＝“发送的信号为0”，????＝“接收到的信号为0”，则????＝“发送的信号为1”，????＝“接收到的信号为1”.由题意得
????（????）＝????（????）＝0.5，????（????|????）＝0.9，????（????|????）＝0.1，
????（????|????）＝0.05，????（????|????）＝0.95.
（1）????（????）＝????（????）????（????|????）+????（????）????（????|????）＝0.5×0.9+0.5×0.05＝0.475；
????（????）＝1?????（????）＝1?0.475＝0.525.
（2）????（????|????）＝????????????????????????????＝0.5×0.050.475＝119.
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随堂小测
1.已知????（????????）＝0.4，????（????????）＝0.2，则????（????）的值为（　　）
A.0.08 B.0.8 C.0.6 D.0.5
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C
2.已知????（????）＝0.6，????（????|????）＝0.3，????（????|????）＝0.2，则????（????）的值为　　　　.
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0.26
3.两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%.将两批产品混合，从混合产品中任取1件.
（1）求这件产品是合格品的概率；
（2）已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率.
解：设事件????＝“任取1件产品是合格品”，事件????1＝“产品取自第一批”，事件????2＝“产品取自第二批”，则????＝????1∪????2，且????1与????2互斥.
由题意得????（????1）＝0.4，????（????2）＝0.6，????（????|????1）＝0.95，????（????|????2）＝0.96.
（1）由全概率公式，得
????（????）＝????（????1）????（????|????1）+????（????2）????（????|????2）＝0.4×0.95+0.6×0.96＝0.956.
（2）由贝叶斯公式，得
????（????1|????）＝????????1????????????1????????＝0.4×0.950.956≈0.397.
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课堂小结
全概率公式
贝叶斯公式
谢 谢！