高中数学选择性必修第三册RJ·A--7.2 离散型随机变量及其分布列课件 课件（共22张PPT）

第七章
7.2
离散型随机变量及其分布列
新知学习
求随机事件的概率时，我们往往需要为随机试验建立样本空间，并会涉及样本点和随机事件的表示问题.类似函数在数集与数集之间建立对应关系，如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应，将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便，而且能更好地利用数学工具研究随机试验.
有些随机试验的样本点与数值有关系，我们可以直接与实数建立对应关系.例如，掷一枚骰子，用实数????（????＝1，2，3，4，5，6）表示“掷出的点数为????”；又如，掷两枚骰子，样本空间为????＝{（????，????）|????，????＝1，2，…，6}，用????+????表示“两枚骰子的点数之和”，样本点（????，????）就与实数????+????对应.
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有些随机试验的样本点与数值没有直接关系，我们可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值.例如，随机抽取一件产品，有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果，它们与数值无关.如果“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示，即定义
????＝1,抽到次品,0,抽到正品,
那么这个试验的样本点与实数就建立了对应关系.
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类似地，掷一枚硬币，可将试验结果“正面朝上”用1表示，“反面朝上”用0表示；随机调查学生的体育综合测试成绩，可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别赋值5，4，3，2，1；等等.
对于任何一个随机试验，总可以把它的每个样本点与一个实数对应.即通过引入一个取值依赖于样本点的变量????，来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量化.因为在随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性.
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有些随机试验的样本点与数值没有直接关系，我们可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值.例如，随机抽取一件产品，有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果，它们与数值无关.如果“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示，即定义
????＝1,抽到次品,0,抽到正品,
那么这个试验的样本点与实数就建立了对应关系.
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类似地，掷一枚硬币，可将试验结果“正面朝上”用1表示，“反面朝上”用0表示；随机调查学生的体育综合测试成绩，可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别赋值5，4，3，2，1；等等.
对于任何一个随机试验，总可以把它的每个样本点与一个实数对应.即通过引入一个取值依赖于样本点的变量????，来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量化.因为在随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性.
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有些随机试验的样本点与数值没有直接关系，我们可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值.例如，随机抽取一件产品，有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果，它们与数值无关.如果“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示，即定义
????＝1,抽到次品,0,抽到正品,
那么这个试验的样本点与实数就建立了对应关系.
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类似地，掷一枚硬币，可将试验结果“正面朝上”用1表示，“反面朝上”用0表示；随机调查学生的体育综合测试成绩，可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别赋值5，4，3，2，1；等等.
对于任何一个随机试验，总可以把它的每个样本点与一个实数对应.即通过引入一个取值依赖于样本点的变量????，来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量化.因为在随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性.
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探究：考察下列随机试验及其引入的变量：
试验1：从100个电子元件（至少含3个以上次品）中随机抽取三个进行检验，变量????表示三个元件中的次品数；
试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量????表示需要的抛掷次数.
这两个随机试验的样本空间各是什么？各个样本点与变量的值是如何对应的？变量????，????有哪些共同的特征？
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对于试验1，如果用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”，用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点，则样本空间
????1＝{000，001，010，011，100，101，110，111}.
各样本点与变量X的值的对应关系如图所示.
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探究：考察下列随机试验及其引入的变量：
试验1：从100个电子元件（至少含3个以上次品）中随机抽取三个进行检验，变量????表示三个元件中的次品数；
试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量????表示需要的抛掷次数.
这两个随机试验的样本空间各是什么？各个样本点与变量的值是如何对应的？变量????，????有哪些共同的特征？
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对于试验2，如果用?表示“正面朝上”，????表示“反面朝上”，例如用?????????表示第3次才出现“正面朝上”，则样本空间
????2＝{?，?????，?????????，?????????????，…}，
????2包含无穷多个样本点.各样本点与变量????的值的对应关系如图所示.
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在上面两个随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应.变量 ????，????有如下共同点：
（1）取值依赖于样本点；
（2）所有可能取值是明确的.
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一般地，对于随机试验样本空间????中的每个样本点，都有唯一的实数????（????）与之对应，我们称????为随机变量.试验1中随机变量????的可能取值为0，1，2，3，共有4个值；试验2中随机变量????的可能取值为1，2，3，…，有无限个取值，但可以一一列举出来.
像这样，可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量.
通常用大写英文字母表示随机变量，例如????，????，????；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如????，????，????.
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随机变量→函数
????→自变量
????→定义域
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随机变量的取值????（????）随着试验结果????的变化而变化，这使我们可以比较方便地表示一些随机事件.
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现实生活中，离散型随机变量的例子有很多.
例如，某射击运动员射击一次可能命中的环数????，它的可能取值为0，1，2，…，10；某网页在24 h内被浏览的次数????，它的可能取值为0，1，2，…；等等.
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现实生活中还有大量不是离散型随机变量的例子.
例如，种子含水量的测量误差????1；某品牌电视机的使用寿命????2；测量某一个零件的长度产生的测量误差????3.这些都是可能取值充满了某个区间、不能一一列举的随机变量.本节我们只研究取有限个值的离散型随机变量.
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根据问题引入合适的随机变量，有利于我们简洁地表示所关心的随机事件，并利用数学工具研究随机试验中的概率问题.
例如，掷一枚质地均匀的骰子，????表示掷出的点数，则事件“掷出????点”可以表示为{????＝????}（????＝1，2，3，4，5，6），事件“掷出的点数不大于2”可以表示为{????≤2}，事件“掷出偶数点”可以表示为{????＝2}∪{????＝4}∪{????＝6}，等等.
由掷出各种点数的等可能性，可得
????（????＝????）＝16，????＝1，2，3，4，5，6.
这一规律可以用下表表示.
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{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}????
1
2
3
4
5
6
????
16
16
16
16
16
16
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
1
2
3
4
5
6
一般地，设离散型随机变量????的可能取值为????1，????2，…，????????，我们称????取每一个值????????的概率
????（????＝????????）＝????????，????＝1，2，…，????
为????的概率分布列，简称分布列.
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与函数的表示法类似，离散型随机变量的分布列也可以用表格表示（如下表）.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}????
????1
????2
…
????????
????
????1
????2
…
????????
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
…
…
离散型随机变量的分布列还可以用图形表示.
例如，右图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数????的分布列，称为????的概率分布图.
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根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质：
（1）????????≥0，????＝1，2，…，????；
（2）????1+????2+…+????????＝1.
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利用分布列和概率的性质，可以计算由离散型随机变量表示的事件的概率.例如，在掷骰子试验中，由概率的加法公式，得事件“掷出的点数不大于2”的概率为
????（????≤2）＝????（????＝1）+????（????＝2）＝16+16＝13.
类似地，事件“掷出偶数点”的概率为
???????????????（{????＝2}∪{????＝4}∪{????＝6}）
????????＝????（????＝2）+????（????＝4）+????（????＝6）
?????????? ＝16+16+16＝12.
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例1 一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义
????＝1,抽到次品,0,抽到正品.
求????的分布列.
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典例剖析
解：根据????的定义，{????＝1}＝“抽到次品”，{????＝0}＝“抽到正品”，
????的分布列为
????（????＝0）＝0.95，????（????＝1）＝0.05.
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对于只有两个可能结果的随机试验，用????表示“成功”，????表示“失败”，定义????＝1,????发生,0,????发生.
如果????（????）＝????，则????（????）＝1?????，那么????的分布列如下表所示.
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????
0
1
????
1?????
????
0
1
我们称????服从两点分布或0-1分布.实际上，????为在一次试验中成功（事件????发生）的次数（0或1）.像购买的彩券是否中奖，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，都可以用两点分布来描述.
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例2 某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}等级
不及格
及格
中等
良
优
分数
1
2
3
4
5
人数
20
50
60
40
30
从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数????的分布列，以及????（????≥4）.
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解：由题意知，????是一个离散型随机变量，其可能取值为1，2，3，4，5，且{????＝1}＝“不及格”，{????＝2}＝“及格”，{????＝3}＝“中等”，{????＝4}＝“良”，{????＝5}＝“优”.根据古典概型的知识，可得????的分布列，如下表所示.
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????
1
2
3
4
5
????
110
14
310
15
320
1
2
3
4
5
????（????≥4）＝????（????＝4）+????（????＝5）＝15+320＝720.
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例3 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台.如果从中随机挑选2台，
求这2台电脑中A品牌台数的分布列.
解：设挑选的2台电脑中A品牌的台数为????，则????的可能取值为0，1，2.
根据古典概型的知识，可得????的分布列为
????（????＝0）＝C30C72C102＝715，????（????＝1）＝C31C71C102＝715，????（????＝2）＝C32C70C102＝115.
用表格表示????的分布列，如下表所示.
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????
0
1
2
????
715
715
115
0
1
2
随堂小测
1.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为????，则“????>4”表示试验的结果为 （　　）
A.第一枚为5点，第二枚为1点 B.第一枚大于4点，第二枚也大于4点
C.第一枚为6点，第二枚为1点 D.第一枚为4点，第二枚为1点
?
C
2.袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，有放回地依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量????，则????所有可能值的个数是（　　）
A.25 B.10 C.9 D.5
?
C
3.已知随机变量????的分布列如下表，则????＝　　　　.
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ξ
0
1
2
P
x2
x
14
ξ
0
1
2
P
x2
x
12
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4.从装有除颜色外完全相同的6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢.
（1）以????表示赢得的钱数，随机变量????可以取哪些值？求????的分布列.
（2）求出赢钱（即????>0时）的概率.
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解：（1）从箱中取两个球的情形有以下6种：
{2个白球}，{1个白球，1个黄球}，{2个黄球}，{1个白球，1个黑球}，{1个黑球，1个黄球}，{2个黑球}.
当取到2个白球时，随机变量X＝-2；
当取到1个白球，1个黄球时，随机变量X＝-1；
当取到2个黄球时，随机变量X＝0；
当取到1个白球，1个黑球时，随机变量X＝1；
当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量X＝2；
当取到2个黑球时，随机变量X＝4.
所以随机变量X的可能取值为-2，-1，0，1，2，4.
课堂小结
随机变量与离散型随机变量
分布列及其性质
两点分布
设离散型随机变量????的可能取值为????1，????2，…，????????，我们称????取每一个值????????的概率
????（????＝????????）＝????????，????＝1，2，…，????
为????的概率分布列，简称分布列.
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两个性质：（1）????????≥0，????＝1，2，…，????；
（2）????1+????2+…+????????＝1.
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谢 谢！