高中数学选择性必修第三册RJ·A--7.3 离散型随机变量的数字特征-7.3.1 离散型随机变量的均值 课件（共21张PPT）

第七章
7.3
离散型随机变量的数字特征
7.3.1 离散型随机变量的均值
新知学习
离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便.例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会比较他们射箭的成绩（平均环数或总环数）以及稳定性.因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征.
问题1　甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示.
如何比较他们射箭水平的高低呢？
环数????
7
8
9
10
甲射中的概率
0.1
0.2
0.3
0.4
乙射中的概率
0.15
0.25
0.4
0.2
7
8
9
10
甲射中的概率
0.1
0.2
0.3
0.4
乙射中的概率
0.15
0.25
0.4
0.2
类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性.
假设甲射箭????次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为????1????，????2????，????3????，????4????.
甲????次射箭射中的平均环数为 ????＝7×????1????+8×????2????+9×????3????+10×????4????.
当????足够大时，频率稳定于概率，所以 ???? 稳定于7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4＝9.
即甲射中平均环数的稳定值（理论平均值）为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.
同理，乙射中环数的平均值为7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2＝8.65.
从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.
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一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示.
????
????1
????2
…
????????
????
????1
????2
…
????????
…
…
则称
为随机变量????的均值或数学期望，数学期望简称期望.
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
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典例剖析
例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率
为0.8，那么他罚球1次的得分????的均值是多少？
解：因为????（????＝1）＝0.8，????（????＝0）＝0.2，
所以????（????）＝0×0.2+1×0.8＝0.8.
即该运动员罚球1次的得分????的均值是0.8.
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一般地，如果随机变量????服从两点分布，那么
????（????）＝0×（1?????）+1×????＝????.
?
例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为????，求????的均值.
解：????的分布列为
????（????＝????）＝16，????＝1，2，3，4，5，6.
因此，????（????）＝16（1+2+3+4+5+6）＝3.5.
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观察 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5.随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数.根据观测值的平均数（样本均值）绘制统计图，分别如图（1）和（2）所示.观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别？
图（1）
图（2）
观察上图可以发现：在这12组掷骰子试验中，样本均值各不相同，但它们都在掷出点数????的均值3.5附近波动，且重复掷300次的样本均值波动幅度明显小于重复60次的.
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事实上，随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动.随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小.因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值.
探究：如果????是一个离散型随机变量，将????进行平移或伸缩后，其均值会怎样变化？
即????（????+????）和????（????????）（其中????，????为常数）分别与????（????）有怎样的关系？
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设????的分布列为 ????（????＝????????）＝????????，????＝1，2，…，????.
根据随机变量均值的定义，
????（????+????）＝（????1+????）????1+（????2+????）????2+…+（????????+????）????????
???????＝????1????1+????2????2+…+????????????????+????????1+????2+…+?????????
＝????（????）+????.
类似地，可以证明
????（????????）＝????????（????）.
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你能给出证明吗？
一般地，下面的结论成立：
????（????????+????）＝????????（????）+????.
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思考：设????，????都是离散型随机变量，如何求????（????+????）？
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结论：一般地，有?????（????+????）＝????（????）+????（????）.
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例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，
猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时
获得相应的公益基金如下表所示.
歌曲
A
B
C
猜对的概率
0.8
0.6
0.4
获得的公益基金额/元
1 000
2 000
3 000
规则如下：按照 A，B，C 的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.
解：分别用????，????，????表示猜对歌曲 A，B，C 歌名的事件，则????，????，????相互独立.
??????????（????＝0）＝????（????）＝0.2，
??????????（????＝1?000）＝????（????????）＝0.8×0.4＝0.32，
??????????（????＝3?000）＝????（????????????）＝0.8×0.6×0.6＝0.288，
??????????（????＝6?000）＝????（????????????）＝0.8×0.6×0.4＝0.192.
????的分布列如下表所示.
?
????
0
1 000
3 000
6 000
????
0.2
0.32
0.288
0.192
0
1 000
3 000
6 000
0.2
0.32
0.288
0.192
????的均值为????（????）＝0×0.2+1?000×0.32+3?000×0.288+6?000×0.192＝2?336.
?
例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，
猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时
获得相应的公益基金如下表所示.
歌曲
A
B
C
猜对的概率
0.8
0.6
0.4
获得的公益基金额/元
1 000
2 000
3 000
规则如下：按照 A，B，C 的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.
如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？
提示：不同，若按照 A，C ，B的顺序，则????的均值????（????）＝2144；
若按照B ，A，C 的顺序，则????的均值????（????）＝2256；
若按照 B ，C，A的顺序，则????的均值????（????）＝2112；
若按照 C ，A，B的顺序，则????的均值????（????）＝1904；
若按照C ，B ，A的顺序，则????的均值????（????）＝1872，
显然，按照 A，B，C 的顺序获得的公益基金均值最大.
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例4 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10 000元.为保护设备，有以下3种方案：
方案1　运走设备，搬运费为3 800元；
方案2　建保护围墙，建设费为2 000元，但围墙只能防小洪水；
方案3　不采取措施.
工地的领导该如何决策呢？
分析：决策目标为总损失（投入费用与设备损失之和）越小越好.根据题意，各种方案在不同状态下的总损失如下表所示.
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天气状况
大洪水
小洪水
没有洪水
概率
0.01
0.25
0.74
总损失/元
方案1
3 800
3 800
3 800
方案2
62 000
2 000
2 000
方案3
60 000
10 000
0
方案2和方案3的总损失都是随机变量，可以采用期望总损失最小的方案.
解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为????1，????2，????3.
采用方案1，无论有无洪水，都损失3 800元.因此，????（????1＝3?800）＝1.
采用方案2，遇到大洪水时，总损失为2 000+60 000＝62 000元；没有大洪水时，总损失为2 000元.因此，????（????2＝62?000）＝0.01，????（????2＝2?000）＝0.99.
采用方案3，????（????3＝60?000）＝0.01，????（????3＝10?000）＝0.25，????（????3＝0）＝0.74.
于是，
????????????（????1）＝3?800，
????????????（????2）＝62?000×0.01+2?000×0.99＝2?600，
????????????（????3）＝60?000×0.01+10?000×0.25+0×0.74＝3?100.
因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2.
?
值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的.一般地，我们可以这样来理解“期望总损失”：如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2将会使总损失减到最小.不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的.
随堂小测
1.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用????表示所选3人中女生的人数，则????（????）为 （　　）
A.0 B.1 C.2 D.3
?
2.已知随机变量????和????，其中????＝12????+7，且????（????）＝34，若????的分布列如下表，则????的值为 （　　）
A.13? B.14 C.16 D.18
?
????
1
2
3
4
????
14
????
????
1
2
3
4
A
B
3.某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量????，其概率分布列如表，均值????（????）＝2，则????????＝　　　　.
?
????
0
3
6
????
12
????
????
0
3
6
118
?
4.端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有6个粽子，其中豆沙粽1个，肉粽2个，白粽3个，这三种粽子的外观完全相同.
（1）从中不放回的任取3个，记????表示取到的肉粽个数，求????的分布列和????（????）；
（2）从中有放回的任取3个，记????表示取到的肉粽个数，求????（????≥2）；
（3）比较????（????）与????（????）的大小（只需写出结论）.
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课堂小结
离散型随机变量的均值
????（????）＝0×（1?????）+1×????＝????
?
两点分布的均值
均值的性质
????（????????+????）＝????????（????）+????
?
谢 谢！