高中数学选择性必修第三册RJ·A--7.3 离散型随机变量的数字特征-7.3.2 离散型随机变量的方差 课件（共17张PPT）

第七章
7.3
离散型随机变量的数字特征
7.3.2 离散型随机变量的方差
学习目标
1.通过具体实例，理解取有限值的离散型随机变量的方差与标准差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.
3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法.
?
核心素养：数据分析、逻辑推理、数学运算.
新知学习
随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”.因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小，所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.
新知学习
随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”.因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小，所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.
问题2　从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩纪录，甲、乙两名
同学击中目标靶的环数????和????的分布列分别如下表所示.
如何评价这两名同学的射击水平？
?
????
6
7
8
9
10
????
0.09
0.24
0.32
0.28
0.07
6
7
8
9
10
0.09
0.24
0.32
0.28
0.07
????
6
7
8
9
10
????
0.07
0.22
0.38
0.30
0.03
6
7
8
9
10
0.07
0.22
0.38
0.30
0.03
通过计算可得，????（????）＝8，????（????）＝8.
因为两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平.
评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.下面两图分别是????和????的概率分布图，比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定.
?
???　
思考：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？
我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的.一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}????
????1
????2
…
????????
????
????1
????2
…
????????
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
…
…
设离散型随机变量????的分布列如下表所示.
?
考虑????所有可能取值?????????与????（????）的偏差的平方（????1?????（????））2，（????2?????（????））2，…，（?????????????（????））2.因为????取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量????取值与其均值????（????）的偏离程度.
?
我们称
?
为随机变量????的方差，有时也记为????????????（????），并称????????为随机变量????的标准差，记为????（????）.
?
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
现在，可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性.由方差和标准差的定义，两名同学射击成绩的方差和标准差分别为
因为????（????）?
在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化.
探究：离散型随机变量????加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量????乘以
一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？
?
离散型随机变量????加上一个常数????，仅仅使????的值产生一个平移，不改变????与其均值的离散程度，方差保持不变，即????（????+????）＝????（????）.
而离散型随机变量????乘以一个常数????，其方差变为原方差的????2倍，即
????（????????）＝????2????（????）.
一般地，可以证明下面的结论成立：
????（????????+????）＝????2????（????）.
?
离散型随机变量的期望的性质与方差的性质的区别：
期望与两常数????，????都有关系，而方差只与所乘常数????有关系.特别地，（1）当????＝0时，????（????）＝????（????）＝0；
（2）当????＝1时，????（????）＝????（????+????）＝????（????）；
（3）当????＝0时，????（????）＝????（????????）＝????2????（????）.
?
典例剖析
例5 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数????的方差.
?
解：随机变量????的分布列为????（????＝????）＝16，????＝1，2，3，4，5，6.
因为????（????）＝72， ＝16（12+22+32+42+52+62）＝916，
所以????（????）＝ ??722＝3512.
?
例6 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示.
　 股票A收益的分布列 股票B收益的分布列
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}收益????/元
?1
0
2
概率
0.1
0.3
0.6
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
0
2
概率
0.1
0.3
0.6
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}收益????/元
0
1
2
概率
0.3
0.4
0.3
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
0
1
2
概率
0.3
0.4
0.3
（1）投资哪种股票的期望收益大？
（2）投资哪种股票的风险较高？
解：（1）股票A和股票B投资收益的期望分别为
??????????????????????????（????）＝（?1）×0.1+0×0.3+2×0.6＝1.1，
????（????）＝0×0.3+1×0.4+2×0.3＝1.
因为????（????）>????（????），所以投资股票A的期望收益较大.
?
（2）股票A和股票B投资收益的方差分别为
????（????）＝（?1）2×0.1+02×0.3+22×0.6?1.12＝1.29，
????（????）＝02×0.3+12×0.4+22×0.3?12＝0.6.
因为????（????）和????（????）相差不大，且????（????）>????（????），
所以投资股票A比投资股票B的风险高.
?
点评：（1）在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票.使期望收益最大或风险最小.
（2）随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量取值的离散程度.在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释.例如，如果随机变量是某项技能的测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定性；如果随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果随机变量是风险投资的收益，那么方差的大小反映了投资风险的高低；等等.
随堂小测
1.若随机变量????的分布列如下表，且????（????）＝6.3，则????（????）的值为（　　）
?
????
4
????
9
????
0.5
0.1
????
4
9
0.5
0.1
A.?14.39 B.7 C.5.61 D.6.61
?
C
2.已知某口袋中装有除颜色外其余完全相同的2个白球和3个黑球，现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球）. 记换好后袋中的白球个数为????，则????（????）＝　　　　，????（????）＝　　　　.
?
115
?
2425
?
3.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示.若????（????）＝0，????（????）＝1，则?????????的值为　　　　.
?
????
?1
0
1
2
????
????
????
????
0
1
2
16
?
4.若随机变量ξ的分布列如下表所示，则????（2?????1）＝　　　　.
?
????
?1
0
1
????
????
????2
0
1
114
?
5.若随机变量????满足????（1?????）＝4，????（1?????）＝4，则下列说法正确的是（　　）
A.????（????）＝?4，????（????）＝4 B.????（????）＝?3，????（????）＝3
C.????（????）＝?4，????（????）＝?4 D.????（????）＝?3，????（????）＝4
?
D
课堂小结
方差和标准差
方差的性质
????（????????+????）＝????2????（????）
?
谢 谢！