高中数学选择性必修第三册RJ·A--7.4 二项分布与超几何分布-7.4.1 二项分布 课件（共21张PPT）

第七章
7.4
二项分布与超几何分布
7.4.1 二项分布
学习目标
1.通过具体实例，了解伯努利试验与n重伯努利试验.
2.通过具体实例，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.
核心素养：数学建模、逻辑推理、数学抽象、数学运算.
新知学习
在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果.例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
我们将一个伯努利试验独立地重复进行????次所组成的随机试验称为????重伯努利试验.
显然，????重伯努利试验具有如下共同特征：
（1）同一个伯努利试验重复做????次；
（2）各次试验的结果相互独立.
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思考：下面3个随机试验是否为????重伯努利试验？如果是，那么其中的伯努利试验是什么？对于每个试验，定义“成功”的事件为????，那么????的概率是多大？重复试验的次数是多少？
（1）抛掷一枚质地均匀的硬币10次.
（2）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.
（3）一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.
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随机
试验
是否为????重
伯努利试验
伯努利试验
P（A）
重复试验的
次数
1
是
抛掷一枚质地均匀的硬币
12
10
2
是
某飞碟运动员进行射击
0.8
3
3
是
从一批产品中随机抽取一件
0.95
20
随机
试验
伯努利试验
P（A）
重复试验的
次数
1
是
抛掷一枚质地均匀的硬币
10
2
是
某飞碟运动员进行射击
0.8
3
3
是
从一批产品中随机抽取一件
0.95
20
在伯努利试验中，我们关注某个事件????是否发生，而在????重伯努利试验中，我们关注事件????发生的次数????.进一步地，因为????是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列.例如，对产品抽样检验，随机抽取????件，我们关心样本中不合格品数的概率分布列.
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探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数????的概率分布列是怎样的？
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用????????表示“第????次射击中靶”（????＝1，2，3），
用如图所示的树状图表示试验的可能结果.
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由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23＝8种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积.由概率的加法公式和乘法公式得
????（????＝0）＝????（????1????2????3）＝0.23，
????（????＝1）＝????（????1?????2????3?）+????（????1????2????3）+????（????1????2????3）＝3×0.8×0.22，
????（????＝2）＝????（????1????2????3）+????（????1????2????3）+????（????1????2????3）＝3×0.82×0.2，
????（????＝3）＝????（????1????2????3）＝0.83.
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为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为011，110，101，这三个结果发生的概率都相等，均为0.82×0.2，并且与哪两次中靶无关.因此，3次射击恰好2次中靶的概率为C32?×0.82×0.2.
同理可求中靶0次、1次、3次的概率.于是，中靶次数????的分布列为
????（????＝????）＝ C3?????×0.8????×0.23?????，????＝0，1，2，3.
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思考：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数????等于2的结果有哪些？
写出中靶次数????的分布列.
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提示：（1）表示中靶次数????等于2的结果有： ????1????2????3????4，????1????2????3????4，????1????2????3????4，????1 ????2????3????4，????1????2????3????4，????1 ????2????3????4，共6个.
（2）中靶次数????的分布列为????（????＝????）＝ C4?????×0.8????×0.24?????，????＝0，1，2，3，4.
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新知讲解
一般地，在????重伯努利试验中，设每次试验中事件????发生的概率为????（0?
如果随机变量????的分布列具有上式的形式，则称随机变量????服从二项分布，记作????~????（????，????）.
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理解二项分布应注意的问题
（1）对于公式????（????＝????）＝C????????????????（1?????）?????????（????＝0，1，2，…，????）必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式.
（2）正确理解其条件以及参数????，????，????的意义是运用公式的前提，一般含有“恰好”“恰有”等字样的问题往往考虑独立重复试验的模型.
（3）判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了????次.
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典例剖析
例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：
（1）恰好出现5次正面朝上的概率；
（2）正面朝上出现的频率在［0.4，0.6］内的概率.
解：设????＝“正面朝上”，则????（????）＝0.5.用????表示事件????发生的次数，则 ????~????（10，0.5）.
（1）恰好出现5次正面朝上等价于????＝5，于是
????（????＝5）＝ C105?×0.510＝2521?024＝63256；
（2）正面朝上出现的频率在［0.4，0.6］内等价于4≤????≤6，于是
????（4≤????≤6）＝?C104?×0.510+ C105?×0.510+ C106?×0.510＝6721?024＝2132.
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例2 如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.
解：设????＝“向右下落”，则????＝“向左下落”，且????（????）＝????（????）＝0.5.
因为小球最后落入格子的号码????等于事件????发生的次数，而小球在下落的
过程中共碰撞小木钉10次，所以????~????（10，0.5）.
于是，????的分布列为
????（????＝????）＝C10????×0.510，????＝0，1，2，…，10.
????的概率分布图如图所示.
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例3 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？
解法1：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2∶0或2∶1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为
????1＝0.62+C21×0.62×0.4＝0.648.
类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3∶0，3∶1或3∶2.因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为
??????2＝0.63+C32×0.63×0.4+C42×0.63×0.42＝0.682?56.
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解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用????表示3局比赛中甲胜的局数，则????~????（3，0.6）.甲最终获胜的概率为
????1＝????（????＝2）+????（????＝3）＝C32×0.62×0.4+C33×0.63＝0.648.
采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用????表示5局比赛中甲胜的局数，则????~????（5，0.6）.甲最终获胜的概率为
????2＝????（????＝3）+????（????＝4）+????（????＝5）
＝C53×0.63×0.42+C54×0.64×0.4+C55×0.65
＝0.682?56.
因为????2>????1，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.
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归纳总结：一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：
（1）明确伯努利试验及事件????的意义，确定事件????发生的概率????；
（2）确定重复试验的次数????，并判断各次试验的独立性；
（3）设????为????次独立重复试验中事件????发生的次数，则????~????（????，????）.
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探究：假设随机变量????服从二项分布????（????，????），那么????的均值和方差各是什么？
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我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为0.5，如果掷100次硬币，期望有100×0.5＝50次正面朝上.根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量????，我们猜想????（????）＝????????.
我们不妨从简单开始，先考察????较小的情况.
（1）当????＝1时，????服从两点分布，分布列为
????（????＝0）＝1?????，????（????＝1）＝????.
均值和方差分别为
????（????）＝????，????（????）＝????（1?????）.
（2）当????＝2时，????的分布列为
????（????＝0）＝（1?????）2，????（????＝1）＝2????（1?????），????（????＝2）＝????2.
均值和方差分别为
??????????（????）＝0×（1?????）2+1×2????（1?????）+2×????2＝2????.
??????（????）＝02×（1?????）2+12×2????（1?????）+22×????2?（2????）2＝2????（1?????）.
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一般地，可以证明：
如果????~????（????，????），那么????（????）＝????????，????（????）＝????????（1?????）.
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对均值的证明：
令????＝1?????，由????C????????＝C?????1?????1，可得
????（????）＝ ????C?????????????????????????????＝ C?????1?????1??????????????????????＝???????? C?????1?????1?????????1?????????1?(?????1)?.
令?????1＝????，则
????????＝??????????????? C?????1?????????????????????1?????＝????????????+?????????1＝????????.
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对方差的证明:
????????＝?????（?????????（????））2 C????????????????1??????????????＝????（????2?2????????????+（????????）2）C????????????????1???????????????
＝ ????2 C????????????????1????????????????2????????????????? C????????????????1???????????????+（????????）2???????C????????????????1???????????????
＝ ????2?C????????????????1????????????????2（????????）2+（????????）2＝ ????2 C????????????????1????????????????（????????）2，
又 ????2 C????????????????1???????????????＝???（????（?????1）+????）?C????????????????1???????????????
＝ ?????????1C????????????????1??????????????+????????C????????????????1??????????????
＝?????????1????2???????????2!?????2!?????2??????2!?????????21??????????2?(?????2)+????????
＝?????????1????2?????C?????2????????????1??????????2?????+????????
＝????（?????1）????2+????????，
因此????（????）＝????（?????1）????2+?????????（????????）2＝?????????????????2＝????????（1?????）.
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随堂小测
1.有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若????表示取得次品的次数，则????（????≤2）＝ （　　）
A. 38 B. 1314 C. 45 D. 78
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D
2.已知随机变量????+????＝8，若????~????（10，0.4），则????（????），????（????）分别是（　）
A.4和2.4 B.2和2.4 C.6和2.4 D.4和5.6
?
A
3.若随机变量????~????（????，????），且????（????）＝52，????（????）＝54，则????（????＝1）＝　　　　.（用数字作答）
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532
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4.某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，A学生对12个选择题中每个题的四个选项都没有把握，最后选择题的得分为????分，B学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其他三个选项都没有把握，最后选择题的得分为????分.则????（????）?????（????）的值为（　）
A.12512 B.3512 C . 274 D.234
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A
课堂小结
伯努利试验 与?????重伯努利试验
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一般地，在????重伯努利试验中，设每次试验中事件????发生的概率为????（0?
二项分布
确定一个二项分布模型的步骤
（1）明确伯努利试验及事件????的意义，确定事件????发生的概率????；
（2）确定重复试验的次数????，并判断各次试验的独立性；
（3）设????为????次独立重复试验中事件????发生的次数，则????~????（????，????）.
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假设随机变量????服从二项分布????（????，????），那么
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????（????）＝????，????（????）＝????（1?????）.
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二项分布的均值与方差
谢 谢！