高中数学选择性必修第三册RJ·A--7.4 二项分布与超几何分布-7.4.2 超几何分布 课件（共16张PPT）

第七章
7.4
二项分布与超几何分布
7.4.2 超几何分布
学习目标
1. 通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.
核心素养：数学建模、逻辑推理、数学抽象、数学运算.
新知学习
问题：已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为????，求随机变量????的分布列.
我们知道，如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时????服从二项分布，即????~????（4，0.08）.
?
思考：如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数????是否也服从二项分布？如果不服从，那么????的分布列是什么？
?
采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合????重伯努利试验的特征，因此????不服从二项分布.
?
新知学习
问题：已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为????，求随机变量????的分布列.
我们知道，如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时????服从二项分布，即????~????（4，0.08）.
?
思考：如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数????是否也服从二项分布？如果不服从，那么????的分布列是什么？
?
采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合????重伯努利试验的特征，因此????不服从二项分布.
?
可以根据古典概型求????的分布列.由题意可知，????可能的取值为0，1，2，3，4.从100件产品中任取4件，样本空间包含C4100个样本点，且每个样本点都是等可能发生的.其中4件产品中恰有????件次品的结果数为C8????C924?????.由古典概型的知识，得????的分布列为
????（????＝????）＝C8????C924?????C1004，????＝0，1，2，3，4.
计算的具体结果（精确到0.000 01）如下表所示.
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}????
0
1
2
3
4
????
0.712 57
0.256 21
0.029 89
0.001 31
0.000 02
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
0
1
2
3
4
0.712 57
0.256 21
0.029 89
0.001 31
0.000 02
新知讲解
一般地，假设一批产品共有????件，其中有????件次品.从????件产品中随机抽取????件（不放回），用????表示抽取的????件产品中的次品数，则????的分布列为
????（????＝????）＝C????????C??????????????????C????????，????＝????，????+1，????+2，…，????.
其中????，????，????∈?????，????≤????，????≤????，????＝max?{0，?????????+????}，????＝min?{????，????}.如果随机变量????的分布列具有上式的形式，那么称随机变量????服从超几何分布.
?
典例剖析
例4?从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.
解：设????表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1），则????服从超几何
分布， 且????＝50，????＝1，????＝5.因此甲被选中的概率为
????（????＝1）＝C11C494C505＝110.
?
例5 一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少
有1件不合格的概率.
解：设抽取的10个零件中不合格品数为????，则????服从超几何分布，且????＝30，????＝3，
????＝10.?????的分布列为
????（????＝????）＝C3????C2710?????C3010，????＝0，1，2，3.
至少有1件不合格的概率为
????（????≥1）＝????（????＝1）+????（????＝2）+????（????＝3）
??????????? ＝C31C279C3010+C32C278C3010+C33C277C3010≈0.719?2.
也可以按如下方法求解：
????（????≥1）＝1?????（????＝0）＝1?C30C2710C3010≈0.719?2.
?
探究：服从超几何分布的随机变量的均值是什么？
设随机变量????服从超几何分布，则????可以解释为从包含????件次品的????件产品中，不放回地随机抽取????件产品中的次品数.令????＝????????，则????是????件产品的次品率，
而????????是抽取的????件产品的次品率，我们猜想????????????＝????，即????（????）＝????????.
实际上，由随机变量均值的定义，
令????＝max?（0，?????????+????），????＝min?（????，????），有
????????＝????????C????????C??????????????????C????????＝?????????C?????1?????1C??????????????????C????????.
因为 C?????1?????1C??????????????????＝C?????1?????1，所以
????（????）＝????C???????? C?????1?????1C???????????????????＝????C?????1?????1C????????＝????????????＝????????.
?
例6?一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.
（1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求????的分布列；
（2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.
?
解：（1）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此????~????（20，0.4），????的分布列为
????1????＝????（????＝????）＝C20????×0.4????×0.620??????，????＝0，1，2，…，20.
对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，????服从超几何分布，????的分布列为
????2????＝????（????＝????）＝C40????C6020?????C10020，????＝0，1，2，…，20.
?
（2）利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值（精确到0.000 01），如下表所示.
k
p1k
p2k
?
k
p1k
p2k
0
0.000 04
0.000 01
11
0.070 99
0.063 76
1
0.000 49
0.000 15
12
0.035 50
0.026 67
2
0.003 09
0.001 35
13
0.014 56
0.008 67
3
0.012 35
0.007 14
14
0.004 85
0.002 17
4
0.034 99
0.025 51
15
0.001 29
0.000 41
5
0.074 65
0.065 30
16
0.000 27
0.000 06
6
0.124 41
0.124 22
17
0.000 04
0.000 01
7
0.165 88
0.179 72
18
0.000 00
0.000 00
8
0.179 71
0.200 78
19
0.000 00
0.000 00
9
0.159 74
0.174 83
20
0.000 00
0.000 00
10
0.117 14
0.119 24
?
?
?
样本中黄球的比例????20＝????20是一个随机变量，根据表格，计算得
有放回摸球：????（|????20?0.4|≤0.1）
＝????（6≤????≤10）≈0.746?9.
不放回摸球：????（|????20?0.4|≤0.1）
＝????（6≤????≤10）≈0.798?8.
?
因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些.
两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布.虽然这两种分布有相等的均值（都是8），但从两种分布的概率分布图（如下图）看，超几何分布更集中在均值附近.
二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的????件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.对于不放回抽样，当????远远小于????时，每抽取一次后，对????的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似.
?
随堂小测
1. 一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为????，男生的人数为????，则????（????＝2）+????（????＝2）等于 （　　）
?
C
2. 盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为 （　　）
A.恰有1个是坏的 B.4个全是好的 C.恰有2个是好的 D.至多有2个是坏的
?
C
3.某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试.已知在这8个试题中甲能答对6个，则甲通过自主招生初试的概率为　　　　；记甲答对试题的个数为????，则????的数学期望????（????）＝　　　　.
4. 从一批含有13个正品，2个次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽一个，设抽取的次品数为????，则????（5????+1）＝　　　　.
?
1114
?
3
3
一般地，假设一批产品共有????件，其中有????件次品.从????件产品中随机抽取????件（不放回），用????表示抽取的????件产品中的次品数，则????的分布列为
????（????＝????）＝C????????C??????????????????C????????，????＝????，????+1，????+2，…，????.
其中????，????，????∈?????，????≤????，????≤????，????＝max?{0，?????????+????}，????＝min?{????，????}.如果随机变量????的分布列具有上式的形式，那么称随机变量????服从超几何分布.
?
课堂小结
超几何分布
????（????）＝????????.
?
超几何分布的均值
谢 谢！