高中数学选择性必修第三册RJ·B--6.3 利用导数解决实际问题 课件（共17张PPT）

第六章
6.3
利用导数解决实际问题
学习目标
核心素养：数学建模、数学运算
1.通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的应用，会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.
2.进一步培养分析问题、解决问题的能力，提高对函数思想的认识.
3.优化问题的数学建模及求解.
新知学习
利用导数解决最优化问题
在生活中，人们经常会遇到最优化的问题.例如，在铺设管道或者公路时，怎样使得花费最少？在制作容器时，怎样使得用料最少？经济活动中，怎样使得经营成本最小？等等.这些问题都需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，因此数学上都称为最优化问题. 因为利用导数可以求得最值，所以可以利用导数来求解最优化问题.
下面我们从用料最省、利润最大、效率最高等方面举例说明.

一、用料最省
如图所示，海中有一座油井A，其离岸的距离AC＝1.2 km，岸是笔直的，岸上有一座炼油厂B，且BC＝1.6 km.现要用输油管将油井A与炼油厂B连接起来，且输油管既可以铺设在水下，也可以铺设在陆地上，还可以一部分铺设在水下另一部分铺设在陆地上.已知水下的铺设成本为每千米50万元，陆地的铺设成本为每千米30万元.那么，铺设输油管的最少花费是多少？
提示：分别计算下列两种铺法的铺设成本，然后尝试给出最优的铺设方案.
（1）先沿AC铺设再沿CB铺设；
（2）直接沿着线段AB铺设.
解答：如果先沿AC铺设，再沿CB铺设，则成本为1.2×50+1.6×30＝108（万元）.
又因为AB＝????????2+????????2＝1.22+1.62＝2（km），
所以直接沿线段AB铺设，成本为2×50＝100（万元）.
如题目图所示，在线段CB上取一点D，设其离C的距离为x km，则
AD＝????????2+????????2＝1.22+????2（km），?DB＝1.6-x（km）.
设先沿AD铺设再沿DB铺设输油管时成本为y万元，则
y＝501.22+????2+30（1.6-x），0≤x≤1.6.
因此，当0令y′>0，可解得<2>　x>0.9　.
可知y在［0，0.9］上递减，在［0.9，1.6］上递增.从而y在x＝0.9时取得最小值，而且最小值为501.22+0.92+30（1.6-0.9）＝96.
从而可知最少花费是96万元.
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总结归纳
解决优化问题的注意点
利用导数解优化问题，往往转化为求函数的最大值或最小值问题，解题时要特别注意以下几点：
（1）当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，找出变量之间的关系式；
（2）确定函数关系式中自变量的取值范围；
（3）所得的结果要符合问题的实际意义.

二、利润最大
某种商品的成本为5元/件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获得最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销.经试销发现：日销售量Q（件）与实际销售价x（元/件）满足关系：
Q＝392????2?29????+107,5（1）求总利润（利润＝销售额-成本）y（元）与销售价x（元/件）的函数关系式；
（2）当实际销售价为多少时总利润最大.
?
解题提示 （1）根据利润＝销售额-成本，写出总利润y（元）与销售价x（元/件）的函数关系式；
（2）根据（1）中的函数关系式在每一段上讨论函数的最大值，从而求出整个函数的最大值.
解 （1）根据题意得，总利润y（元）与销售价x（元/件）的函数关系式是
y＝392????2?29????+107?????5,5（2）由（1）得，
①当5则y′＝234（x2-13x+42）＝234（x-6）（x-7）.
当50，y为增函数；
当6∴ 当x＝6时，ymax＝195.
②当7≤x<8时，y＝6（33-x）∈（150，156］.
③当8≤x<13时，y＝-10（x-9）2+160，
∴ 当x＝9时，ymax＝160.
综上，当x＝6时，总利润最大，即当实际销售价为6元/件时总利润最大.
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（1）求解利润最大问题，首先应理解相应的概念，如成本、利润、单价、销售量、边际利润、边际成本等.
（2）若求利润最大值，首先应将利润表示成某个变量的函数，然后利用导数或函数知识解决.
（3）掌握常用的计算公式：①利润＝收入-成本；②总利润＝每件产品的利润×销售件数；③收入＝单价×销售量.
规律总结
三、效率最高
如图所示，某海岛码头O离岸边最近点B的距离是150 km，岸边的医药公司A与点B的距离为300 km，现有一批药品要尽快送达海岛码头.已知A与B之间有一条公路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为130 km，快艇时速为50 km.试在岸边选一点C，先将药品用汽车从A送到C，再用快艇从C运到海岛码头，则点C选在何处可使运输时间最短？
解 设点C与点B的距离为x km，运输时间为T（x） h，则
T（x）＝1502+????250+300?????130，0≤x≤300.
因为T ′（x）＝121502+????2?12×2????50-1130＝????501502+????2 [2] -1130，
令T ′（x）>0，可解得x>1252.
因此可知T（x）在0,1252上递减，在1252,300　上递增，从而T（x）在x＝1252时取得最小值.
这就是说，点C选在离B点为1252km时可使运输时间最短.
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解决最优化问题的基本思路
利用导数解最优化问题的一般步骤
（1）设相关自变量，并用自变量表示相应量，即抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式
y＝f（x），标明自变量的取值范围.
（2）求函数f（x）的导数f ′（x），并解方程f ′（x）＝0，即求函数可能的极值点.
（3）比较函数f（x）在区间端点处的函数值和可能极值点处的函数值的大小，得出函数f（x）的最大值或最小值.
（4）根据实际问题的意义给出答案.
规律总结
随堂小测
1.某粮库拟建一个储粮仓，如图6-3-1所示，其下部是高为2的圆柱，上部是母线长为2的圆锥，现要设计其底面圆的半径和上部圆锥的高.设圆锥的高AO为x，储粮仓的体积为y.
（1）求y关于x的函数关系式；（圆周率用π表示）
（2）求AO为何值时，储粮仓的体积最大.
解：（1）设圆锥和圆柱的底面圆半径为r，则r＝4?????2（0∴ y＝πr2×2+13πr2x.∴ y＝2π（4-x2）+13π（4-x2）x，
即y＝-13πx3-2πx2+43πx+8π（0（2）y′＝-πx2-4πx+43π＝-????????2+4?????43，
令y′＝0，解得x1＝-2-433（舍去），x2＝-2+433.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
故当AO＝-2+433时，储粮仓的体积最大.
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
0,?2+433
-2+433
?2+433,2
y′
+
0
-
y
增函数
极大值
减函数
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
y′
+
0
-
y
增函数
极大值
减函数
2.某公园为了美化环境和方便行人，计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，包括圆弧形桥面ACB和两条长度相等的直线型路面AD，BE，桥面跨度DE的长不超过12米，弧形桥面ACB所在圆的半径为3米，圆心O在水面DE上，且AD和BE所在直线与圆O分别在点A和点B处相切.设∠ADO＝θ，已知直线型桥面每米修建费用是a元，弧形桥面每米修建费用是4????3元.
（1）若桥面（线段AD，BE和弧ACB）的修建总费用为W元，求W关于θ的函数关系式；
（2）当θ为何值时，桥面修建总费用W最低？
?
解：解：（1）如图所示，设C为弧AB的中点，弧AC的长为l，连接OA，OC，OB，则OA⊥AD.
在△OAD中，AD＝????????????????n?????＝3cos?????sin?????.易知OC⊥OD，则∠AOC＝∠ADO＝θ，所以l＝3θ，
所以W＝2????×4????3+????????×????＝23????·4????3+3cos?????sin?????·????＝2????4????+3cos?????sin?????.
当DE＝6时，θ＝π2，当DE＝12时，θ＝π6，所以π6≤θ<π2.
所以W＝2????4????+3cos?????sin?????，π6≤θ<π2.
（2）设f（θ）＝4θ+3cos?????sin?????，
则f ′（θ）＝4-3sin2????＝4sin2?????3sin2????，π6≤θ<π2.
令f ′（θ）＝0，得θ＝π3.
当θ∈π6,π3时，f ′（θ）<0，函数f（θ）单调递减；
当θ∈π3,π2时，f ′（θ）>0，函数f（θ）单调递增.
所以当θ＝π3时，函数f（θ）取得最小值，则W取得最小值，此时桥面修建总费用最低.
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课堂小结
知识清单：
利用导数解决实际中最优化问题
方法归纳：
常见误区：忽视变量的范围是否符合实际意义.
谢 谢！