高中数学选择性必修第三册RJ·B--5.1 数列基础 -5.1.1 数列的概念 课件（共24张PPT）

第五章
5.1
数列基础
5.1.1 数列的概念
学习目标
1.理解数列的概念，了解数列的几种分类.
2.了解数列通项公式的意义，会根据通项公式写出数列的任一项，并能写出简单数列的通项公式.
3.了解数列与函数的关系.
核心素养：数学抽象、逻辑推理
新知学习
在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.例如：
记王芳第????岁时的身高为?????，那么?1＝75，?2＝87，…，?17＝168.我们发现，?????中的????反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即?1＝75是排在第1位的数，?2＝87是排在第2位的数……?17＝168是排在第17位的数，它们之间不能交换位置.
?
1.王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高.将这些身高数据（单位：cm）依次排成一列数：
　　　75，87，96，103，110，116，120，128，138，
　　　145，153，158，160，162，163，165，168.　　????　①
所以，①是具有确定顺序的一列数.
2.在两河流域发掘的一块泥版（编号K90，约产生于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：
5，10，20，40，80，96，112，128，
144，160，176，192，208，224，240.　　　　 ②
?
记第i天月亮可见部分的数为????????，那么????1＝5，????2＝10，…，????15＝240.这里，????????中的????反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置，即????1＝5是排在第1位的数，????2＝10是排在第2位的数……????15＝240是排在第15位的数，它们之间不能交换位置.
?
所以，②也是具有确定顺序的一列数.
归纳： 上述例子的共同特征是什么？
新知讲解
一、数列的相关概念
（1）按照一定次序排列的一列数称为数列.
（2）数列中的每一个数都称为这个数列的项，各项依次称为这个数列的第1项（或首项），第2项……
（3）组成数列的数的个数称为数列的项数.
（4）一般地，项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列.有穷数列的最后一项一般也 称为这个数列的末项.
【提示】对数列相关概念的理解
（1）概念中的“一列数”，即不止一个数.
（2）概念中的“一定次序”，即数列中的数是有序的.
（3）数列中项与项之间用“，”隔开.
（4）按照数列的项数的多少可分为有穷数列与无穷数列.
二、数列的通项
1.数列的通项
因为数列从首项起，每一项都与正整数对应，所以数列的一般形式可以写成
a1，a2，a3，…，an，…，
其中an表示数列的第n项（也称n为an的序号，其中n为正整数，即n∈N+），称为数列的通项.
此时，一般将整个数列简记为{an}，这里的小写字母a也可以换成其他小写英文字母.
【提示】关于数列概念的理解，应注意以下四点
（1）数列的项与项的序号是不同的概念.数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，而项的 序号是指这个数在数列中的位置序号.
（2）次序对于数列来讲十分重要，几个不同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是同一个数列.显然数列与数集有本质的区别.
（3）数列a1，a2，…，an，…不可以写成{a1，a2，…，an，…}的形式，但可以简记为{an}.
（4）数列{an}与an是不同的，{an}表示数列：a1，a2，…，an，…，而an表示数列{an}中的第n项.
2、数列的通项公式
一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用
an＝f（n）
来表示，其中f（n）是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式.
显然，根据数列的通项公式，能够写出这个数列的任意一项.
【提示】对数列通项公式的理解
（1）数列的通项公式给出了第n项an与它的项数n之间的关系.已知数列的通项公式，只要用正整数代替通项公式中的n，即可求出相应的项.反过来，判断某一个数是不是数列中的项，就用数列的通项公式建立以n为变量的方程，若方程有正整数解，则该数为数列中的项，n的值即为该数在数列中的项数；若方程没有正整数解，则该数不是数列中的项.
（2）有穷数列一般表示为a1，a2，a3，…，an或an＝f（n）（定义域为正整数集的有限子集：{1，2，…，n}）；无穷数列一般表示为a1，a2，a3，…，an，…或an＝f（n）（n＝1，2，3，…），即对于有穷数列，要把末项（即有穷数列的最后一项）写出；对于无穷数列，无法写出末项，要用“…”结尾.
（3）数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.例如，数列-1，1，-1，1，…的通项公式可以写成an＝（-1）n（n∈N+），也可以写成 an＝?1????为奇数,1????为偶数,还可以写成an＝cos nπ（n∈N+），这些通项公式虽然形式不同，但都表示同一数列.
?
三、数列与函数的关系
1.用函数的角度研究数列
由于数列{????????}中的每一项????????与它的序号????有下面的对应关系：
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} 序号
1
2
3
…
????
…
?
↓
↓
↓
?
↓
?
项
????1
????2
????3
…
????????
…
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} 序号
1
2
3
…
…
?
↓
↓
↓
?
↓
?
项
…
…
所以数列{????????}是从正整数集?????（或它的有限子集{1，2，…，????}）到实数集????的函数，其自变量是序号????，对应的函数值是数列的第????项????????，记为????????＝????（????）.
?
也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值????（1），????（2），…，????（????），…就是数列{????????}.
另一方面，对于函数????＝????（????），如果????（????）（????∈?????）有意义，那么
????（1），????（2），…，????（????），…
构成了一个数列{????（????）}.
?
【提示】数列的通项公式实际上是一个以正整数集N+（或它的有限子集{1，2，…，n}）为定义域的函数解析式.数列的通项公式必须适合数列中的任意一项.
正如有些函数关系不一定有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如π的近似值精确到1，0.1，0.01，0.001，…所构成的数列3，3.1，3.14，3.141，…没有通项公式.
2.数列的单调性
与函数类似，我们可以定义数列的单调性.
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；????????+1?????????>0?{????????}为递增数列；
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列. ????????+1?????????<0?{????????}为递减数列；
特别地，各项都相等的数列叫做常数列. ????????+1?????????＝0?{????????}为常数列.

?
3、数列的其他表示法
数列是特殊的函数，与函数一样，数列可以用通项公式来描述，也可以用列表法或图像法来表示.
（1）列表法
列表法就是通过列出表格来表示序号与项的关系.即：
与函数的列表法相比，列表法表示数列时自变量的取值更有规律.
（2）图像法
因为数列是一个特殊的函数，所以可以用图像表示数列，表示的方法是以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点作图.数列的图像是一系列孤立的点.
【说明】在画图时，为方便起见，平面直角坐标系中两条坐标轴上的单位长度可以不同.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}项的序号
1
2
3
…
n
…
项
a1
a2
a3
…
an
…
例1　根据下列数列{????????}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象.
（1）????????＝?????????????；???????????????? （2）????????＝ .
?
典例剖析
解：（1）当通项公式中的????＝1，2，3，4，5时，数列{????????}的前5项依次为
1，3，6，10，15.
图象如图所示.
?
例1　根据下列数列{????????}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象.
（1）????????＝?????????????；???????????????? （2）????????＝ .
?
典例剖析
解： （2）当通项公式中的????＝1，2，3，4，5时，数列{????????}的前5项依次为
1，0，?1，0，1.
图象如图所示.
?
例2　根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
（1）1，?12，13，?14，…；
（2）2，0，2，0，….
?
解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，
偶数项为负，所以它的一个通项公式为
说明：??1????或?1????+1常常用来表示正负相间的变化规律.
?
或????????＝?1?????1·1????
?
例2　根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
（1）1，?12，13，?14，…；
（2）2，0，2，0，….
?
解：（2）这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}1
?1
1
?1
?
+1↓
+1↓
+1↓
+1↓
+1↓
2
0
2
0
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
2
0
2
0
或????????＝?1?????1+1.
?
????????＝?1????+1+1.
?
例3　如果数列{????????}的通项公式为????????＝????2+2????，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
?
分析：要判断120是不是数列{????????}中的项，就是要回答是否存在正整数????，使得????2+2????＝120.也就是判断上述关于????的方程是否有正整数解.
?
解：令????2+2????＝120，解这个关于????的方程，得
????＝?12（舍去），或????＝10.
所以，120是数列{????????}的项，是第10项.
?
方法技巧：判断某数????是否为数列{????????}中的项的方法：
令????????＝????，解出????的值，如果????∈??????，那么数????是数列{????????}中的项，此时的????便是数列的项的序号；如果??????????，那么数????不是数列{????????}中的项.
?
例4　已知函数f（x）＝?????1????，设数列{an}的通项公式为an＝f（n），其中n∈N+.
（1）求证：0≤an<1；
（2）判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由.
解：（1）由题意可知an＝f（n）＝?????1????＝1-1????，
又因为n∈N+，所以0<1????≤1，因此0≤1-1????<1，即0≤an<1.
（2）因为an+1-an＝1?1????+1-?1?1????＝1????????+1，
又因为n+1>n≥1，所以1????????+1>0，从而an+1-an>0，即an+1>an.
因此{an}是递增数列.
?

???
???
???

【方法归纳】　数列{an}单调性的判断方法
（1）作差法：
①若an+1-an>0恒成立，则数列{an}是递增数列；
②若an+1-an<0恒成立，则数列{an}是递减数列；
③若an+1-an＝0恒成立，则数列{an}是常数列.
（2）作商法：
（3）利用数列的图像直观地判断.
（4）利用相应的函数性质判断，即函数单调，相应的数列必单调，如an＝3-2n，由一次函数y＝3-2x是递减函数知，数列{an}是递减数列.但要注意，函数不单调时，相应的数列仍可能单调.如an＝2n2-5n递增，而相应函数y＝2x2-5x在［1，+∞）上却不单调.

???
???
???

{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}?
????????+1????????>1
0????????+1????????＝1
an>0
递增数列
递减数列
常数列
an<0
递减数列
递增数列
常数列
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}?
an>0
递增数列
递减数列
常数列
an<0
递减数列
递增数列
常数列
随堂小测
1. 先填空，再写出数列的一个通项公式.
（1）1，2，（　　），4，5，6，…
（2）2，4，6，（　　），10，…
（3）1，4，9，16，（　　），…
（4）1，12，13，（　　），15，16.
?
3
8
25
14
?
????????＝????
?
????????＝2????
?
????????＝????2
?
????????＝1????（1≤????≤6）
?
2.已知数列{????????}，其通项公式????????＝3????2?????（????∈?????），则数列{????????}是 数列.（填递增或递减）
?
递增
3.已知数列{????????}满足????1＝1，????????＝???????????????????????????????????????则????4＝ .
?
7
4.已知数列{an}的通项公式是an＝（n+2）· （n∈N+），试问数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的位置序号；若没有，说明理由.
课堂小结
1.三个知识点：
数列的相关概念；数列的分类；数列的函数性质
2.五种题型：
（1）数列的概念及其分类
（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式
（3）应用通项公式求解或判断项
（4）数列的表示方法
（5）数列与函数的关系
谢 谢！