高中数学选择性必修第三册RJ·B--5.1 数列基础 -5.1.2 数列中的递推 课件（共24张PPT）

第五章
5.1
数列基础
5.1.2 数列中的递推
学习目标
1.理解递推公式是数列的一种表示方法.
2.能根据递推公式写出数列的前n项.
3.掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法.
核心素养：数学抽象、逻辑推理
新知学习
尝试与发现
如下是某次智力测试中的一道题，你能做出来吗？你能用数列的语言来描述有关问题吗？
观察
1，3，6，10，15，…
中数字出现的规律，写出第8个数.
【提示】将给定的数列记作数列{an}，那么就相当于给出了数列的前5项，要求写出数列的第8项a8.
因为a2-a1＝3-1＝2，a3-a2＝6-3＝3，a4-a3＝10-6＝4，a5-a4＝15-10＝5，
所以，可以猜测，数列{an}应该满足an+1-an＝n+1，即an+1＝an+n+1.
从而可知a6＝a5+6＝15+6＝21，a7＝a6+7＝21+7＝28，a8＝a7+8＝28+8＝36　.
显然，上述数列{an}可以由
a1＝1，an+1-an＝n+1
完全确定.
新知学习
尝试与发现
如下是某次智力测试中的一道题，你能做出来吗？你能用数列的语言来描述有关问题吗？
观察
1，3，6，10，15，…
中数字出现的规律，写出第8个数.
【提示】将给定的数列记作数列{an}，那么就相当于给出了数列的前5项，要求写出数列的第8项a8.
因为a2-a1＝3-1＝2，a3-a2＝6-3＝3，a4-a3＝10-6＝4，a5-a4＝15-10＝5，
所以，可以猜测，数列{an}应该满足an+1-an＝n+1，即an+1＝an+n+1.
从而可知a6＝a5+6＝15+6＝21，a7＝a6+7＝21+7＝28，a8＝a7+8＝28+8＝36　.
显然，上述数列{an}可以由
a1＝1，an+1-an＝n+1
完全确定.
新知讲解
一、数列的递推关系
如果已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系（也称为递推公式或递归公式）.
【提示】理解数列的递推公式的注意点
（1）用递推公式给出一个数列，必须给出：
①“基础”——数列{an}的第1项（或前几项）；
②递推关系——数列{an}的任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系，并且这 个关系可以用一个等式来表示.
（2）递推公式也是给出数列的一种方法.事实上，递推公式与通项公式一样，都是关于 数列序号n的恒等式，我们可以用符合要求的正整数依次去替换 n，从而可以求出数列的各项.
分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第7项.
（1）1，2，4，7，11，…；　　　　　　　
（2）-1，2，5，8，11，…；　　　　　　　　从第2项起，每一项与前一项的差为3.
（3）1，-2，4，-8，16，….　　　　　　　　 从第2项起，每一项与前一项的商为-2 .
即时巩固
解 （1）因为a2-a1＝2-1＝1，a3-a2＝4-2＝2，a4-a3＝7-4＝3，a5-a4＝11-7＝4，
所以 an+1-an＝n，即an+1＝an+n.
从而a6＝a5+5＝11+5＝16，a7＝a6+6＝16+6＝22.
（2）因为a2-a1＝a3-a2＝a4-a3＝a5-a4＝3，所以an+1-an＝3，即an+1＝an+3.
从而a7＝a6+3＝a5+3+3＝11+6＝17.
（3）因为????2????1＝????3????2＝????4????3＝????5????4＝-2，所以????????+1????????＝-2.即an+1＝-2an.
从而a7＝（-2）a6＝（-2）2a5＝（-2）2×16＝64.
?
二、数列的前n项和
由于数列{????????}中的每一项????????与它的序号????有下面的对应关系：
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} 序号
1
2
3
…
????
…
?
↓
↓
↓
?
↓
?
项
????1
????2
????3
…
????????
…
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} 序号
1
2
3
…
…
?
↓
↓
↓
?
↓
?
项
…
…
所以数列{????????}是从正整数集?????（或它的有限子集{1，2，…，????}）到实数集????的函数，其自变量是序号????，对应的函数值是数列的第????项????????，记为????????＝????（????）.
?
也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值????（1），????（2），…，????（????），…就是数列{????????}.
另一方面，对于函数????＝????（????），如果????（????）（????∈?????）有意义，那么
????（1），????（2），…，????（????），…
构成了一个数列{????（????）}.
?
新知学习
尝试与发现
已知某电子书今年上半年每个月的销售量构成数列
220，530，950，1 360，1 820，2 350.　　　　　　　
假设你是该电子书的销售人员，关于上述数列，除了每一个数字的大小和增长趋势外，你还会关心什么？
【提示】作为销售人员，一般来说还会关心上半年电子书的总销售量，即
220+530+950+1 360+1 820+2 350＝7 230.
新知讲解
二、数列的前????项和
1.数列的前????项和的定义
在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一.我们把数列{????????}从第1项起到第????项止的各项之和，称为数列{????????}的前????项和，记作????????，即
????????＝????1+????2+…+????????.
?
2.数列的前????项和公式
如果数列{????????}的前????项和????????与它的序号????之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前????项和公式.
?
思考: 已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n+1.你能写出a1，a2，a3吗？你能总结出一般规律吗？
【提示】因为S1＝2×1+1＝3，又因为S1＝a1，所以a1＝3.
因为S2＝2×2+1＝5，又因为S2＝a1+a2，所以a2＝S2-a1＝5-3＝2.
因为S3＝2×3+1＝7，又因为S3＝a1+a2+a3＝S2+a3，所以
a3＝S3-S2＝7-5＝2　.
【总结】一般地，如果数列{an}的前n项和为Sn，那么当n≥2，有
Sn-1＝a1+a2+a3+…+an-1，
Sn＝a1+a2+a3+…+an-1+an，
所以
Sn＝Sn-1+an.
因此
an＝????1,????=1,??????????????????1,????≥2.
?
解 当????＝1时，????1＝????1＝3，
当????≥2时，????????＝??????????????????1
＝????2+????+1??????12+?????1+1
＝2????.
当????＝1时，????1＝3≠2×1，故当????＝1时不符合上式，
?
已知数列{????????}的前????项和公式为????????＝????2+????+1，你能求出{????????}的通项公式吗？
?
所以{????????}的通项公式是????????＝
?
即时巩固
随堂小测
1. 先填空，再写出数列的一个通项公式.
（1）1，2，（　　），4，5，6，…
（2）2，4，6，（　　），10，…
（3）1，4，9，16，（　　），…
（4）1，12，13，（　　），15，16.
?
3
8
25
14
?
????????＝????
?
????????＝2????
?
????????＝????2
?
????????＝1????（1≤????≤6）
?
2.已知数列{????????}，其通项公式????????＝3????2?????（????∈?????），则数列{????????}是 数列.（填递增或递减）
?
递增
3.已知数列{????????}满足????1＝1，????????＝???????????????????????????????????????则????4＝ .
?
7
4.若数列{????????}的前????项和????????＝????2?1，则????4＝ .
5.已知数列{????????}的前????项和????????＝????2，则????????等于 （　　）
A.???? B.????2 C.2????+1 D.2?????1
?
7
D
例1　分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第7项.
（1）4，5，7，10，14，…；??（2）7，9，11，13，15，…；??（3）2，6，18，54，162，….
典例剖析
解 （1）由a2-a1＝1，a3-a2＝2，a4-a3＝3，a5-a4＝4，…，得an+1-an＝n.
由an+1＝an+n，得a6＝a5+5＝19，a7＝a6+6＝25.
（2）由a2-a1＝2，a3-a2＝2，a4-a3＝2，a5-a4＝2，…，得an+1-an＝2.
由an+1＝an+2，得a7＝a6+2＝a5+2×2＝19.
（3）由????2????1＝3，????3????2＝3，????4????3＝3，????5????4＝3，…，得????????+1????????＝3.
由an+1＝3an，得a7＝3a6＝32a5＝1 458.
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类题通法
由递推公式求数列的项的方法
（1）根据递推公式写出数列的前几项，先要弄清楚公式中各部分的关系，再依次代入计算即可.
（2）若知道的是首项，通常将所给递推公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.
（3）若知道的是末项，通常将所给递推公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
例2　在数列{an}中，a1＝2，an+1＝an+ln1+1????，则an＝ （　　）
A.2+ln n B.2+（n-1）ln n C.2+nln n D.1+n+ln n
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解题提示 由于给出的递推关系式涉及相邻两项的差，故可考虑用累加法或迭代法，另外由于是选择题，也可采用观察归纳法.
解析 （方法1：累加法）an+1-an＝ln1+1????＝ln（n+1）-ln n，
a1＝2，a2-a1＝ln 2，a3-a2＝ln 3-ln 2，a4-a3＝ln 4-ln 3，…，an-an-1＝ln n-ln（n-1）（n≥2）.
将以上各式相加得
an＝2+ln2+（ln3-ln2）+…+［lnn-ln（n-1）］.
所以an＝2+ln n（n≥2）.
因为????1＝2也适合上式，所以an＝2+ln n.
?
（方法2：迭代法）当n≥2时，
an＝an-1+ln?????????1＝an-2+ln ?????1?????2+ln ?????????1＝…＝a1+ln 21+ln 32+…+ln ?????1?????2+ln ?????????1＝2+ln(21·32·43·…·?????1?????2·?????????1)＝2+ln n.
因为a1＝2也适合上式，所以an＝2+ln n.
（方法3：观察归纳法）数列的前5项分别为：
a1＝2，a2＝2+ln1+11＝2+ln 2，a3＝（2+ln 2）+ln1+12＝2+ln 3，
a4＝（2+ln 3）+ln1+13＝2+ln 4，a5＝（2+ln 4）+ln1+14＝2+ln 5，
由此可得数列的一个通项公式为an＝2+ln n.
答案 A
【点评】本题也可以利用特殊值排除法，如由a2＝a1+ln 2＝2+ln 2，将n＝2代入各选项即可排除C，D，再由a3排除B得答案为A.解题时既要掌握解决问题的通法，也要熟悉特殊问题的处理技巧.
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类题通法
已知数列的递推公式求通项公式的方法
（1）累加法：当an＝an-1+f（n）时，常用an＝（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
求通项公式，也称为叠加法.
（2）累乘法：当?????????????????1＝g（n）时，常用an＝?????????????????1·?????????1?????????2·…·????2????1·a1求通项公式，也称为叠乘法.
（3）迭代法：将an变形利用迭代法求解.
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例3　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an，a1＝12，则数列{an}的通项公式为　　　　.
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解题提示 本题考查由数列的前n项和Sn求通项公式.注意讨论n＝1和n≥2两种情况.
解析 ∵ Sn＝n2an①，
∴ 当n≥2时，Sn-1＝（n-1）2an-1②.
①-②，得an＝Sn-Sn-1＝n2an-（n-1）2an-1，整理得（n2-1）an＝（n-1）2an-1，
易知an≠1，则?????????????????1＝?????1????+1（n≥2），
∴ an＝a1·????2????1·????3????2·…·?????????????????1＝12×13×24×35×…×?????2????×?????1????+1＝1????????+1（n≥2）.
∵ a1＝12适合an＝1????????+1，∴ an＝1????????+1.
答案 an＝1????????+1
点评 在构造方程（组）时，用n-1替换n时要注意n的范围，两式相减后，用的是两个n的范围的交集，这里容易因忽略范围而出错.
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类题通法
由Sn求an的方法和步骤
1.已知Sn求an.
利用an＝????1,????=1,??????????????????1,????≥2,可由数列的前n项和Sn求得数列的通项公式an.解题过程通常分为四步，第一步，令n＝1得a1；第二步，令n≥2得an；第三步，在第二步求得的an的表达式中取n＝1，判断其值是否为a1；第四步，写出数列的通项公式（若第三步中n＝1时an表达式的值不等于a1，则数列的通项公式一定要分段表示）.
2.已知Sn与an之间的关系求an.
解决此类问题通常有两种途径：（1）由关系式消去Sn，建立an与an-1（或an+1）之间的关系求an；（2）由关系式消去an，建立Sn与Sn-1之间的关系求Sn，进而求an.
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1.已知数列{an}满足an+1+（-1）n+1an＝n2（n∈N+），若a6＝5，则a1＝（　　）
A.-26 B.0 C.5 D.26
2.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，a3＝3，anan+1an+2an+3＝24，则S2019＝　　　　.
3.已知数列{an}满足a1＝-1，an+1＝an+1????????+1，n∈N+，则通项公式an＝　　　　.
4.若数列????????满足????1＝1，且????????+1????????＝????+2????（n∈N+），则当n≥2时，an＝　　　　.
?
随堂小测
B
5046
?????????
?
????????+????????
?
5.已知数列{an}的前n项的和为Sn＝14n2+23n+3，求这个数列的通项公式.
解 当n＝1时，a1＝S1＝14+?23+3＝4712；
当n≥2时，an＝Sn-Sn-1＝14n2+?23n+3-?14?????12+23?????1+3＝????2+?512.
当n＝1时，12 +?512＝1112≠4712，∴ an＝4712,????=1,????2+512,????≥2.
?
随堂小测
6.正项数列????????的前n项和????????满足：????????2 -（n2+n-1）Sn-（n2+n）＝0.求数列{an}的通项公式.
解 由????????2-（n2+n-1）Sn-（n2+n）＝0
可得［Sn-（n2+n）］·（Sn+1）＝0.
又{an}为正项数列，所以Sn＝n2+n.
当n＝1时，a1＝S1＝1+1＝2；
当n≥2时，an＝Sn-Sn-1＝n2+n-［（n-1）2+（n-1）］＝2n.
又a1＝2也满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
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随堂小测
课堂小结
1.两个知识点：
数列的递推关系；数列的前n项和.
2.四种题型：
（1）发现并写出数列的递推关系
（2）应用数列的递推关系求数列的项
（3）由递推公式求通项公式
（4）数列的前n项和
谢 谢！