高中数学选择性必修第三册RJ·B--5.2 等差数列-5.2.2 等差数列的前n项和 课件（共34张PPT）

第五章
5.2
等差数列
5.2.2 等差数列的前????项和
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学习目标
1.理解等差数列的前????项和公式的推导过程.
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的实际问题.
5.熟练掌握等差数列的五个变量????1，????，????，????????，????????的关系，能够由其中的三个变量求另外的两个量.
核心素养：数学运算、逻辑推理
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新知学习
1.等差数列的概念
一般地，如果数列????????从第2项起，每一项与它的前一项之的差都等于同一个常数d，那么这个数列就叫做等差数列.
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2.等差数列的通项公式
首项为????1,公差为????的等差数列????????的通项公式为????????=????1+(?????1) ????.?
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????????+1?????????=????(常数)
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复习引入
新知探究
据说，二百多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
1+2+3+…+100＝？
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高斯的算法：
（1+100）+（2+99）+…+（50+51）＝101×50＝5?050.
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高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献.
高斯的算法实际上解决了求等差数列 1，2，3，…，????，…??①
前100项的和的问题.
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思考：你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能从中得到求数列①的前????项和的方法吗？
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对于数列①，设????????＝????，那么高斯的计算方法可以表示为
（????1+????100）+（????2+????99）+…+（????50+????51）＝101×50＝5?050.
可以发现，高斯在计算中利用了
?????1+????100＝????2+????99＝…＝????50+????51
这一特殊关系.
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性质：在等差数列????????中，若????，????，????，????∈?????，且????+????＝????+????,则????????+????????＝????????+?????????.
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思考：你能用高斯的方法求1+2+…+100+101吗？
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1+2+…+100+101
=1+101+2+100+3+99+?+50+52+51
=102×50+51
=5151.
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当????是偶数时，有
????1+????????＝????2+?????????1＝…＝?????????????????，
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于是有
?????????＝1+2+3+…+????
＝（1+????）+［2+（?????1）］+…+
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将上述方法推广到一般，可以得到：
当????为奇数时，有
????????????＝1+2+3+…+????
????????＝（1+????）+［2+（?????1）］+…+
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所以，对任意正整数????，都有????????＝1+2+3+…+????＝
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思考：我们发现，在求前????个正整数的和时，要对????分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦.能否设法避免分类讨论？
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对公式????????＝1+2+3+…+????＝ 作变形，可得
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2????????＝2（1+2+3+…+????）＝????（????+1），
它相当于两个???????? 相加，而结果变成????个（????+1）相加.
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受此启发，我们得到下面的方法：
??????????????????＝1+2+3+…+????，
??????????????????＝????+（?????1）+（?????2）+…+1，
将上述两式相加，可得
2????????＝（????+1）+［（?????1）+2］+［（?????2）+3］+…+（1+????）
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所以??????????＝1+2+3+…+????＝
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探究：上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列{????????}的前????项和吗？
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可以发现，上述方法的妙处在于将1+2+3+…+????“倒序”为????+（?????1）+（?????2）+…+1，再将两式相加，得到????个相同的数（即????+1）相加，从而把不同数的求和转化为????个相同的数求和.
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新知讲解
一般等差数列前n项的和可以用类似的方式得到.
设等差数列{an}的前n项和为Sn，即
Sn＝a1+a2+…+an-1+an，①
显然，
Sn＝an+an-1+…+a2+a1.②
又因为根据等差数列的性质有
a1+an＝a2 +an-1＝a3+an-2＝a4+an-3＝…，
所以把①②两边分别相加，可得2Sn＝n（a1+an），
由此得到等差数列{????????}的前????项和公式
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（1）
把等差数列的通项公式????????＝????1+（?????1）????代入公式（1），
可得?????????＝????????1+????(?????1)2????. （2）
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等差数列的前????项和公式
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思考: 不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？
?????????＝????1+????2+…+????????
＝????1+????1+????+…+????1+(?????1)?????
＝????????1+［1+2+3+…+（?????1）］????
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即时巩固
已知等差数列{an}的公差为2，且a20＝29，求这个等差数列前20项的和S20.
解 由等差数列的通项公式可得29＝a1+19×2，由此可解得a1＝-9.
因此S20＝20×?9+292＝200.
（或利用S20＝20×（-9）+20×192×2求解）
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思考
（1）等差数列中，Sn与n的关系与以前学过的什么函数有关？
（2）如果数列{an}的前n项和的公式是Sn＝An2+Bn+C，其中A，B，C都是常数，那么{an}一定是等差数列吗？为什么？
等差数列前n项和公式与二次函数的关系
一般地，对于等差数列{an}，如果a1，d是确定的，那么等差数列{an}的前n项和Sn是定义在正整数集上关于n的函数，即Sn＝na1+?????????12d＝????2n2+????1?????2n（不含常数项），其图像是函数y＝????2x2+????1?????2x图像上的一些离散的点（n，Sn），且点的横坐标为正整数.
设a＝????2，b＝a1-????2，则等差数列{an}的前n项和公式可写成Sn＝an2+bn.
①当a＝0，b＝0（即d＝0，a1＝0）时，Sn是常函数，数列{an}是各项均为0的常数列；
②当a＝0，b≠0（即d＝0，a1≠0）时，Sn＝bn是关于n的正比例函数（常数项为0的一次函数），数列{an}是各项均为a1的常数列；
③当a≠0，b≠0（即d≠0）时，Sn＝an2+bn是关于n的二次函数（常数项为0）.
由此可见，如果数列{an}是等差数列，那么其前n项和Sn＝an2+bn（a，b为常数）.
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知识拓展：等差数列的常用性质
设数列{????????}是等差数列，公差为????，????????为其前????项和，则????????有如下常用性质：
（1）数列????????????也是等差数列，公差为????2.
（2）数列{????????}为等差数列?????????＝????????2+????????（????，????为常数）.
（3）????????，????2?????????????，????3?????????2????，…也成等差数列，公差为????2????.
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典例剖析
例1　已知数列{????????}是等差数列.
（1）若????1＝7，????50＝101，求????50；
（2）若????1＝2，????2＝52，求????10；
（3）若????1＝12，????＝?16，????????＝?5，求????.
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分析：对于（1），可以直接利用公式????????＝????(????1+????????)2求和；在（2）中，可以先利用????1和????2的值求出????，再利用公式????????＝????????1+????(?????1)2????求和；（3）已知公式????????＝????????1+????(?????1)2????中的????1，????和????????，解方程即可求得????.
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解：（1）因为????1＝7，????50＝101，根据公式????????＝????(????1+????????)2， 可得????50＝50(7+101)2＝2?700.
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（2）因为????1＝2，????2＝52，所以????＝12.根据公式????????＝????????1+????(?????1)2????，
可得????10＝10×2+10(10?1)2×12＝852.
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（3）把????1＝12，????＝?16，????????＝?5代入????????＝????????1+????(?????1)2????，
得?5＝12????+????(?????1)2×?16.
整理，得????2?7?????60＝0.
解得????＝12，或?????＝?5（舍去）.
所以????＝12.
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方法技巧：等差数列中的基本计算
(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前????项和公式中有五个量????1，????，????，????????和????????
这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量????1和????的方程组，解出????1和????，
便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：
若????＋????＝????＋????(????，????，????，????∈?????)，则????????＋????????＝????????＋????????，常与求和公式????????＝????(????1+????????)2结合
使用．
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例2　已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若????????????????＝2????3????+1，则????8????8＝　　　　.
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解析 （方法1）设Sn＝kn·2n，Tn＝kn·（3n+1），则
a8＝S8-S7＝k×8×2×8-k×7×2×7＝30k，
b8＝T8-T7＝k×8×（24+1）-k×7×（21+1）＝46k，
∴????8????8＝30????46????＝1523.
（方法2）????8????8＝2????82????8＝????1+????15????1+????15＝15????1+????15215????1+????152＝????15????15＝2×153×15+1＝3046＝1523.
答案 1523
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归纳总结：等差数列前n项和????????的性质
（1）项数的“等和”性质：Sn＝????????1+????????2＝????????????+?????????????+12.
若等差数列共有2n-1项，则S2n-1＝（2n-1）an；
若等差数列共有2n项，则S2n＝n（an+an+1）.
（2）项的个数的“奇偶”性质：
①若等差数列的项数为2n（n∈N+），则S偶-S奇＝nd，????奇????偶＝????????????????+1；
②若等差数列的项数为2n+1（n∈N+），S奇-S偶＝an+1，????奇????偶＝????+1????，S奇＝（n+1）an+1，S偶＝nan+1.
（3）若等差数列{an}和{bn}的前n项和为Sn，Tn，则????????????????＝????2?????1????2?????1，????????????????＝2?????12?????1·????2?????1????2?????1.
（4）等差数列{an}中，公差为d，前k项和为Sk，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k，…构成公差为k2d的等差数列.
（5）Sm+n＝Sm+Sn+mnd（m，n∈N+）；Sm+n＝????+??????????????????????????????（m，n∈N+，且m≠n）.
特别地，若Sm＝Sn（m≠n），则Sm+n＝0；若Sm＝n，Sn＝m（m≠n），则Sm+n＝-（m+n）.
（6）由公式Sn＝na1+?????????1????2得????????????＝a1+?????12d＝????2n+a1-????2，因此数列????????????是等差数列，首项为a1，公差为等差数列{an}公差的一半.
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例3　在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足????????2＝an?????????12.
（1）求Sn的表达式；
（2）设bn＝????????2????+1，求{bn}的前n项和Tn.
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解 （1）∵????????2＝an（Sn-12），an＝Sn-Sn-1 （n≥2），∴????????2＝（Sn-Sn-1）?????????12，
即2Sn-1Sn＝Sn-1-Sn，①
由题意得Sn-1Sn≠0，①式两边同除以Sn-1Sn，得1?????????1?????????1＝2，
∴ 数列1????????是首项为1????1＝1????1＝1，公差为2的等差数列.
∴1????????＝1+2（n-1）＝2n-1，∴ Sn＝12?????1.
（2）∵ bn＝????????2????+1＝12?????12????+1＝1212?????1?12????+1，
∴ Tn＝b1+b2+…+bn＝12[?(1?13)+(13?15) +…+ (12?????1?12????+1)]＝121?12????+1＝????2????+1.
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类题通法
用裂项相消法求和的技巧与注意点
（1）用裂项相消法求和时，要对通项公式进行变换，常见的裂项技巧如下：
①1????????+????＝1????1?????1????+????；②1????+????+????＝1????（????+?????????）；
③12?????12????+1＝1212?????1?12????+1；④1????????+1????+2＝121????????+1?1????+1????+2.
（2）抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.
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例4　若在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，则Sn的最大值为　　　　.
解析 （方法1）设等差数列{an}的公差为d，由S17＝S9，得
25×17+172×（17-1）d＝25×9+92×（9-1）d，解得d＝-2.
∴ Sn＝25n+????2×（n-1）×（-2）＝-（n-13）2+169.
由二次函数的性质知，当n＝13时，Sn有最大值169.
（方法2）设等差数列{an}的公差为d.由S17＝S9，得25×17+172×（17-1）d＝25×9+92×（9-1）d，解得d＝-2.
∵ a1＝25>0，则由????????=25?2?????1≥0,????????+1=25?2????≤0,得????≤272,????≥252,
又n∈N+，∴ 当n＝13时，Sn有最大值，且S13＝25×13+13×12×?22＝169.
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（方法3）设等差数列{an}的公差为d.由S17＝S9，得
25×17+172×（17-1）d＝25×9+92×（9-1）d，解得d＝-2.
由S17＝S9，得a10+a11+…+a17＝0，而a10+a17＝a11+a16＝a12+a15＝a13+a14，
故a13+a14＝0.
∵ d＝-2<0，a1>0，∴ a13>0，a14<0，
故当n＝13时，Sn有最大值，且S13＝25×13+13×12×?22＝169.
（方法4）先求出d＝-2，得Sn的图像所在的抛物线如图所示，由S17＝S9知图像对称轴方程
为n＝9+172＝13，
∴ 当n＝13时，Sn取得最大值169.
答案 169
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类题通法
求等差数列的前n项和Sn的最值的方法
（1）由Sn＝na1+?????????12d＝????2n2+????1?????2n，将求等差数列的前n项和Sn的最值问题转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决.
（2）邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，当a1>0，d<0时，满足????????≥0，????????+1≤0的项数n使得Sn取最大值；当a1<0，d>0时，满足????????≤0，????????+1≥0的项数n使得Sn取最小值.
（3）图像法：利用二次函数图像的对称性来确定n的值，使Sn取最值.
一般地，等差数列{an}中，若Sp＝Sq（p≠q），则
①当p+q为偶数时，则当n＝????+????2时，Sn最大（或最小）；
②当p+q为奇数时，则当n＝????+?????12或n＝????+????+12时，Sn最大（或最小）.
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例5　某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位.
分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{????????}.设数列{????????}的前????项和为????????.由题意可知，{????????}是等差数列，且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前????项和公式求首项.
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解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{????????}，其前????项和为????????.根据题意，数列{????????}是一个公差为2的等差数列，且????20＝800.
由????20＝20????1+20×(20?1)2×2＝800，可得
????1＝21.
因此，第1排应安排21个座位.
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随堂小测
1.等差数列?3，1，5，…的前100项的和为 .
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19 500
2.已知一个等差数列{????????}的前10项和是310，前20项和是1 220，那么这个数列的前30项和是 .
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2 730
3.若等差数列{????????}共有????项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前????项和????????＝286，则????= .
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26
4.设等差数列{????????}的前????项和为????????，????1＝1，公差????＝32，前????项中所有奇数项的和为????????′，前????项中所有偶数项的和为????????″，????为偶数，且????????″?????????′＝15，则????????＝　　　　.
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305
5. 在等差数列{????????}中，已知????1＝20，前????项和为????????，且????10＝????15，求当????取何值时，????????取得最大值，并求出它的最大值.
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当????＝12或13时，????????取得最大值，且最大值为????13＝????12＝130.
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6.已知等差数列{????????}的前????项和为????????，若????1＝10，公差????＝?2，则????????是否存在最大值？若存在，求????????的最大值及取得最大值时????的值；若不存在，请说明理由.
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分析：由????1>0和????<0，可以证明{????????}是递减数列，且存在正整数????，使得当????≥????时，????????<0，???????? 递减.这样，就把求????????的最大值转化为求{????????}的所有正数项的和.
另一方面，等差数列的前????项和公式可写成????????＝d2????2+????1?????2?????，所以当????≠0时，Sn可以看成二次函数????＝????2????2+?????1?????2????（????∈????）当????＝????时的函数值.如图，当????<0时，????????关于????的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点.因此，可以利用二次函数求相应的????，???????? 的值.
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解法1：由????????+1?????????＝?2<0，得????????+1 又由????????＝10+（?????1）×（?2）＝?2????+12，可知：
当????<6时，????????>0； 当????＝6时，????????＝0； 当????>6时，????????<0.
所以 ????1????7>….
也就是说，当????＝5或6时，????????最大.
因为????5＝52×［2×10+（5?1）×（?2）］＝30，所以????????的最大值为30.
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解法2：因为????????＝d2????2+????1?????2????＝?????2+11????＝??????1122+1214,
所以，当????取与112最接近的整数即5或6时，????????最大，最大值为30.
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课堂小结
知识清单：
等差数列的前????项和公式；等差数列前n项和的常用性质；等差数列前????项和的最值问题
方法归纳：裂项相消法求和，并项法、分组法、倒序相加法
常见误区：特殊限制条件下忽略对n的讨论
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谢 谢！