高中数学选择性必修第三册RJ·B--5.3 等比数列-5.3.1 等比数列 课件（共34页）

第五章
5.3
等比数列
5.3.1 等比数列
学习目标
1. 理解等比数列的定义，并能利用定义判断或证明一个数列是否为等比数列.
2.掌握等比数列的通项公式，并能运用解决简单问题.
3.了解等比中项的概念.
4.体会等比数列与指数函数的关系.
核心素养：数学运算、逻辑推理
新知学习
我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？
复习引入
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：
????9，92，93，…，910； ①
????100，1002，1003，…，10010； ②
????5，52，53，…，510. ③
2.《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的
长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是
???????12，14，18，116，132，…. ④　　
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20?min就通过分裂繁殖
一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是
????????2，4，8，16，32，64，…. ⑤
4.某人存入银行????元，存期为5年，年利率为????，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是
????（1+????），????（1+????）2，????（1+????）3，????（1+????）4，????（1+????）5. ⑥
?
探究：类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？
你发现了什么规律？
我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.
如果用{????????}表示数列①，那么有
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1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：
????9，92，93，…，910； ①
????100，1002，1003，…，10010； ②
????5，52，53，…，510. ③
这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于9.
其余几个数列也有这样的取值规律吗？请自己试一下.
一、等比数列的概念
一般地，如果数列{????????}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即
????????+1????????＝q
恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比.
例如，数列①~⑥的公比依次是 9，100，5，12，2，1+????.
?
新知讲解
对等比数列的概念理解
（1）“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.
（2）对所有的正整数n，????????+1????????均为同一个常数，即比值相等，这就是等比数列公比的意义，同时还要注意公比是每一项与它的前一项的比值，防止前后次序颠倒.
（3）若一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项的比都是同一个常数，则此数列不是等比数列，但是可以说此数列从第3项或第4项起是一个等比数列.
（4）常数列都是等差数列，但不一定是等比数列，只有当常数列各项不为0时，才是等比数列.
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即时巩固
下列数列为等比数列的是（ ）
A.????,????2,????3?,????4,??
B.22,42,62,82, ?
C.?????1,?????12,?????13,?????14,?
D.1????,1????2, 1????3, 1????4, ?
?
D
二、等比数列的通项公式
探究：你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
一般地，如果等比数列{an}的首项是a1，公比是q，那么根据等比数列的定义可知????????+1????????＝q，
即an+1＝anq，从而 a2＝a1q，
a3＝a2q＝（a1q）q＝a1q2，　　　　
a4＝a3q＝（a1q2）q= a1q3， 　　　　　　　　　　　　　　　　
……
由此可归纳出等比数列的通项公式为 an＝a1qn-1.
另外，由等比数列的定义可得?????????????????1＝q，?????????1?????????2＝q，……????3????2＝q，????2????1＝q，
将这n-1个式子两边分别相乘，则有????????????1＝qn-1，
?
因此同样可以得到等比数列的通项公式为????????＝????1?????????1.
?
即时巩固
已知等比数列{an}的首项为a1＝27，公比q＝13.
（1）求a8 .
（2）判断18是否是这个数列中的项.如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由.
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解（1）由等比数列的通项公式可知a8＝a1q7＝27×137＝181.
（2）设18是数列中的第n项，则27×13?????1＝18，化简得32-n＝2，
因为这个方程无正整数解，所以18不是数列中的项.
?
提示
等比数列通项公式的应用
①在已知首项a1和公比q的前提下，利用通项公式an＝a1qn-1可求出等比数列中的任意一项.
②在公式an＝a1qn-1中，有an，a1，q，n四个量，如果已知任意三个，可求出第四个量.
③可以利用通项公式来判断数列是否为等比数列.
④在记忆公式时，要注意q的指数比项数n小1这一特点.
三、等比数列与指数函数的关系
类似于等差数列与一次函数的关系，由????????＝????1????·????????可知，当????>0且????≠1时，等比数列{????????}的第????项????????是函数????（????）＝????1????·????????（????∈????）当????＝????时的函数值，即????????＝?????（????）（如图所示）.
?
反之，任给指数函数????（????）＝????????????（????，????为常数，
????≠0，????>0，且????≠1），则????（1）＝????????，
????（2）＝????????2，…，????（????）＝????????????，…构成一个
等比数列{????????????}，其首项为????????，公比为????.
?
注意：如果一个数列的通项公式????????＝????·????????（????，????为常数，????≠0，????≠0），那么这个数列必定为等比数列.
?
思考：类比指数函数的性质，你能说说公比????>0时等比数列的单调性吗？
?
当????=1时，????????＝????1是一个常数列；
当????≠1时，????????＝????1????·????????，其单调性如下表：
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{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
0????>1
指数函数????＝????????的单调性
单调递减
单调递增
数列????????＝????1????·????????的单调性
????1>0
单调递减
单调递增
????1<0
单调递增
单调递减
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
单调递减
单调递增
单调递减
单调递增
单调递增
单调递减
二、等比中项
如果????，????，????成等比数列，那么????叫做????与????的等比中项.
根据等比中项与等比数列的张定义可知????????＝????????，因此G 2＝xy.由此可知G＝±????????.

?
等比中项的理解
1.显然，两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数，如2+1，2 -1的等比中项为±1.一个正数和一个负数没有等比中项.
2.一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项；反之，如果一个数列从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项，即????????2＝an-1an+1（n≥2），那么这个数列是等比数列.等比中项法是证明一个数列为等比数列的方法之一.
3.任意两个实数未必一定有等比中项，如0和任何实数都无等比中项.
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即时巩固
在4与14之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数.
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解（方法一）依题意，a1＝4，a5＝14，由等比数列的通项公式，得14＝4×q4，解得 q＝±12.
当q＝12时，插入的3个数分别为4×12＝2，2×12＝1，1×12＝12；
当q＝-12时，插入的3个数分别为4×?12＝-2，（-2）×?12＝1，1×?12＝-12.
因此，插入的3个数分别为2，1，12或-2，1，-12.
?
（方法二）因为等比数列共有5项，即a1， a2， a3， a4， a5 .
又因为2×3＝1+5，所以????32＝a1a5＝4×14＝1，即a3＝±1.
又因为a3要与a1同号，因此a3＝1.
类似地，有????22＝a1a3，????42＝a3a张韵5，而且a2与a4同号.因此
当a2＝????1????3＝4×1＝2时，a4＝????3????5＝1×14＝12；
当a2＝-????1????3＝-4×1＝-2时，a4＝-????3????5＝-1×14＝-12.
因此，插入的3个数分别为2，1，12或-2，1，-12.
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知识拓展:等比数列的性质
（1）若数列{????????}，{????????}都是等比数列，则{????????????????}，{????????????????},{????????????}（????≠0），1????????，{????????2}等也是等比数列.
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（2）①将等比数列的前????项去掉，剩余各项组成的新数列仍为等比数列；
②从等比数列中每隔相同的项取出一项，所得的新数列仍为等比数列
（新数列的下标成等差数列）
?
（3）已知数列{????????}是等比数列，????，????，????，????∈?????，
若????+????＝?????+????，则有?????????????????＝????????????????.
特别地，若????+????＝2????，则有?????????????????＝????????2
?
即时巩固
已知数列{????????}的首项????1＝3.
（1）若{????????}为等差数列，公差????＝2，证明数列{3????????}为等比数列；
（2）若{????????}为等比数列，公比????＝19，证明数列{log?3????????}为等差数列.
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证明：（1）由????1＝3，????＝2，得{????????}的通项公式为????????＝2????+1.
设????????＝3????????，则
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又?????1＝33＝27，所以，{3????????}是以27为首项，9为公比的等比数列.
（2）由????1＝3，????＝19，得????????＝3×19?????1＝33?2????.
两边取以3为底的对数，得log3????????＝log333?2????＝3?2????.
所以log3????????+1?log3????????＝［3?2（????+1）］?（3?2????）＝?2.
又log3????1＝log33＝1，
所以，{log3????????}是首项为1，公差为?2的等差数列.
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典例剖析
例1　若等比数列{????????}的第4项和第6项分别为48和12，求{????????}的第5项.
分析：等比数列{????????}由????1，????唯一确定，可利用条件列出关于????1，????的方程（组），进行求解.
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解法1：由????4＝48，????6＝12，得
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②的两边分别除以①的两边，得????2＝14， 解得????＝12或?12.
把????＝12代入①，得????1＝384.????此时????5＝????1????4＝384×124＝24.
把????＝?12代入①，得????1＝?384.
此时????5＝????1????4＝?384×?124＝?24.
因此，{????????}的第5项是24或?24.
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解法2：因为????5是????4与????6的等比中项，所以
????52＝????4????6＝48×12＝576.
所以????5＝±576＝±24.
因此，{????????}的第5项是24或?24.
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类题通法
等比数列求基本量的常用方法
（1）用通项公式列方程或方程组求解a1及q，然后求其他的量；
（2）充分利用各项之间的关系，求出q后，利用公式的变形an＝am?????????????求解.
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例2　一个等比数列的前三项依次是a，2a+2，3a+3，那么-1312是该数列中的第　　　项.
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解析 ∵ a，2a+2，3a+3是等比数列的前三项，
∴ a（3a+3）＝（2a+2）2，解得a＝-1或a＝-4.
当a＝-1时，数列的前三项依次为-1，0，0，与等比数列的定义矛盾，故将a＝-1舍去.
当a＝-4时，数列的前三项依次为-4，-6，-9，则公比q＝32.
∴ an＝-4·32?????1.
令-4·32?????1＝-1312，即32?????1＝278＝323.
∴ n-1＝3，即n＝4.
∴ -1312是该数列的第4项.
答案 4
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点评
（1）由定义可知ab≠0，G 2＝ab，即G＝±????????.
（2）只有同号的两个数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数.
（3）三个数a，G，b成等比数列的一个必要不充分条件是G 2＝ab.
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例3　已知a，b，c，d成等比数列，a+b，b+c，c+d均不为零，求证：a+b，b+c，c+d成等比数列.
证明 （方法1）由已知，设????????＝????????＝????????＝q（q为常数且q≠0）.
∵ a+b，b+c，c+d均不为零，∴????+????????+????＝????+????????+????＝q，
故a+b，b+c，c+d成等比数列.
（方法2）由已知得b2＝ac，c2＝bd，????????＝????????，即bc＝ad，
∴ （b+c）2＝b2+c2+2bc＝ac+bd+bc+bc＝ac+bd+bc+ad＝（ac+bc）+（bd+ad）＝（a+b）· （c+d），且a+b，b+c，c+d均不为零，∴ a+b，b+c，c+d成等比数列.
（方法3）由已知，设b＝aq，c＝aq2，d＝aq3（q为常数且q≠0）.
∵ a+b，b+c，c+d均不为零，
∴????+????????+????＝????????1+????????1+????＝q，????+????????+????＝????????21+????????????1+????＝q，故a+b，b+c，c+d成等比数列.
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类题通法
等比数列的判定方法
1.定义法：????????+1????????＝q（q为常数且q≠0）或?????????????????1＝q（q为常数且q≠0，n≥2）?{an}为等比数列.
2.等比中项法：????????+12＝an·an+2（an≠0）?{an}为等比数列.
3.通项公式法：an＝a1qn-1（a1，q为非零常数）?{an}为等比数列.
定义法和等比中项法是最常用的判定方法.
注意不能仅由数列的前有限项成等比数列得出数列是等比数列，而要否定一个数列是等比数列，只需得到其任意连续三项不成等比数列即可.
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例4　数列{????????}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132.求这个数列.
分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解.
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解：设前三项的公比为????，后三项的公差为????，则数列的各项依次为80????2，80????，80，80+????，80+2????.于是得
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解方程组，得
所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，?48.
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类题通法
几个数成等比数列的设法
1.三个数成等比数列设为????????，a，aq.
2.四个符号相同的数成等比数列设为????????3，????????，aq，aq3.
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例5　已知数列{an}中，a1＝56，an+1＝13an+12????+1，求通项公式an.
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解：令an+1-A×12????+1＝13?????????????×12????，则an+1＝13an+????3×12????+1.
由已知条件知????3＝1，得A＝3，
所以an+1-3×12????+1＝13?????????3×12????.
又a1-3×121＝-23≠0，
所以?????????3×12????是首项为-23，公比为13的等比数列.
所以an-3×12????＝-23×13?????1，故an＝3×12????-2×13????.
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类题通法
构造等比数列的常用技巧
1.常用来求形如“an+1＝pan+q（p≠1）”的数列的通项公式，可以证明????????+?????????1为等比数列.
2.形如an+1＝can+dn（c≠d，cd≠0）的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同除以dn+1得????????+1????????+1＝????????×????????????????+1????，进而化归为等比数列；还可以两边同除以cn+1得????????+1????????+1＝????????????????+????????????×1????，再利用累加法求出????????????????，即得an.
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例6　容积为a L（a>1）的容器盛满酒精后倒出1 L，然后加满水，混合溶液后再倒出 1 L，又用水加满，如此继续下去，问第n次操作后溶液的浓度是多少？若a＝2，则至少应倒出几次后才可以使酒精浓度低于10%？
解 开始的浓度为1，操作一次后溶液的浓度是a1＝1-1????.
设操作n次后溶液的浓度是an，则操作n+1次后溶液的浓度是an+1＝????????1?1????.
所以{an}构成以a1＝1-1????为首项，q＝1-1????为公比的等比数列.
所以an＝a1qn-1＝1?1????????，
即第n次操作后溶液的浓度是1?1????????.
当a＝2时，由an＝12????<110，得n≥4.
因此，若a＝2，则至少应倒出4次后才可以使酒精浓度低于10%.
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点评
将实际问题通过建模转化为数列问题时应注意
（1）确定是等差数列还是等比数列；
（2）确定是求an还是求Sn，特别是要准确确定项数n；
（3）确定递推关系.
随堂小测
1.在等比数列{????????}中，????2+????4＝1，????6+????8＝9，则????2＝（??）
A.14 B.13 C.12 D.4
?
A
2.等比数列{????????}的公比为2，则 的值为（　　）
A.1 B.12 C.14 D.18
?
C
4.已知正项等比数列{????????}的公比为3，若????????????????＝9????22，则2????+12????的最小值等于（　　）
A.1 B.12 C.34 D.32
?
C
5.若等差数列{????????}和等比数列{????????}满足????1＝????1＝?1，????4＝????4＝8，则????2????2＝ .　　　　
?
1
3.公差不为零的等差数列的第二、三、六项依次成等比数列，则公比是（??）
A.2 B.3 C.4 D.5
B
6.已知{an}是等差数列，满足a1＝2，a4＝14，数列{bn}满足b1＝1，b4＝6，且{an-bn} 是等比数列.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若对任意n∈N+，都有bn≤bk成立，求正整数k的值.
解（1）设{an}的公差为d，则d＝????4?????13＝4，所以an＝2+（n-1）×4＝4n-2.
故{an}的通项公式为an＝4n-2（n∈N+）.
设cn＝an-bn，则c1＝a1-b1＝2-1＝1，c4＝a4-b4＝14-6＝8.
因为{cn}为等比数列，所以设{cn}的公比为q，则q3＝????4????1＝8，解得q＝2，
所以cn＝2n-1，即an-bn＝2n-1，所以bn＝4n-2-2n-1（n∈N+）.
（2）由题意，得bk应为数列{bn}的最大项.
由（1）得bn+1-bn＝4（n+1）-2-2n-4n+2+2n-1＝4-2n-1（n∈N+），
当n<3时，bn+1-bn>0，bn当n＝3时，bn+1-bn＝0，即b3＝b4；
当n>3时，bn+1-bn<0，bn>bn+1，即b4>b5>b6>….
综上所述， 数列{bn}中的最大项为b3和b4.故正整数k的值为3或4.
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课堂小结
知识清单：
等比数列的定义；等比数列的通项公式；等比数列与指数函数的关系；等比中项；等比数列的性质.
方法归纳：方程思想
常见误区：忽略等比数列的项均不为零；忽略等比数列的项的符号.
谢 谢！