高中数学选择性必修第三册RJ·B--5.3 等比数列-5.3.2 等比数列的前n项和 课件（共29张PPT）
文档属性
| 名称 | 高中数学选择性必修第三册RJ·B--5.3 等比数列-5.3.2 等比数列的前n项和 课件（共29张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-23 09:03:41 | ||
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文档简介
(共29张PPT)
第五章
5.3
等比数列
5.3.2 等比数列的前项和
学习目标
1.探索并掌握等比数列的前项和公式.
2.会用等比数列的前项和公式解决一些与前项和有关的计算问题.
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能解决与等比数列的前项和有关的实际问题.
4.掌握错位相减法，并能应用其求等比数列的前项和.
5.掌握等比数列前项和的性质，并能正确应用.
核心素养：数学运算、逻辑推理
新知学习
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个
格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知1000颗麦粒的质量约为40 g，据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.
如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和.
思考：一般地，如何求一个等比数列的前项和呢？
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则{an}的前n项和是Sn＝a1+a2+a3+…+an.
根据等比数列的通项公式，上式可写成 Sn＝a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1. ①
我们发现，如果用公比q乘①的两边，可得 qSn＝a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn. ②
①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，可得 Sn-qSn＝a1-a1qn， 即 （1-q）Sn＝a1（1-qn）.
因此，当q≠1时，我们就得到了等比数列的前项和公式
因为an＝a1qn-1，所以公式（1）还可以写成
当q＝1时，等比数列的前项和Sn等于多少？
Sn＝na1
对于等比数列的前项和公式应注意以下三点：
（1）在推导等比数列的前项和公式时，通过乘公比错位相减推导公式的方法我们
称为错位相减法.
（2）设等比数列{an}的首项为a1，公比为，则其前项和为
当未知时，要分两种情况讨论.
（3）当时，要注意公式的灵活选择.
当已知时，用
当已知时，用
即时巩固
已知等比数列{an}的公比q＝，a8＝1，求这个数列前8项的和S8 .
解 因为a8＝a1q7，所以a1＝＝＝27，
因此S8＝＝＝28-1＝255.
思考 等比数列的前n项和公式与函数的关系
①当q＝1时，Sn＝na1，是关于n的正比例函数；
当q≠1时，Sn＝-Aqn+A是关于n的一个指数式与一个常数的和，其中指数式的系数和常数项互为相反数，且A＝.
②当q＝1时，S1，S2，S3，…，Sn，…的图像是正比例函数y＝a1x的图像上一系列孤立的点；
当q≠1时，S1，S2，S3，…，Sn，…的图像是函数y＝-Aqx+A的图像上一系列孤立的点，如等比数列1，2，4，8，…的前n项和为Sn＝2n-1，点（n，Sn）是函数y＝2x-1的图像上一系列孤立的点，如图所示.
拓展：等比数列的前项和的性质
（1）等比数列（公比）中依次每k项之和构成的新数列仍然是等比数列，
即仍是等比数列，新数列的公比为
（2）若等比数列有项，则＝
典例剖析
例1 已知数列{an}是等比数列.
（1）若，，求；
（2）若，；
（3）若，，求
解：（1）因为＝，＝，所以
对于等比数列的相关量，，已知几个量就可以确定其他量？
（2）由，可得，即＝.
又由，所以
（3）把，代入
整理，得＝ 解得.
规律总结
等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量a1，q，n，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
例2 已知等比数列{an}的公比，前项和为.证明成等比数列，并求这个数列的公比.
证明：当，， ，
所以成等比数列，公比为1.
因为为常数，所以成等比数列，公比为.
证明：∵，
，
，
∴成等比数列
想一想，不用分类讨论的方式能否证明该结论？
必备知识
等比数列前n项和的常见性质
（1）连续m项的和（如Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…）仍组成等比数列.（注意：这连续m项的和必须非零才能成立）
（2）在等比数列{an}中，当项数为2n时，S偶＝qS奇；当项数为2n+1时，S奇-a1＝qS偶.
（3）Sm+n＝Sn+qnSm.
例3 数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an+1＝3Sn（n≥1）， 则a6＝ （ ）
A.3×45 B.3×44 C.44 D.45
解析 ∵ an+1＝Sn，∴ an＝Sn-1（n≥2）.
两式相减，得Sn-Sn-1＝an+1-an＝an，∴＝4（n≥2）.
又a1＝1，a2＝3a1＝3，
∴ {an}从第二项起成等比数列，
∴ an＝故a6＝3×44.
答案 B
类题通法
已知Sn求an的一般步骤
（1）当n＝1时，由a1＝S1求a1的值；
（2）当n≥2时，由an＝Sn-Sn-1求得an的表达式；
（3）检验a1的值是否满足（2）中的表达式，若不满足，则分段表示an；
（4）写出an的完整表达式.
例4 已知数列{an}满足Sn＝2an-n （n∈N+）.
（1）证明：{an+1}是等比数列.
（2）求a1+a3+a5+…+a2n+1 （n∈N+）.
（1）证明 由S1＝2a1-1，得a1＝1.
因为Sn-Sn-1＝（2an-n）-［（2an-1-（n-1）］（n≥2），
所以an＝2an-1+1.从而由an+1＝2（an-1+1），得＝2（n≥2），
所以{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）解 由（1）得an＝2n-1，
所以a1+a3+a5+…+a2n+1 ＝（2++…+）-（n+1） ＝-（n+1）＝.
类题通法
分组转化法求和的常见类型
（1）若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和；
（2）通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.
例5 已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝12，且2a1，a2，a3+1成等比数列.
（1）求{an}的通项公式；
（2）记bn＝的前n项和为Tn，求Tn.
解 （1）设正项等差数列{an}的公差为d，则d >0.
∵ S3＝12，即a1+a2+a3＝12，∴ 3a2＝12，∴ a2＝4.
又2a1，a2，a3+1成等比数列，
∴＝2a1·（a3+1），即42＝2（4-d）（4+d+1），解得d＝3或d＝-4（舍去），
∴ a1＝a2-d＝1，故an＝3n-2（n∈N+）.
（2）bn＝＝＝（3n-2）×，
∴ Tn＝1×+4×+7×+…+（3n-2）×.①
∴ Tn＝1×+4×+7×+…+（3n-5）×+（3n-2）×.②
①-②，得Tn＝+3×+3×+3×+…+3×-（3n-2）×
＝+3×-（3n-2）×
＝-×-（3n-2）×，
∴ Tn＝-×-×＝-×（n∈N+）.
点评 在使用错位相减法求和时，既可以在等式两边同乘以公比q，也可以在等式两边同乘以.两式相减后使用等比数列前n项和公式求和时应注意项数.
规律总结 （1）如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法.
（2）在写出“Tn”与“qTn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“Tn-qTn”的表达式.
（3）利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：
①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数不能出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1-q.
例6 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.
分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算.
解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bn}，年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn（单位：万吨），则
an＝，bn，
Sn
当时，
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.
随堂小测
3.已知等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且，则＝ .
30
1.在等比数列{an}中，的值为 （ ）
A.14 B.16 C.18 D.20
B
2.已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和
为682，则这个数列的项数为 （ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
D
4.已知数列{an}，其前项和为＝ ，前项和 .
5.已知等比数列{an}的首项为，前n项和为若，求公比
解：若，则，
所以
当时，由，得
整理，得，即.
所以.
6 某牧场今年初牛的存栏数为1 200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为
（1）写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系；
（2）将（1）中的递推公式表示成cn+1-k＝r（cn-k）的形式，其中为常数；
（3）求的值（精确到1）.
分析：（1）可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立cn+1与cn的关系；
（2）这是待定系数法的应用，可以将它还原为（1）中的递推公式的形式，通过比较系数，得到方程组；（3）利用（2）的结论可得出解答.
解：（1）由题意，得，. ①
（2）将化 ②
所以，（1）中的递推公式可以化为 .
（3）由（2）可知，数列是以为首项，1.08为公比的等比数列，
比较①②的系数，可得
课堂小结
知识清单：
等比数列的前项和公式 ; 等比数列的性质；常见数列求和方法；等比数列的实际应用
方法归纳：分组求和法；裂项相消法、错位相减法；倒序相加法；并项求和法
常见误区：对于公比未知的等比数列，应用等比数列 的前项和公式时要注意分类讨论
谢 谢！
第五章
5.3
等比数列
5.3.2 等比数列的前项和
学习目标
1.探索并掌握等比数列的前项和公式.
2.会用等比数列的前项和公式解决一些与前项和有关的计算问题.
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能解决与等比数列的前项和有关的实际问题.
4.掌握错位相减法，并能应用其求等比数列的前项和.
5.掌握等比数列前项和的性质，并能正确应用.
核心素养：数学运算、逻辑推理
新知学习
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个
格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知1000颗麦粒的质量约为40 g，据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.
如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和.
思考：一般地，如何求一个等比数列的前项和呢？
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则{an}的前n项和是Sn＝a1+a2+a3+…+an.
根据等比数列的通项公式，上式可写成 Sn＝a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1. ①
我们发现，如果用公比q乘①的两边，可得 qSn＝a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn. ②
①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，可得 Sn-qSn＝a1-a1qn， 即 （1-q）Sn＝a1（1-qn）.
因此，当q≠1时，我们就得到了等比数列的前项和公式
因为an＝a1qn-1，所以公式（1）还可以写成
当q＝1时，等比数列的前项和Sn等于多少？
Sn＝na1
对于等比数列的前项和公式应注意以下三点：
（1）在推导等比数列的前项和公式时，通过乘公比错位相减推导公式的方法我们
称为错位相减法.
（2）设等比数列{an}的首项为a1，公比为，则其前项和为
当未知时，要分两种情况讨论.
（3）当时，要注意公式的灵活选择.
当已知时，用
当已知时，用
即时巩固
已知等比数列{an}的公比q＝，a8＝1，求这个数列前8项的和S8 .
解 因为a8＝a1q7，所以a1＝＝＝27，
因此S8＝＝＝28-1＝255.
思考 等比数列的前n项和公式与函数的关系
①当q＝1时，Sn＝na1，是关于n的正比例函数；
当q≠1时，Sn＝-Aqn+A是关于n的一个指数式与一个常数的和，其中指数式的系数和常数项互为相反数，且A＝.
②当q＝1时，S1，S2，S3，…，Sn，…的图像是正比例函数y＝a1x的图像上一系列孤立的点；
当q≠1时，S1，S2，S3，…，Sn，…的图像是函数y＝-Aqx+A的图像上一系列孤立的点，如等比数列1，2，4，8，…的前n项和为Sn＝2n-1，点（n，Sn）是函数y＝2x-1的图像上一系列孤立的点，如图所示.
拓展：等比数列的前项和的性质
（1）等比数列（公比）中依次每k项之和构成的新数列仍然是等比数列，
即仍是等比数列，新数列的公比为
（2）若等比数列有项，则＝
典例剖析
例1 已知数列{an}是等比数列.
（1）若，，求；
（2）若，；
（3）若，，求
解：（1）因为＝，＝，所以
对于等比数列的相关量，，已知几个量就可以确定其他量？
（2）由，可得，即＝.
又由，所以
（3）把，代入
整理，得＝ 解得.
规律总结
等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量a1，q，n，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
例2 已知等比数列{an}的公比，前项和为.证明成等比数列，并求这个数列的公比.
证明：当，， ，
所以成等比数列，公比为1.
因为为常数，所以成等比数列，公比为.
证明：∵，
，
，
∴成等比数列
想一想，不用分类讨论的方式能否证明该结论？
必备知识
等比数列前n项和的常见性质
（1）连续m项的和（如Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…）仍组成等比数列.（注意：这连续m项的和必须非零才能成立）
（2）在等比数列{an}中，当项数为2n时，S偶＝qS奇；当项数为2n+1时，S奇-a1＝qS偶.
（3）Sm+n＝Sn+qnSm.
例3 数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an+1＝3Sn（n≥1）， 则a6＝ （ ）
A.3×45 B.3×44 C.44 D.45
解析 ∵ an+1＝Sn，∴ an＝Sn-1（n≥2）.
两式相减，得Sn-Sn-1＝an+1-an＝an，∴＝4（n≥2）.
又a1＝1，a2＝3a1＝3，
∴ {an}从第二项起成等比数列，
∴ an＝故a6＝3×44.
答案 B
类题通法
已知Sn求an的一般步骤
（1）当n＝1时，由a1＝S1求a1的值；
（2）当n≥2时，由an＝Sn-Sn-1求得an的表达式；
（3）检验a1的值是否满足（2）中的表达式，若不满足，则分段表示an；
（4）写出an的完整表达式.
例4 已知数列{an}满足Sn＝2an-n （n∈N+）.
（1）证明：{an+1}是等比数列.
（2）求a1+a3+a5+…+a2n+1 （n∈N+）.
（1）证明 由S1＝2a1-1，得a1＝1.
因为Sn-Sn-1＝（2an-n）-［（2an-1-（n-1）］（n≥2），
所以an＝2an-1+1.从而由an+1＝2（an-1+1），得＝2（n≥2），
所以{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）解 由（1）得an＝2n-1，
所以a1+a3+a5+…+a2n+1 ＝（2++…+）-（n+1） ＝-（n+1）＝.
类题通法
分组转化法求和的常见类型
（1）若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和；
（2）通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.
例5 已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝12，且2a1，a2，a3+1成等比数列.
（1）求{an}的通项公式；
（2）记bn＝的前n项和为Tn，求Tn.
解 （1）设正项等差数列{an}的公差为d，则d >0.
∵ S3＝12，即a1+a2+a3＝12，∴ 3a2＝12，∴ a2＝4.
又2a1，a2，a3+1成等比数列，
∴＝2a1·（a3+1），即42＝2（4-d）（4+d+1），解得d＝3或d＝-4（舍去），
∴ a1＝a2-d＝1，故an＝3n-2（n∈N+）.
（2）bn＝＝＝（3n-2）×，
∴ Tn＝1×+4×+7×+…+（3n-2）×.①
∴ Tn＝1×+4×+7×+…+（3n-5）×+（3n-2）×.②
①-②，得Tn＝+3×+3×+3×+…+3×-（3n-2）×
＝+3×-（3n-2）×
＝-×-（3n-2）×，
∴ Tn＝-×-×＝-×（n∈N+）.
点评 在使用错位相减法求和时，既可以在等式两边同乘以公比q，也可以在等式两边同乘以.两式相减后使用等比数列前n项和公式求和时应注意项数.
规律总结 （1）如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法.
（2）在写出“Tn”与“qTn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“Tn-qTn”的表达式.
（3）利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：
①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数不能出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1-q.
例6 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.
分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算.
解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bn}，年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn（单位：万吨），则
an＝，bn，
Sn
当时，
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.
随堂小测
3.已知等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且，则＝ .
30
1.在等比数列{an}中，的值为 （ ）
A.14 B.16 C.18 D.20
B
2.已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和
为682，则这个数列的项数为 （ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
D
4.已知数列{an}，其前项和为＝ ，前项和 .
5.已知等比数列{an}的首项为，前n项和为若，求公比
解：若，则，
所以
当时，由，得
整理，得，即.
所以.
6 某牧场今年初牛的存栏数为1 200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为
（1）写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系；
（2）将（1）中的递推公式表示成cn+1-k＝r（cn-k）的形式，其中为常数；
（3）求的值（精确到1）.
分析：（1）可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立cn+1与cn的关系；
（2）这是待定系数法的应用，可以将它还原为（1）中的递推公式的形式，通过比较系数，得到方程组；（3）利用（2）的结论可得出解答.
解：（1）由题意，得，. ①
（2）将化 ②
所以，（1）中的递推公式可以化为 .
（3）由（2）可知，数列是以为首项，1.08为公比的等比数列，
比较①②的系数，可得
课堂小结
知识清单：
等比数列的前项和公式 ; 等比数列的性质；常见数列求和方法；等比数列的实际应用
方法归纳：分组求和法；裂项相消法、错位相减法；倒序相加法；并项求和法
常见误区：对于公比未知的等比数列，应用等比数列 的前项和公式时要注意分类讨论
谢 谢！