高中数学选择性必修第三册RJ·B--5.4 数列的应用 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
第五章
5.4
数列的应用
学习目标
1.理解分期还款中一些概念.
2.能够用归纳法写出实际问题中的第n项.
3.学会用等差数列和等比数列解决实际问题.
核心素养：数学建模、数学运算
新知学习
一、分期付款与数列
我们知道，当偿还银行贷款时，需要将本金和利息一起偿还.分期还款是一种很常见的还款方式，其本质是将本金和利息分摊到每一期偿还.目前，常见的分期还款方式有“等额本金还款法”“等额本息还款法”.你能根据这两种还款方式的名称猜出它们的不同吗？如果向银行贷款本金A0元，打算分成m期偿还，并且每一期的利率为r（r>0），记每期还款的钱数构成的数列为
a1，a2，…，am，
你能写出两种还款方法中，第n期所要还的钱数an的表达式吗？
学习新知 这里我们首先要知道“等额本金还款法”和“等额本息还款法”
1. 等额本金还款法
“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率.因此这种方式中，
每期还款金额＝ +（贷款本金-已还本金总额）×利率.

2. 等额本息还款法
“等额本息还款法”就是将本金和利息平均分配到每一期进行偿还，因此每一期所还钱数相等
每期还款金额＝

an＝+×r.
a1＝a2＝…＝am.
即时巩固
自主创业的大学生张华向银行贷款200000元租赁了一处经营场所，因为预计前期经营状况会比较好，张华跟银行约定按照“等额本金还款法”分10年进行还款，贷款的年利率为5%.设第n年张张韵华的还款金额为an元，求出an的表达式，并说出数列{an}的特征.
解 因为每期所还本金为＝20 000（元），
因此，第n年以前已还本金总额为20 000（n-1）元，
从而有an＝20 000+［200 000-20 000（n-1）］×5%＝-1 000n+31 000　.
二、政府支出的“乘数”效应与数列
1. 政府支出
政府的财政支出（包括政府消费支出和政府投资支出）是一种与居民投资十分类似的高效能支出.政府在商品与服务上的一项采购，将会引发一系列的再支出.因此任何一届政府在选择经济政策时，究竟是采取扩张性政策还是紧缩性政策，在采取行动前必须知道实际的乘数究竟有多大，否则将会对国民经济造成极大的伤害.
2. “乘数”效应
“乘数”效应是一种宏观的经济效应，是指经济活动中某一变量的增减所引起的经济总量变化的连锁反应程度.财政政策乘数是研究财政收支变化对国民经济的影响，其中包括财政支出乘数、税收乘数和平衡预算乘数.


即时巩固
假设政府增加某项支出100亿元，每个受惠的居民会将80%的额外收入用于国内消费.求经过30轮影响之后，最后的国内消费总额（最初政府支出也算是国内消费，结果精确到1亿元）.
解 依题意可知，经过30轮影响之后，最后的国内消费总额为
100+100×80%+100×（80%）2+…+100×（80%）30＝≈500（亿元）.
三、数列的其他实际应用
数列的其他实际应用情境包括存款问题、投资利润问题、数学古代文化、水土资源、增长率问题等.解决这些与数列有关的实际应用题时，一定要理清各个量之间的关系，正确地将实际问题转化为数学模型，解题时首先要分清是何种数列，然后利用相应公式求项或求和.
即时巩固
有些食物中含有一定量的微量元素，当人体摄入微量元素之后，微量元素会随着尿液、汗液等部分排出.假设某人每天吃进某微量元素10 mg，该微量元素每天以10%的比率排出，则30天后在此人身体中积累了多少该微量元素？（设一开始某人体内该微量元素为0，计算结果精确到0.1 mg.）
解设第n天时此人体内有微量元素an mg，则：
第1天此人身体内的微量元素为a1＝10×（1-10%）（mg）；
第2天此人身体内的微量元素为a2＝（a1+10）（1-10%）＝10×（1-10%）+张韵10×（1-10%）2（mg）；
第3天此人身体内的微量元素为a3＝（a2+10）（1-10%）＝10×（1-10%）+10×（1-10%）2+10×（1-10%）3（mg）；
……
第30天此人身体内的微量元素为a30＝（a29+10）（1-10%）＝10×（1-10%）+10×（1-10%）2+…+10×（1-10%）30
　　　　　　　 ＝≈86.2（mg）.
即30天后在此人身体中积累了约86.2 mg的该微量元素.
典例剖析
例1某商店在2019年11月采用分期付款的方式促销一款价格为每台6 000元的电脑.商店规定，购买时先支付货款的 ，剩余部分从本月月底开始，按每月底等额本金还款的方式支付欠款，12个月还清.已知欠款的月利率为0.5%，那么2020年7月底货主还款　　　　元.
解析 　因为购买电脑时，货主欠商店的货款，即6 000× ＝4 000（元），
所以根据等额本金还款法，每月应还本金＝ （元）.
由于到2020年6月底货主交完还款后，货主还欠货款4 000- ×8＝ （元），
所以2020年7月底应还利息×0.5%＝ （元），
所以2020年7月底货主还款+ ＝ ＝340（元）.
答案 340

解题方法
数列实际应用题的解题步骤
（1）阅读理解材料，从中获取信息，并对材料作适当处理；
（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；
（3）讨论变量性质，挖掘题目条件，分清是等差数列还是等比数列，是求an还是Sn；
（4）利用有关公式列出方程或不等式，求出数值.
例2　已知数列{an}满足试猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
分析：先将数列{an}的递推关系2an+1anan+1＝1化为an+1＝（），通过计算的值，归纳共性并作出猜想，再应用数学归纳法证明猜想.
同理可得
归纳上述结果，猜想an＝（）. ①
下面用数学归纳法证明这个猜想.
解：由2+1-+1＝1，可得+1＝（）.
由，可得＝＝.
（1）当， ①式左边＝＝0，右边＝＝0，猜想成立.
（2）假设当时， ①式成立，即＝，
那么＝＝＝＝，
即当时，猜想也成立.
由（1）（2）可知，猜想对任何都成立.
类题通法
归纳—猜想—证明的环节
（1）“归纳—猜想—证明”的一般环节：
（2）“归纳—猜想—证明”的主要题型：
①已知数列的递推公式，求通项或前n项和.
②由恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值问题.
③给出一些简单的命题（n＝1，2，3，…），猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.
例3　用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式…>成立.
证明（1）当n＝2时，左边＝1+＝，右边＝，左边>右边，不等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥2且k∈N+）时不等式成立，
即…>.
那么，当n＝k+1时，
…>·＝＝>＝＝，
即当n＝k+1时不等式也成立.
由（1）和（2）知，对一切大于1的自然数n，不等式成立.
点评
证明不等式往往比证明恒等式难度更大，方法更灵活，除了综合法、作差比较法、分析法、反证法及放缩法外，数学归纳法也是常用的方法.在用数学归纳法证明第二步时，即已知f（k）>g（k）成立，求证f（k+1）>g（k+1）也成立时，应灵活运用上述证明不等式的一般方法.对于较简单的命题，其基本格式为f（k+1）＝f（k）+A（k）>g（k）+A（k）≥g（k+1）.
例4 用数学归纳法证明：n3+（n+1）3+（n+2）3能被9整除（n∈N+）.
证明：（1）当n＝1时，13+23+33＝36能被9整除，所以结论成立.
（2）假设当n＝k（k≥1，k∈N+）时命题成立，即k3+（k+1）3+（k+2）3能被9整除，则当n＝k+1时，
（k+1）3+（k+2）3+（k+3）3＝［k3+（k+1）3+（k+2）3］+［（k+3）3-k3］＝［k3+（k+1）3+（k+2）3］+9k2+27k+27
＝［k3+（k+1）3+（k+2）3］+9（k2+3k+3）.
因为k3+（k+1）3+（k+2）3能被9整除，9（k2+3k+3）能被9整除，
所以（k+1）3+（k+2）3+（k+3）3也能被9整除，即当n＝k+1时命题也成立.
由（1）（2）知对一切n∈N+，命题都成立.
解题技巧
用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证明的式子中拼凑出假设成立的式子，常采用增项、减项、拆项和因式分解等方法凑出n＝k时的情形，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是用数学归纳法证明整除问题的一大技巧.
随堂小测
1.用数学归纳法证明＝，则当，左端应在的基础上加上（ ）
A. B.
C. D.
C
2.对于不等式<某同学用数学归纳法证明的过程如下：
（1）当，<1+1，不等式成立.
（2）假设当时，不等式<成立，当时，＝<＝.
所以 当，不等式成立，则上述证法 （ ）
A.过程全部正确 B.验得不正确
C.假设不正确 D.从的推理不正确
D
3.　用数学归纳法证明：＝.①
分析：用数学归纳法证明时，第二步要证明的是一个以“当时，①式成立”为条件，得出“当，①式也成立”的命题，证明时必须用上上述条件.
证明：（1）当时， ①式的左边＝12＝1，
右边＝×1×（1+1）×（2×1+1）＝＝1，所以①式成立.
（2）假设当时， ①式成立，即
＝
在上式两边同时加上，有
＝
＝＝＝
＝即当， ①式也成立.
由（1）（2）可知， ①式对任何都成立.
4.数列{an}的前项和为，且满足
（1）求的值；
（2）猜想数列{}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.
解：（1）当时，∵ ＝，
又＝，同理＝，＝.
（2）猜想＝（）.下面用数学归纳法证明这个结论.
①当时，结论成立.
②假设时结论成立，即＝，
则当，
∴ ＝，∴ Sk+1＝＝＝＝，即当时结论成立.
由①②知＝对任意的正整数n都成立.
5.设为正实数，为大于1的正整数，若数列的前项和为，试比较的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
分析 该问题中涉及两个字母是正实数，是大于1的正整数.一种思路是不求和，而直接通过取特殊值比较的大小关系，并作出猜想；另一种思路是先由等比数列的求和公式求出，再通过取特殊值比较的大小关系后作出猜想.两种做法都必须用数学归纳法证明得到的猜想.
解法1：由已知可得
当，，可得；
当，，可得.
由此，我们猜想，当.
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当，由上述过程知，不等式成立.
（2）假设当时，不等式成立，即，
由，所以
于是Sk+1＝，
所以，当时，不等式也成立.
由（1）（2）可知，不等式对任何大于1的正整数都成立.
解法2：显然，所给数列是等比数列，公比为，于是
当时，＝＝
当时，＝＝
由此，我们猜想，当，且时，都有
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1），由上述过程知，不等式成立.
（2）假设当时，不等式成立，即，
由.
所以Sk+1＝
＝＝>
又，所以
所以，当时，不等式也成立.
由（1）（2）可知，不等式对任何大于1的正整数都成立.
课堂小结
归纳奠基：证明当时命题成立；
归纳递推：以“当时命题成立”为条件，
推出“当时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立，这种
证明方法称为数学归纳法.
课堂小结
知识清单：
数学归纳法概念及原理；数学归纳法的拓展与应用.
方法归纳：归纳奠基与归纳递推
常见误区：用数学归纳法证明时，从n＝k（k≥n0， 且k∈N+）到n＝k+1时因弄错增加的项而出错
谢 谢！