高中数学选择性必修第三册RJ·B--5.5 数学归纳法 课件（共28张PPT）

第五章
5.5
数学归纳法
学习目标
1.了解数学归纳法原理及适用范围
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
3.明确数列问题解决的重要方法——“归纳——猜想——证明”.
核心素养：逻辑推理、数学运算
新知学习
在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等差数列{an}的通项公式an＝????1+（?????1）????等，但并没有给出严格的数学证明.那么，对于这类与正整数????有关的命题，我们怎样证明它对每一个正整数n都成立呢？
本节我们就来介绍一种重要的证明方法——数学归纳法.
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探究：已知数列{an}满足????1＝1，an+1＝12?????????（????∈?????），计算 ????2，????3，????4，猜想其通项公式，并证明你的猜想.
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计算可得????2＝1，????3＝1，????4＝1.再结合????1＝1，由此猜想：an＝1（????∈?????）.
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如何证明这个猜想呢？
我们自然会想到从????＝5开始一个个往下验证.一般来说，与正整数????有关的命题，当????比较小时可以逐个验证，但当????较大时，验证起来会很麻烦.特别是证明????取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的.因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法.
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通过有限个步骤的推理，证明????取所有正整数时命题都成立.
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我们先从多米诺骨牌游戏说起.码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下.这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；…….总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下.
思考:在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
可以看出，使所有骨牌都能倒下的条件有两个：
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
思考：你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言描述它？
条件（2）实际上是给出了一个递推关系：第????块骨牌倒下?第????+1块骨牌倒下.
这样，只要第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下.
事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.
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思考:你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是an＝1（????∈?????）”与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
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显然，如果能得到一个类似于“第????块骨牌倒下?第????+1块骨牌倒下”的递推关系，那么猜想的正确性也就得到证明了.为此，我们先回顾一下猜想的获得过程：
这里????是任意的，所有能使猜想成立的正整数都可以作为????，并且这样的????也是存在的，因为数“1”就是一个例子.
由????1＝1，利用递推关系，推出????2＝1；
由????2＝1，利用递推关系，推出????3＝1；
由????3＝1，利用递推关系，推出????4＝1；
……
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我们发现，上述过程蕴含着一个与多米诺骨牌游戏的条件（2）类似的递推结构：
以????????＝1成立为条件，推出????????+1＝1也成立.
它相当于命题：当????＝????时猜想成立，则????＝????+1时猜想也成立.
只要能够证明这个命题，我们就可以在????1＝1的条件下，由这个命题得到：对任意正整数????，an＝1成立.
事实上，如果????＝????时猜想成立，即????????＝1，那么
????????+1＝?12?????????＝12?1＝1，即当????＝????+1时，猜想也成立.
这样，对于猜想“an＝1”，由????＝1成立，就有????＝2成立；由????＝2成立，就有????＝3
成立；…….所以，对于任意正整数????，猜想都成立，即数列{an}的通项公式是an＝1（????∈?????）.
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思考:归纳上述过程的共性，你能得出推理的一般结构吗？
新知讲解
数学归纳法原理
一般地，证明一个与自然数有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）当????＝????0（????0∈?????）时命题成立；
（2）（归纳递推）在假设????＝????（????∈?????，????≥????0）时命题成立的前提下，
能够推出当????＝????+1时命题也成立.
那么，这个命题对大于等于????0的所有自然数都成立.
这种证明方法称为数学归纳法.
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记????（????）是一个关于正整数????的命题.我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：（1）????（????0）为真；（2）若????（????）（????∈?????，????≥????0）为真，则????（????+1）也为真.
结论：????（????）为真.
在数学归纳法的两步中，第一步验证（或证明）了当????＝????0时结论成立，即命题????（????0）为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：
若????（????）为真，则????（????+1）也为真.
完成这两步，就有????（????0）真，????（????0+1）真……????（????）真，????（????+1）真…….从而完成证明.
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思考:数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
对于理解数学归纳法要注意以下四点：
（1）验证是基础
数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数????0，这个????0就是我们要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是我们正确运用数学归纳法第一个要注意的问题.
（2）递推是关键
数学归纳法的关键在于递推，所以从“????”到“????+1”的过程，必须把归纳假设“????＝????”时的结论作为条件来导出“????＝????+1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次.另外，要注意????＝????和????＝????+1时命题的变化特点，只有看清变化特点，才能迅速应用????＝????时的假设证明出????＝????+1时命题的正确性.递推证明是数学归纳法证明中的一个难点，也是一个易错点.
（3）数学归纳法两步缺一不可，只有这两步交替使用，才能证明命题的正确性.
（4）数学归纳法是一种直接证明的方法，一般地，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除、数列的通项及前????项和等问题都可以用数学归纳法证明.但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决.
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典例剖析
例1　用数学归纳法证明：如果{an}是一个公差为d的等差数列，那么an＝????1+（?????1）????①
对任何????∈?????都成立.
分析：因为等差数列的通项公式涉及全体正整数，所以用数学归纳法证明的第一步应证明????＝1时命题成立.第二步要明确证明的目标，即要证明一个新命题：如果当????＝????时①式是正确的，那么当????＝????+1时①式也是正确的.
证明：（1）当????＝1时，左边＝????1，右边＝????1+0×????＝????1，①式成立.
（2）假设当????＝????（????∈?????）时，①式成立，即????????＝????1+（?????1）????，
根据等差数列的定义，有????????+1?????????＝????，
于是????????+1＝????????+????＝????1+?????1????+????
＝????1+?????1+1????
＝????1+［（????+1）?1］????，
即当????＝????+1时，①式也成立.
由（1）（2）可知，①式对任何????∈?????都成立.
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在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，并把“证明的目标”牢记在心.
　
点评
利用数学归纳法证明与正整数有关的一些恒等式问题时，关键是看清等式两边的项，弄清等式两边项的构成规律，另外就是如何利用n＝k时的假设，恒等式证明的一个重要技巧就是两边“凑”.
等式两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k+1时，等式左边会增加多少项，弄清这些是解决恒等式证明问题的关键.

例2　已知数列{an}满足????1＝0，2????????+1???????????????????+1=1（????∈?????），试猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
分析：先将数列{an}的递推关系2an+1?anan+1＝1化为an+1＝12?????????（????∈?????），通过计算????2，????3，????4，????5的值，归纳共性并作出猜想，再应用数学归纳法证明猜想.
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同理可得
归纳上述结果，猜想an＝?????1????（????∈?????）. ①
下面用数学归纳法证明这个猜想.
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解：由2????????+1-????????????????+1＝1，可得????????+1＝12?????????（????∈?????）.
由????1＝0，可得????2＝12?0＝12.
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（1）当????＝1时， ①式左边＝????1＝0，右边＝1?11＝0，猜想成立.
（2）假设当????＝????（????∈?????）时， ①式成立，即????????＝?????1????，
那么????????+1＝12?????????＝12??????1????＝????????+1＝????+1?1????+1，
即当????＝????+1时，猜想也成立.
由（1）（2）可知，猜想对任何????∈?????都成立.
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类题通法
归纳—猜想—证明的环节
（1）“归纳—猜想—证明”的一般环节：
（2）“归纳—猜想—证明”的主要题型：
①已知数列的递推公式，求通项或前n项和.
②由恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值问题.
③给出一些简单的命题（n＝1，2，3，…），猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.

例3　用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式1+131+15…1+12?????1>?2????+12成立.
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证明（1）当n＝2时，左边＝1+13＝43，右边＝52，左边>右边，不等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥2且k∈N+）时不等式成立，
即1+131+15…1+12?????1>?2????+12.
那么，当n＝k+1时，
1+131+15…1+12?????11+12????+1?1>?2????+12·2????+22????+1＝2????+222????+1＝4????2+8????+422????+1>4????2+8????+322????+1＝2????+32????+122????+1＝2????+1+12，
即当n＝k+1时不等式也成立.
由（1）和（2）知，对一切大于1的自然数n，不等式成立.
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点评
证明不等式往往比证明恒等式难度更大，方法更灵活，除了综合法、作差比较法、分析法、反证法及放缩法外，数学归纳法也是常用的方法.在用数学归纳法证明第二步时，即已知f（k）>g（k）成立，求证f（k+1）>g（k+1）也成立时，应灵活运用上述证明不等式的一般方法.对于较简单的命题，其基本格式为f（k+1）＝f（k）+A（k）>g（k）+A（k）≥g（k+1）.

例4 用数学归纳法证明：n3+（n+1）3+（n+2）3能被9整除（n∈N+）.
证明：（1）当n＝1时，13+23+33＝36能被9整除，所以结论成立.
（2）假设当n＝k（k≥1，k∈N+）时命题成立，即k3+（k+1）3+（k+2）3能被9整除，则当n＝k+1时，
（k+1）3+（k+2）3+（k+3）3＝［k3+（k+1）3+（k+2）3］+［（k+3）3-k3］＝［k3+（k+1）3+（k+2）3］+9k2+27k+27
＝［k3+（k+1）3+（k+2）3］+9（k2+3k+3）.
因为k3+（k+1）3+（k+2）3能被9整除，9（k2+3k+3）能被9整除，
所以（k+1）3+（k+2）3+（k+3）3也能被9整除，即当n＝k+1时命题也成立.
由（1）（2）知对一切n∈N+，命题都成立.

解题技巧
用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证明的式子中拼凑出假设成立的式子，常采用增项、减项、拆项和因式分解等方法凑出n＝k时的情形，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是用数学归纳法证明整除问题的一大技巧.
随堂小测
1.用数学归纳法证明1+2+3+…+????2＝????4+????22，则当????＝????+1时，左端应在????＝????的基础上加上（??）
A.????2+1 B.（????+1）2
C.（????2+1）+（????2+2）+…+（????+1）2 D.?(????+1)4+(????+1)22
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C
2.对于不等式????2+???? （1）当????＝1时，12+1<1+1，不等式成立.
（2）假设当????＝????（????∈?????）时，不等式????2+???? 所以 当????＝????+1时，不等式成立，则上述证法 （??）
A.过程全部正确 B.????＝1验得不正确
C.????＝????假设不正确 D.从????＝????到????＝????+1的推理不正确
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D
3.　用数学归纳法证明：12+22+…+????2＝16????（????+1）（2????+1）（????∈?????）.①
分析：用数学归纳法证明时，第二步要证明的是一个以“当????＝????时，①式成立”为条件，得出“当????＝????+1时，①式也成立”的命题，证明时必须用上上述条件.
证明：（1）当????＝1时， ①式的左边＝12＝1，
右边＝16×1×（1+1）×（2×1+1）＝1×2×36＝1，所以①式成立.
（2）假设当????＝????（????∈?????）时， ①式成立，即
12+22+…+????2＝16????（????+1）（2????+1），
在上式两边同时加上（????+1）2，有
???12+22+…+????2+（????+1）2＝16????（????+1）（2????+1）+（????+1）2
＝????????+12????+1+6????+126＝????+12????2+7????+66＝????+1????+2(2????+3)6
?＝16（????+1）［（????+1）+1］［2（????+1）+1］，即当????＝????+1时， ①式也成立.
由（1）（2）可知， ①式对任何????∈?????都成立.
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4.数列{an}的前????项和为????????，且满足????????＝????????+1?????????2（????∈?????）.
（1）求????1，????2，????3，????4的值；
（2）猜想数列{????????}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.
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解：（1）当????＝1时，∵ ????1＝????1＝????1+1????1?2，∴?????1＝12，
又????2＝????2?????1＝????2+1????2?2，∴?????2＝23，同理????3＝34，????4＝45.
（2）猜想????????＝????????+1（????∈?????）.下面用数学归纳法证明这个结论.
①当????＝1时，结论成立.
②假设????＝????（????∈?????，????≥1）时结论成立，即????????＝????????+1，
则当????＝????+1时，????????+1＝????????+1?????????＝????????+1+1????????+1?2，
∴ 1????????+1＝2?????????，∴ Sk+1＝12?????????＝12?????????+1＝????+1????+2＝????+1(????+1)+1，即当????＝????+1时结论成立.
由①②知????????＝????????+1对任意的正整数n都成立.
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5.设????为正实数，????为大于1的正整数，若数列1，1+????，（1+????）2，…，1+?????????1，…的前????项和为????????，试比较????????与????的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
分析 该问题中涉及两个字母????和????，????是正实数，????是大于1的正整数.一种思路是不求和，而直接通过????取特殊值比较????????与????的大小关系，并作出猜想；另一种思路是先由等比数列的求和公式求出????????，再通过????取特殊值比较????????与????的大小关系后作出猜想.两种做法都必须用数学归纳法证明得到的猜想.
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解法1：由已知可得????????＝1+（1+????）+（1+????）2+…+1+?????????1.
当????＝2时，????2＝1+（1+????）＝2+????，由????>0，可得????2>2；
当????＝3时，????3＝1+（1+????）+（1+????）2＝3+3????+????2，由????>0，可得????3>3.
由此，我们猜想，当????>0，????∈?????且????>1时，????????>????.
下面用数学归纳法证明这个猜想.
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（1）当????＝2时，由上述过程知，不等式成立.
（2）假设当????＝????（????∈?????，且????≥2）时，不等式成立，即????????>????，
由????>0，可得1+????>1，所以（1+????）????>1.
于是Sk+1＝????????+（1+????）?????>????+（1+????）????>????+1，
所以，当????＝????+1时，不等式也成立.
由（1）（2）可知，不等式????????>????对任何大于1的正整数????都成立.
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解法2：显然，所给数列是等比数列，公比为1+????，于是

????????＝1+（1+????）+（1+????）2+…+1+?????????1
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当????＝2时，????2＝1+x2?1x＝????+2，由????>0，可得????2>2；
当????＝3时，????3＝1+x3?1x＝????2+3????+3，由????>0，可得????3>3.
由此，我们猜想，当????>0，????∈?????，且????>1时，都有????????>????.
下面用数学归纳法证明这个猜想.
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（1）当????＝2时，由上述过程知，不等式成立.
（2）假设当????＝????（????∈?????，且????≥2）时，不等式????????>????成立，即1+?????????1????>????，
由????>0，知（1+????）????>????????+1.
所以Sk+1＝1+（1+????）+（1+????）2+…+（1+????）????
??????＝1+????????+1?1????＝1+????????(1+????)?1????>(????????+1)(1+????)?1????＝????????+????+1.
又????>0，所以????????+1>????+1.
所以，当????＝????+1时，不等式也成立.
由（1）（2）可知，不等式????????>????对任何大于1的正整数????都成立.
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课堂小结
归纳奠基：证明当????＝????0（????0∈?????）时命题成立；
归纳递推：以“当????＝????（????∈?????，????≥????0）时命题成立”为条件，
推出“当????＝????+1时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从????0开始的所有正整数????都成立，这种
证明方法称为数学归纳法.
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课堂小结
知识清单：
数学归纳法概念及原理；数学归纳法的拓展与应用.
方法归纳：归纳奠基与归纳递推
常见误区：用数学归纳法证明时，从n＝k（k≥n0， 且k∈N+）到n＝k+1时因弄错增加的项而出错
谢 谢！