高中数学选择性必修第三册RJ·B--6.1 导数-6.1.1 函数的平均变化率 课件（共18张PPT）

第六章
6.1
导数
6.1.1 函数的平均变化率
学习目标
核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算
1.理解函数平均变化率的概念，会用对应的符号语言刻画函数的平均变化率；了解函数平均变化率的几何意义.
2.会求函数的平均变化率；理解函数平均变化率的模型.
3.理解符号“????????????????”的含义.
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新知学习
情境与问题
药物在动物体内的含量随时间变化的规律，是药学与数学之间的边缘学科——药物动力学的研究内容，相关的规律是确定药物的使用量和用药时间间隔的依据.他克莫司是一种新型免疫抑制剂，在器官移植临床中的应用非常广泛.已知某病人服用他克莫司t h后血药浓度w μg/L的一些对应数据如下表所示.
（1）当t∈［0.5，1］和t∈［1，1.5］时，w都是增加的，哪个时间段w的增加更快？
（2）当t∈［3，5］时，平均每小时w的变化量为多少？这里的平均每小时的变化量有什么实际意义？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}t
0
0.5
1
1.5
2
3
5
8
w
0
6.6
28.6
39.1
31
22.7
8.8
8.3
提示解读
由所给数据不难看出，当t∈［0.5，1］和t∈［1，1.5］时，w的增加量分别为
28.6-6.6＝22，39.1-28.6＝10.5，
因为时间间隔都是0.5 h，所以t∈［0.5，1］时，w增加更快.
当t∈［3，5］时，w的变化量为
8.8-22.7＝-13.9　，
又因为共有5-3＝2（h），所以平均每小时的变化量为?13.92＝-6.95.这说明，在［3，5］这段时间内，任意1个小时血药浓度平均减少6.95 μg/L，此时，任意h（h∈［0，2］）个小时血药浓度平均减少6.95 h μg/L.
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总结归纳：函数的平均变化率
1.定义
一般地，若函数y＝f（x）的定义域为D，且
x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f（x1），y2＝f（x2），
则称Δx＝x2-x1为自变量的改变量；
称Δy＝y2-y1（或Δf＝f（x2）-f（x1））为相应的因变量的改变量；
称????????????????＝????2?????1????2?????1或????????????????=????????2?????????1????2?????1 为函数y＝f（x）在以x1，x2为端点的闭区间上的平均变化率，
其中“以x1，x2为端点的闭区间”，在x1x2时指的是［x2，x1］.
2.意义
平均变化率的实际意义是，在以x1，x2为端点的闭区间上，自变量每增加1个单位，因变量平均将增加????????????????个单位.因此，如果自变量增加h个单位，那么因变量将增加????????????????h个单位.
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注意与提醒
（1）上述Δx在x1x2时是小于0的，而且x2总可以用x1和Δx表示，即x2＝x1+Δx，此时“以x1，x2为端点的闭区间”也可表述为“以x1，x1+Δx为端点的闭区间”，而且
f（x2）＝f（x1+Δx），因此平均变化率
????????????????＝????????1+?????????????????1????1+?????????????1＝????????1+?????????????????1????????.
（2）函数在x＝x0处有定义.
（3）x1是x0附近的任意一点，所以Δx＝x1-x0≠0，但Δx可为正值，也可为负值.
（4）改变量的对应：若Δx＝x1-x0，则Δf＝f（x1）-f（x0），而不是Δf＝f（x0）-f（x1）.
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3.图形表示
函数在一个区间内的平均变化率，等于这个区间端点对应的函数图像上两点连线的斜率.例如，图中函数y＝f（x）在［x1，x2］上的平均变化率，等于直线AB的斜率，其中
A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））.
因此，平均变化率近似地刻画了函数对应的曲线（即函数图像）在某一区间上的变化趋势，是曲线倾斜程度的“数量化”，曲线的倾斜程度是平均变化率的“直观化”.
注意
（1）函数在x0到x0+Δx的平均变化率的几何意义是曲线y＝f（x）过点（x0，f（x0）），（x0+Δx，f（x0+Δx））的割线的斜率，平均变化率刻画了函数f（x）的图像在x0附近的
陡峭程度，其绝对值越大，图像越陡，反之越平缓.
（2）平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“直观化”.利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”.
只有当Δx无限变小时，这种量化才由“粗糙”逼近“精确”.
求函数f（x）＝x2在下列区间上的平均变化率.
（1）［1，3］；
（2）以1和1+Δx为端点的闭区间.
即时巩固
解 （1）依定义可知
????????????????＝????3?????13?1＝32?122＝4，
即f（x）在［1，3］上的平均变化率为4.
（2）依定义可知
????????????????＝????1+?????????????1????????＝1+????????2?12????????＝2+Δx，
f（x）在以1和1+Δx为端点的闭区间上的平均变化率为 2+Δx　.
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4.以直代曲
将图中的线段AB近似地看成w在［3，5］上的图像.
用直线段代替了曲线段，这在数学中简称为“以直代曲”.
5.平均速度与平均变化率
从物理学中我们知道，平均速度可以刻画物体在一段时间内运动的快慢.如果物体运动的位移
x m与时间t s的关系为x＝h（t），则物体在［t1，t2］（t1?????2??????1????2?????1（m/s）.
这就是说，物体在某段时间内的平均速度等于x＝h（t）在该段时间内的平均变化率.
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已知某物体运动的位移x m是时间t s的函数，而且t＝0.1时，x＝0.25；t＝0.5时，x＝2.25.
（1）求这个物体在时间段［0.1，0.5］内的平均速度；
（2）估计出t＝0.2时物体的位移.
解 （1）所求平均速度为2.25?0.250.5?0.1＝20.4＝5（m/s）.
（2）将x在［0.1，0.5］上的图像看成直线，则由（1）可知，直线的斜率为5，
且直线通过点（0.1，0.25），因此，x与t的关系可近似地表示为x-0.25＝5（t-0.1）.
在上式中令t＝0.2，可求得x＝0.75，即t＝0.2时物体的位移可以估计为0.75 m.
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即时巩固
典例剖析
例1 已知函数f（x）＝2x2+3x-5.
（1）求当x1＝4，且Δx＝1时，函数增量Δf和平均变化率????????????????；
（2）求当x1＝4，且Δx＝0.1时，函数增量Δf和平均变化率????????????????；
（3）若设x2＝x1+Δx，分析（1）（2）中的平均变化率的几何意义.
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解：∵ f（x）＝2x2+3x-5，
∴ Δf＝f（x1+Δx）-f（x1）＝2（x1+Δx）2+3（x1+Δx）-5-（2????12+3x1-5）
＝2［（Δx）2+2x1Δx］+3Δx＝2（Δx）2+（4x1+3）Δx.
（1）当x1＝4，且Δx＝1时，Δf＝2+（4×4+3）＝21，????????????????＝211＝21.
（2）当x1＝4，且Δx＝0.1时，Δf＝2×0.12+（4×4+3）×0.1＝0.02+1.9＝1.92.
????????????????＝1.920.1＝19.2.
（3）在（1）中，????????????????＝????????2?????????1????2?????1＝????5?????45?4，它表示过抛物线上的点（4，39）
与点（5，60）的直线的斜率.
在（2）中，????????????????＝????????2?????????1????2?????1＝????4.1?????44.1?4，它表示过抛物线上的点（4，39）与
点（4.1，40.92）的直线的斜率.
点评：求函数的平均变化率时要准确计算出函数在（x1，f（x1））处的函数值增量
Δf＝ f（x1+Δx）-f（x1），这是解题的关键.
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解：∵ f（x）＝2x2+3x-5，
∴ Δf＝f（x1+Δx）-f（x1）＝2（x1+Δx）2+3（x1+Δx）-5-（2????12+3x1-5）
＝2［（Δx）2+2x1Δx］+3Δx＝2（Δx）2+（4x1+3）Δx.
（1）当x1＝4，且Δx＝1时，Δf＝2+（4×4+3）＝21，????????????????＝211＝21.
（2）当x1＝4，且Δx＝0.1时，Δf＝2×0.12+（4×4+3）×0.1＝0.02+1.9＝1.92.
????????????????＝1.920.1＝19.2.
（3）在（1）中，????????????????＝????????2?????????1????2?????1＝????5?????45?4，它表示过抛物线上的点（4，39）
与点（5，60）的直线的斜率.
在（2）中，????????????????＝????????2?????????1????2?????1＝????4.1?????44.1?4，它表示过抛物线上的点（4，39）与
点（4.1，40.92）的直线的斜率.
点评：求函数的平均变化率时要准确计算出函数在（x1，f（x1））处的函数值增量
Δf＝ f（x1+Δx）-f（x1），这是解题的关键.
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例2 汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示，在时间段
［0，t1］，［t1，t2］，［t2，t3］上的平均速度分别为v1，v2，v3，
三者的大小关系为　　　　.
解析 由题意，可得v1＝????????1?????0????1?0＝kOA，v2＝????????2?????????1????2?????1＝kAB，v3＝????????3?????????2????3?????2＝kBC.
由题图可得kBC>kAB>kOA，所以v3>v2>v1.
答案 v3>v2>v1
点评 本题主要考查了函数平均变化率的应用，其中由平均变化率的意义，求得v1，v2，v3的表达式，利用直线的斜率作出比较是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解决问题的能力，以及推理能力.
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例3已知函数f（x）＝2????在区间［1，t］上的平均变化率为-23，则t＝　　　　.
解析 ∵ 函数y＝2????在区间［1，t］上的平均变化率为-2????，∴ -2????＝?23，解得t＝3.
答案 3
点评 此题先计算出函数y＝2????在区间［1，t］上的平均变化率为-2????，再由平均变化率为?23，得出结果.
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课堂小结
知识清单：
平均变化率；平均变化率的意义；平均变化率的求法.
方法归纳：平均变化率的求法：作差求自变量的增量→作差求函数值的增量→作商求平均变化率
常见误区：容易误解函数值的该变量，要区分好Δx与Δy.
谢 谢！