高中数学选择性必修第三册RJ·B--6.1 导数-6.1.2 导数及其几何意义 课件（共36张PPT）

第六章
6.1
导数
6.1.2 导数及其几何意义
学习目标
1.了解瞬时速度的概念，了解导数的实际背景，理解导数的概念，体会导数的思想及其内涵.
2.会应用定义求简单函数的导数.
3.掌握导数的几何意义，会求曲线的切线方程.
4.掌握导数几何意义的简单应用.
核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算
新知学习
在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多.进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题.
新知学习
在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多.进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题.
问题探究
直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快.我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度????近似地描述他的运动状态.
例如，在0≤????≤0.5这段时间里，????＝?0.5??(0)0.5?0＝2.35（m/s）；
在1≤t≤2这段时间里，????＝?2??(1)2?1＝?9.9（m/s）.
一般地，在????1≤????≤????2这段时间里，
????＝?????2??(????1)????2?????1＝?4.9（????1+????2）+4.8.
?
在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度?（单位：m）
与起跳后的时间????（单位：s）存在函数关系?（????）＝?4.9????2+4.8????+11.
如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？
?
思考：计算运动员在0≤????≤4849这段时间里的平均速度，你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
?
我们发现，运动员在0≤????≤4849这段时间里的平均速度为0.显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态.因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.
?
为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
探究:瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在????＝1?????时的瞬时速度吗？
?
设运动员在????0时刻附近某一时间段内的平均速度是????，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么????将越来越趋近于运动员在????0时刻的瞬时速度.
为了求运动员在????＝1时的瞬时速度，我们在????＝1之后或之前，任意取一个时刻1+Δ????，Δ????是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当Δ????>0时，1+Δ????在1之后；当Δ????<0时，1+Δ????在1之前.当Δ????>0时，把运动员在时间段［1，1+Δ????］内近似看成做匀速直线运动，计算时间段［1，1+Δ????］内的平均速度????，用平均速度????近似表示运动员在????＝1时的瞬时速度.当Δ????<0时，在时间段［1+Δ????，1］内可作类似处理.为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格
?
当Δ????<0时，在时间段［1+Δ????，1］内
当Δ????>0时，在时间段［1，1+Δ????］内
Δ????
?
Δ????
?
?0.01
?4.951
0.01
?5.049
?0.001
?4.995?1
0.001
?5.004?9
?0.000?1
?4.999?51
0.000?1
?5.000?49
?0.000?01
?4.999?951
0.000?01
?5.000?049
?0.000?001
?4.999?995?1
0.000?001
?5.000?004?9
……
……
?
?
……
……
给出Δ????更多的值，我们可以利用计算工具计算对应的平均速度????的值，可以发现当Δ????无限趋近于0，即无论????从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度????都无限趋近于?5.
?
当Δ????无限趋近于0时，?4.9Δ????也无限趋近于0，所以????无限趋近于?5.这与前面得到的结论一致.
?
事实上，由 可以发现，
数学中，我们把?5叫做“当Δ????无限趋近于0时， 的极限”，记为
?
从物理的角度看，当时间间隔|Δ????|无限趋近于0时，平均速度????就无限趋近于????＝1时的瞬时速度.因此，运动员在????＝1s?时的瞬时速度????（1）＝?5?m/s.
?
或当Δ????→0时，
?
1.定义
一般地，设函数y＝f（x）在x0附近①有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率????????????????＝????????????+?????????????????????????????无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率.
此时，也称f（x）在x0处可导，并称k为f（x）在x＝x0处的导数，记作f ′（x0）＝k.
为了简单起见，“当Δx无限接近于0时，????????0+?????????????????0????????无限接近于常数k”也常用符号“→”（读作“趋向于”）表示为
当Δx→0时，????????0+?????????????????0????????→k，或者写成lim????????→0????????0+?????????????????0????????＝k，
即
f ′（x0）＝lim????????→0????????0+?????????????????0????????.????
?
总结归纳：瞬时变化率与导数
2.瞬时变化率的意义
由f ′（x0）＝lim????????→0????????0+?????????????????0????????.?式还可以看出，当Δx很小时，f ′（x0）≈????????0+?????????????????0????????，从而
f（x0+Δx）-f（x0）≈f ′（x0）Δx.
由此能得到瞬时变化率f ′（x0）的实际意义：当自变量在x＝x0处的改变量Δx很小时，因变量对应的改变量的近似值为f ′（x0）Δx.
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注意事项
（1）平均变化率反映的是函数在某一区间的性质，而瞬时变化率反映的是函数在某一个点的性质.
（2）平均变化率随Δx的变化而变化，瞬时变化率是一个常量，它不随Δx的变化而变化.
归纳提升
（1）函数f（x）在x＝x0处有导数，也说f（x）在x＝x0处可导，f（x）在x＝x0处可导必须满足f（x）在x0及其附近有定义.
（2）f（x）在x0处可导，指Δx→0时，????????????????→k（常数）.
（3）由导数的定义知求函数y＝f（x）在点x0处的导数的步骤：
①求函数值的增量Δf＝f（x0+Δx）-f（x0）；
②求平均变化率????????????????＝????????0+?????????????????0????????；
③取极限，得导数f ′（x0）＝lim????????→0????????????????(或当Δx→0时，????????????????→f ′（x0）).
（4）函数f（x）在x＝x0处的导数定义的等价形式：函数f（x）在x＝x0处的导数定义的结构形式为f ′（x0）＝lim????????→0????????0+?????????????????0????????.现在令x＝x0+Δx，则x-x0＝Δx，当Δx→0时，x-x0→0，即x→x0，因此，函数f（x）在x＝x0处的导数可表示为f ′（x0）＝lim????????→0?????????????????0?????????0.
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1.已知函数f（x）＝-x2，求f（x）在x＝3处的导数f ′（3）.
解 当自变量在x＝3处的改变量为Δx时，平均变化率
????????????????＝????3+?????????????3????????＝?3+????????2??32????????＝-6-Δx.
可以看出，当Δx无限接近于0时，????????????????无限接近于-6，因此
f ′（3）＝lim????????→0????3+?????????????3????????＝lim????????→0（-6-Δx）＝-6.
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即时巩固
2.在生产过程中，产品的总成本C一般来说是产量Q的函数，记作C＝f（Q），称为总成本函数.为了方便起见，经济学家一般假设Q能在某一区间内连续地取值，并将总成本函数在Q0处的导数f ′（Q0）称为在Q0处的边际成本，用MC（Q0）表示，即MC（Q0）＝f ′（Q0）.
已知某产品的总成本函数为C＝Q2，求边际成本MC（300），并说明其实际意义.
解 设Q＝300时产量的改变量为ΔQ，则
????????????????＝300+????????2?3002????????＝600+ΔQ　.
令ΔQ→0，可得MC（300）＝600　.
因此，产量为300时的边际成本为600.其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加600.
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即时巩固
尝试与发现
已知函数f（x）＝x2+x，设自变量在x＝0处的改变量为Δx.
（1）依照定义求出f ′（0）；
（2）设M（0+Δx，f（0+Δx））为函数图像上一点，探讨Δx无限接近于0时，直线OM具有什么样的性质.
提示
平均变化率????????????????＝????0+?????????????0????????＝0+????????2+0+?????????02+0????????＝1+Δx.
可以看出，当Δx无限接近于0时，????????????????无限接近于1，因此
f ′（0）＝lim????????→0????0+?????????????0????????＝lim????????→0（1+Δx）＝1.
?
观察 : 如图，当点????,????,????,????对应的Δ????趋近0时，直线OA,OB,OC,OD的斜率有什么变化趋势？
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我们发现，点A，B对应的Δx都小于0，而且B对应的Δx更加接近于0，这也就是说，直线OA，OB的斜率都小于1，且OB的斜率更接近于1；类似地，点C，D对应的Δx都大于0，而且C对应的Δx更加接近于0，直线OC，OD的斜率都大于1，且OC的斜率更接近于1.趋近为同一条直线l.
这个确定位置的直线l为抛物线在点????处的切线.
?
总结归纳
1.如图所示，设S是平面上的一条曲线，P0是曲线S上的一个定点，P是曲线S
上P0附近的点，则称直线PP0为曲线S的割线，如果P无限接近于P0时，割线
PP0无限接近于通过P0的一条直线l，则称直线l为曲线S在点P0处的切线.
2.依照切线的定义可知，如果将函数y＝f（x）的图像看成曲线（称为曲线y＝f（x），下同），而且曲线在点A（x0，f（x0））处的切线为l，则Δx很小时，B（x0+Δx，f（x0+Δx））是A附近的一点，割线AB的斜率是
????????????????＝????????0+?????????????????0????????，
则当Δx无限接近于0时，割线的斜率将无限趋近于切线l的斜率.
?
思考
以前初中学过的曲线在某点处切线的定义是什么？与此处切线的定义有什么不同？
提示：初中我们学习过圆的切线：直线和圆有唯一的公共点时，称直线和圆相切，唯一的公共点叫做切点，直线叫做圆的切线.但因为圆是一种特殊的曲线，所以圆的切线定义不适用于一般的曲线.如图中的曲线C，直线l1与曲线C有唯一的公共点M，但l1不是曲线C的切线；l2虽然与曲线C有不止一个公共点，但l2是曲线C在点N处的切线.
导数的几何意义
f ′（x0）就是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处（也称在x＝x0处）的切线的斜率，从而根据直线的点斜式方程可知，切线的方程是
y-f（x0）＝f ′（x0）（x-x0）.
总结
（1）若函数y＝f（x）在点x0处可导，则其图像在该点处必有切线，其切点为（x0，f（x0）），斜率为f ′（x0），切线方程为y-f（x0）＝f ′（x0）（x-x0）.
（2）曲线f（x）在点（x0，f（x0））处有切线，但函数f（x）在该点处不一定可导，如f（x）＝????在x＝0处有切线，但在x＝0处不可导.
（3）若曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的导数不存在，但曲线在该点处有切线，则切线与x轴垂直.
（4）显然f ′（x0）>0，切线的倾斜角为锐角；f ′（x0）<0，切线的倾斜角为钝角；f ′（x0）＝0，切线与x轴平行.
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求抛物线????（????）＝????2+3?????2在点（1，2）处的切线方程.
?
解： 抛物线????（????）＝????2+3?????2在点（1，2）处的切线斜率
?
所以，抛物线????（????）＝????2+3?????2在点（1，2）处的切线方程为
?????2=5(?????1)，即5??????????3=0.
?
即时巩固
以“以直代曲”从几何上理解瞬时变化率
如果函数y＝f（x）在x0处的导数为f ′（x0），且在x0处自变量的改变量为Δx，对应的函数值改变量为
Δy＝f（x0+Δx）-f（x0），则f（x0+Δx）＝f（x0）+Δy.
如图所示，此时曲线y＝f（x）在x0处的切线l的斜率为f ′（x0），
因此AC＝Δx，CD＝f ′（x0）Δx.
又因为BC＝Δy，可以看出，当Δx很小时，Δy可用 f ′（x0）Δx来近似表示，
即Δy≈f ′（x0）Δx，
因此f（x0+Δx）≈f（x0）+f ′（x0）Δx.
这就说明，在x＝x0的附近，自变量的改变量Δx很小时，因变量改变量的近似值为 f ′（x0）Δx，这与前面所说的瞬时变化率的实际意义是相同的.此时，也就能用f（x0），f ′（x0）和Δx的值来得到f（x0+Δx）的近似值，而且Δx越小，近似效果越好.这种求近似值的方法，本质上是用x＝x0处的切线代替了x＝x0附近的曲线y＝f（x），因此也是使用了“以直代曲”的方法.
典例剖析
例1　已知质点M做直线运动，且位移s（单位：cm）随时间t（单位：s）变化的函数为s＝2t2+3.
（1）当t＝2，Δt＝0.01时，求????????????????；
（2）当t＝2，Δt＝0.001时，求????????????????；
（3）求质点M在t＝2时的瞬时速度.
?
解题提示 Δs即位移的改变量，Δt即时间的改变量，????????????????即平均速度；Δt越小，求出的????????????????越接近某时刻的瞬时速度.
解 ???????????????????????＝????????+?????????????????????????＝2????+????????2+3?2????2+3????????＝4t+2Δt.
（1）当t＝2，Δt＝0.01时，????????????????＝4×2+2×0.01＝8.02.
（2）当t＝2，Δt＝0.001时，????????????????＝4×2+2×0.001＝8.002.
（3）当t＝2时，lim????????→0????????????????＝lim????????→0（4t+2Δt）＝4t＝4×2＝8，即质点M在t＝2时的瞬时速度为8 cm/s.
?
类题通法
求瞬时速度的步骤
（1）设非匀速直线运动的规律为函数s＝s（t）；
（2）写出时间改变量Δt，位移改变量Δs＝s（t0+Δt）-s（t0）；
（3）求得平均速度????＝????????????????；
（4）求瞬时速度v：当Δt→0时，????????????????→v（常数）.
?
例2　如图，函数y＝f（x）的图像在点P处的切线方程是y＝-2x+9，点P的横坐标是4，
则f（4）+f ′（4）＝　　　　.
解析 ∵ 函数f（x）的图像在点P处的切线为y＝-2x+9，
∴ k切＝-2＝f ′（4）.
又∵ f（4）＝1，
∴ f（4）+f ′（4）＝-1.
答案 -1
例3　若函数y＝f（x）在x＝x0处可导，则lim?→0????????0+??????????0???等于 （　　）
A.f ′（x0） B.2f ′（x0） C.-2f ′（x0） D.0
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解析 （方法1）lim?→0????????0+??????????0???＝lim?→0????????0+??????????0+????????0?????????0???＝lim?→0????????0+??????????0?+lim?→0????????0?????????0???
＝f ′（x0）+lim?→0????????0+???????????0??＝f ′（x0）+f ′（x0）＝2f ′（x0）.
（方法2）lim?→0????????0+??????????0???＝lim?→02×????????0+??????????0??2?＝2lim?→0????????0+??????????0??2?＝2f ′（x0）.
答案 B
点评：导数的形式化计算，其本质就是对导数f ′（x0）＝lim????????→0????????0+?????????????????0????????＝lim????→????0?????????????????0?????????0的理解.需要说明的是，导数是一个局部概念，它只与函数y＝f（x）在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关.
?
例4　已知f（x）＝x+1????，求f ′（1）.
?
解 （方法1）∵ Δf＝（1+Δx）+11+?????????1+11＝Δx+11+????????-1＝Δx+?????????1+????????＝Δx-????????1+????????，
∴????????????????＝1-11+????????，
∴ f ′（1）＝lim????????→01?11+????????＝0.
（方法2）f ′（x）＝lim????????→0????????+?????????????????????????＝lim????????→0????+????????+1????+??????????????1????????????＝lim????????→01?1????????+????????＝1-1????2，
∴ 当x＝1时，f ′（1）＝0.
?
类题通法
用导数的定义来求一个函数的导数，一般分三步：
①求Δf＝f（x+Δx）-f（x）；
②求????????????????＝????????+?????????????????????????；
③求lim????????→0????????????????.（即一差、二比、三极限）
?
例5　求曲线f（x）＝x2+1????-3在x＝2处的切线方程.
?
解 ∵ Δf＝f（2+Δx）-f（2）＝（2+Δx）2+12+????????-3-22+12?3＝4Δx+（Δx）2+12+????????-12＝4Δx+（Δx）2-????????22+????????，
∴????????????????＝4+Δx-122+????????.
∵ 当Δx→0时，????????????????→4-14＝154，
∴ 曲线在x＝2处的切线斜率为154.
又x＝2时，f（2）＝32，
∴ 切点坐标为2,32.
∴ 曲线在x＝2处的切线方程为y-32＝154（x-2），
即15x-4y-24＝0.
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类题通法
求曲线y＝f（x）在其上一点P（x0，y0）处的切线方程的方法
1.若曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率存在，则斜率k＝f ′（x0），切线方程为y-y0＝f ′（x0）·（x-x0）.
2.若曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处的切线斜率不存在，则切线方程为x＝x0，此时f ′（x0）也不存在.
例6　已知函数f（x）＝ax2+1（a>0），g（x）＝x3+bx.若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值.
解 f ′（1）＝lim????????→0????1+?????????????1????????＝lim????????→0????1+????????2+1??????1????????＝2a，
g′（1）＝lim????????→0????1+?????????????1????????＝lim????????→01+????????3+????1+?????????1?????????????＝lim????????→03????????+3????????2+????????3+????????????????????＝3+b.
因为曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，
所以f（1）＝g（1），且f ′（1）＝g ′（1）.
即????+1＝1+????，2????＝3+????，解得????＝3，????＝3.
规律总结：求与曲线的切线有关的参数问题，解题的关键是灵活运用导数的几何意义，利用方程思想求解.
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类题通法
求曲线y＝f（x）在其上一点P（x0，y0）处的切线方程的方法
1.若曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率存在，则斜率k＝f ′（x0），切线方程为y-y0＝f ′（x0）·（x-x0）.
2.若曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处的切线斜率不存在，则切线方程为x＝x0，此时f ′（x0）也不存在.
随堂小测
1. 若曲线f（x）＝x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x-y+1＝0，则 （　）
A.a＝1，b＝1 B.a＝-1，b＝1 C.a＝1，b＝-1 D.a＝-1，b＝-1
2. 已知函数f（x）在x0附近有定义，且有f（x0+Δx）-f（x0）＝aΔx+b（Δx）2，其中a，b为常数，则下列说法正确的是（　　）
A.f ′（x）＝a B.f ′（x）＝b C.f ′（x0）＝a D.f ′（x0）＝b
3.设f（x）满足lim????????→0????1?????1?????????2????????＝-1，则曲线y＝f（x）上点（1，f（1））处的切线斜率为 .
4.小华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，小华认为：如果向杯子中倒饮料的速度一定（即单位时间内倒入的饮料量相同），那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h（t），则函数h（t）的图像可能是（　　）
?
?????
A
C
-2
B
A
B
C
D
5.已知直线l：y＝4x+a和曲线C：y＝x3-2x2+3相切，求实数a的值及切点的坐标.
解 设直线l与曲线C相切于点P（x0，y0），
f ′（x0）＝lim????????→0????????0+?????????????????0????????＝lim????????→0????0+????????3?2????0+????????2+3?????03?2????02+3????????＝3????02-4x0.
由题意可知l的斜率k＝4，
令3????02-4x0＝4，解得x0＝-23或2.
∴ 切点的坐标为?23，4927或（2，3）.
当切点坐标为?23，4927时，有4927＝4×?23+a，解得a＝12127.
当切点坐标为（2，3）时，有3＝4×2+a，解得a＝-5.
综上所述，当切点坐标为?23，4927时，a＝12127；
当切点坐标为（2，3）时，a＝-5.
?
6.已知直线l1为曲线y＝x2+x-2在点（1，0）处的切线，直线l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
（1）求直线l2的方程；
（2）求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.
解 （1）令f（x）＝x2+x-2.由题意知f ′（1）＝lim????????→01+????????2+1+?????????2?0????????＝3.
设直线l2与曲线的切点为P（x0，????02 +x0-2），则f ′（x0）＝lim????????→0????0+????????2+????0+?????????2?????02+????0?2????????＝2x0+1，
则直线l2的方程为y-（????02+x0-2）＝（2x0+1）（x-x0）.
∵ l1⊥l2，∴ 3（2x0+1）＝-1，∴ x0＝-23，∴ 直线l2的方程为y＝-13x-229.
（2）由（1）可得直线l1的方程为y＝3x-3，解方程组????＝3?????3，????＝?13?????229，得????＝16，????＝?52.
又∵ 直线l1，l2与x轴的交点坐标分别为（1，0），?223，0，
∴ 所围成的三角形的面积为12×?52×1+223＝12512.
?
课堂小结
知识清单：
瞬时变化率；导数的定义；导数的几何意义；求切线方程.
方法归纳：求曲线在某一点处的切线方程的方法.
常见误区：求曲线在某一点处的切线方程要注意，切线斜率是否存在要进行讨论.
谢 谢！