高中数学选择性必修第三册RJ·B--6.1 导数-6.1.3 基本初等函数的导数 课件（共30张PPT）
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| 名称 | 高中数学选择性必修第三册RJ·B--6.1 导数-6.1.3 基本初等函数的导数 课件（共30张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-23 09:14:03 | ||
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文档简介
第六章
6.1
导数
6.1.3 基本初等函数的导数
学习目标
1.能用导数的定义求常数函数、幂函数的导数.
2.掌握几个常用函数的导数及其应用.
3.掌握基本初等函数的导数公式及其运用.
4.指数与对数函数的导数公式的区别与运用.
核心素养：数学运算、数学抽象
新知学习
尝试与发现
已知函数f（x）＝x2，任取一实数x0，判断f（x）在x0处是否可导.如果可导，求出 f ′（x0），并观察f ′（x0）与x0的关系.
提示：设自变量在x＝x0附近的改变量为Δx，则函数在以x0，x0+Δx为端点的闭区间上的平均变化率为 ????????????????＝????????0+?????????????????0????????＝????0+????????2?????02????????＝2x0+Δx.
可以看出，当Δx无限接近于0时，平均变化率无限接近于2????0，因此f（x）在x0处可导，而且
f ′（x0）＝lim????????→0????????0+?????????????????0????????＝lim????????→0（2x0+Δx）＝2x0.
显然，f ′（x0）随x0的变化而变化，而且x0的值确定之后，f ′（x0）也就确定了.
例如，x0＝2时，f ′（2）＝2×2＝4；x0＝-3时，f ′（-3）＝2×（-3）＝-6.
这就说明，f ′（x0）是x0的函数.
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总结归纳
一般地，如果函数y＝f（x）在其定义域内的每一点x都可导，则称f（x）可导.此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f ′（x）.于是，在f（x）的定义域内，f ′（x）是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f（x）的导函数，记作f ′（x）（或y′，????′????），即
f ′（x）＝y′＝????′????＝????????????????????→????????????+?????????????????????????.
?
提示：导函数通常也简称为导数.本书后续内容中，除了特别声明指的是求某一点的导数之外，“求导数”均指的是“求导函数”
下面我们看下几个常用函数的导数
1.函数????（????）＝????的导数
?
若f?(????)＝????（如下图）表示路程关于时间的函数，则f?′(????)＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.
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f ′（x）＝lim????????→0????????+?????????????????????????＝lim????????→0?????????????????＝lim????????→00＝0.
?
2.函数????（????）＝????的导数
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若f?(????)＝????（如下图）表示路程关于时间的函数，则f?′(????)＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.
?
f ′（x）＝lim????????→0????????+?????????????????????????＝lim????????→0????+?????????????????????＝lim????????→01＝1.
?
3.函数????（????）＝????2的导数
?
f?′(????)＝2????表示函数f?(????)＝????2的图象（如下图）上点（????，????）处切线的斜率为2????，说明随着????的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，f?′(????)＝2????表明：当????<0时，随着????的增加，|f?′(????)|越来越小，f?(????)＝????2减少得越来越慢；当????>0时，随着????的增加，|f?′(????)|越来越大，f?(????)＝????2增加得越来越快.若f?(????)＝????2表示路程关于时间的函数，则f?′(????)＝2????可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2????.
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4.函数????（????）＝????3 的导数
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????′（????）＝3????2表示函数????（????）＝????3的图象（如下图）上点（????，????）处切线的斜率为3????2，这说明随着????的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数.
?
f ′（x）＝lim????????→0????????+?????????????????????????＝lim????????→0????+????????3?????3????????
＝lim????????→0［3x2+3xΔx+（Δx）2］=3x2.
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5.函数????（????）＝1?????的导数
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f ′（x）＝lim????????→0????????+?????????????????????????＝lim????????→01????+?????????1????????????
?＝lim????????→0?1????????+????????=?1????2.
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探究：画出函数????(????)＝1?????的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点（1，1）
处的切线方程.
?
函数????(????)＝1?????的图象如图所示，
函数????(????)＝1????的导数为????′(????)＝1????′＝?1????2-.
结合函数????(????)＝1????的图象可以发现：
当????<0时，函数值????(????)随着????的增加，减少得越来越快；
当????>0时，函数值????(????)随着????的增加，减少得越来越慢.
曲线????(????)＝1????在点（1，1）处的切线的斜率就是导函数????′(????)＝?1????2在????＝1处的函数值，即切线的斜率为?1，
故曲线y= ????(????)在点（1，1）处的切线方程为y=?????+2，
?
6.函数????（????）＝???? 的导数
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说明：前面我们根据导数的定义求出了一些常用函数的导数，这些函数都是幂函数????(????)＝????????的形式，在以后求导数时，可直接应用上述常见函数的导数，不必再用定义去求导.
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总结归纳
（1）对常见幂函数的导数及任意幂函数y＝xα的求导都要重点背.
（2）函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝?????1，y＝????12的导数以及幂函数y＝xα的求导公式，在以后的求导中可以直接运用，不必再利用导数定义去求，但要理解其推导过程.
（3）对不能直接运用公式的要适当进行变形，如y＝1????7＝?????7，y＝5????2＝????25等(即对于y＝????????????（n>1且n∈N+）型函数的求导，要先化成 y＝????????????型，再求导，即y′＝????????????′＝?????????????????????1).
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即时巩固
已知f（x）＝????32，求f ′（4）以及曲线y＝f（x）在点（4，f（4））处的切线的方程.
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解 因为f ′（x）＝32????32?1=32????12，
所以f ′（4）＝32×412＝32×2＝3.
又因为f（4）＝432＝ （22）32?＝23＝8，
所以所求切线方程为y-8＝3（x-4），
即y＝3x-4.
?
导数公式表
基本初等函数的导数公式
1.若????（????）＝????（????为常数），则?????′（????）＝0；
2.若????（????）＝????????（????∈????，且????≠0），则?????′（????）＝?????????????1；
3.若????（????）＝sin?????，则?????′（????）＝cos?????；
4.若????（????）＝cos?????，则?????′（????）＝?sin?????；
5.若????（????）＝????????（????>0，且????≠1），则?????′（????）＝????????ln?????；
特别地，若????（????）＝e????，则?????′（????）＝e????；
6.若????（????）＝log????????（????>0，且????≠1），则 ；
特别地，若????（????）＝ln?????，则?????′（????）＝1?????.
基本初等函数的导数公式
对于基本初等函数的导数公式要注意以下三点：
（1）注意y＝ ?????????（a>0，a≠1）与y＝ ????????的导数的区别，y＝ ?????????（a>0，a≠1）与y＝log????????（a>0，a≠1）的导数的区别.y′＝（ ?????????）′＝ ?????????ln a（a>0，a≠1）与y′＝（ log?????????）′＝1????ln????
（a>0，a≠1）两个公式较难记忆，应加深对公式的理解并强化记忆.
（2）记忆口诀：①指数函数的导数：指导指不变，底对紧相连.
②对数函数的导数：对导是真倒，底对跟着倒.
③正、余弦函数的导数：正余弦互导，余导添负号.
（3）不要求根据导数定义推导这几个函数的导数公式，只要能够利用它们求简单函数的导数即可.
?
即时巩固
已知函数f（x）＝ex，g（x）＝ln x，求f ′（x），g′（x）.
解 在（ax）′＝axln a中令a＝e，
可得（ex）′＝exln e＝ex，
因此f ′（x）＝ex.
在（logax）′＝1????ln?????中令a＝e，
可得（logex）′＝1????ln?e，
即（ln x）′＝1????，
因此g′（x）＝1????.
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典例剖析
例 1 下列结论不正确的是 （ ）
A.若y＝3，则y′＝0 B.若y＝1????，则y′＝-12????
C.若y＝????，则y′＝12???? D.若y＝x，则y′＝1
?
解析 由常数函数的导数为0知A正确；
对于B，y′＝1????′＝??????12′＝-12?????32＝?12????3，不正确；
对于C，y′＝????′＝12?????12＝12????，正确；
D正确.
答案 B
?
例 2 求下列函数的导数.
（1）y＝????13；（2）y＝1????6；（3）y＝5????3；（4）y＝????13；（5）y＝log5x.
?
分析 根据基本初等函数的导数公式求导，对不符合标准形式的适当进行化简.
解 （1）y′＝（????13）′＝13????12.
（2）y′＝1????6′＝（x-6）′＝-6?????7＝?6????7.
（3）y′＝（5????3）′＝????35′＝35?????25＝355????2.
（4）y′＝????13′＝13?????23＝133????2.
（5）y′＝（log5x）′＝1????ln?5.
?
规律总结
（1）用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较烦琐，利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度.
（2）利用导数公式求导，应根据所给题目的特征，恰当地选择求导公式，有时要将题中函数的结构进行调整，如将根式、分式转化为指数式，再利用幂函数的导数公式求导.
例 3 求函数y＝????2+1的导数y′及y′|x＝2.
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解 Δy＝????+????????2+1?????2+1＝????+????????2+1?????2?1????+????????2+1+????2+1＝2????????????+????????2????+????????2+1+????2+1，
则????????????????＝2????+????????????+????????2+1+????2+1.
当Δx→0时，lim????????→0????????????????＝2????2????2+1＝????????2+1，即y′＝????????2+1，
所以y′|x＝2＝222+1＝255.
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类题通法
定义法求导函数的步骤
（1）求Δy＝f（x+Δx）-f（x）；
（2）求????????????????＝????????+?????????????????????????；
（3）计算f ′（x）＝lim????????→0????????????????.
上述求导步骤可简记为：一差、二比、三极限.
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例4 假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价????（单位：元）与时间t（单位：年）
之间的关系为????（????）＝????0（1+5%）????，其中????0为????＝0时的物价.假定某种商品的 ????0＝1，
那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01元/年）？
?
解：根据基本初等函数的导数公式表，有????′（????）＝1.05????ln?1.05.
所以????′（10）＝1.0510ln?1.05≈0.08.
所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.
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点拨：利用常见函数的导数公式可以解决一些实际问题，如速度增长、变化率等问题，关键是根据题意找出关系式.解题时，认真观察函数的结构特征，积极地进行联想转化，才能抓住问题的本质，把解题思路打开.
例 5 已知曲线y＝1????.
（1）求曲线在点P（1，1）处的切线方程；
（2）求曲线过点Q（1，0）的切线方程；
（3）求满足斜率为-13的曲线的切线方程.
?
解 因为y＝1????，所以y′＝-1????2.
（1）因为P（1，1）是曲线上的点，所以P为切点，
所以切线斜率为k＝f ′（1）＝-1.
所以曲线在P（1，1）处的切线方程为y-1＝-（x-1），即y＝-x+2.
（2）显然Q（1，0）不在曲线y＝1????上，则可设过该点的切线的切点为A????，1????，
那么该切线斜率为k＝f ′（a）＝?1????2.
则切线方程为y-1????＝?1????2（x-a）.①
?
将Q（1，0）代入方程，得0-1????＝?1????2（1-a）.
解得a＝12，
代回方程①整理可得切线方程为y＝-4x+4.
（3）设切点为B????，1????，则切线斜率为k＝-1????2＝?13，
解得b＝±3，
所以B3，33，B′?3，?33.
将点B，B '的坐标代入点斜式方程得y-33＝?13（x-3），
或y+33＝?13（x+3）.
整理得切线方程为y＝-13x+233或y＝-13x-233.
?
类题通法
过不在曲线y＝f（x）上一点M（x1，y1）的切线方程的求法
方法1：（1）设切点为P（x0，y0），则y0＝f（x0），切线斜率k＝f ′（x0）.
（2）由kPM＝k，得方程k＝f ′（x0）＝????1?????????0????1?????0.
（3）化简上述方程，得关于x0的方程，可求得x0.
（4）确定y0，k，利用点斜式得切线方程.
方法2：（1）设切点为P（x0，y0），则切线方程为y-y0＝k（x-x0）.
（2）建立方程组????0＝????????0，????＝????′????0，????1?????0＝????????1?????0.
（3）解方程组，得k，x0，y0，从而得切线方程.
?
随堂小测
1.下列导数式子正确的是 （??）
D
A
B
2.曲线y＝????12在点（1，1）处的切线方程为 （ ）
A.x-2y+1＝0 B.x-y＝0 C.x+y-2＝0 D.2x-y-1＝0
3.设曲线y＝ax2在点（1，a）处的切线与直线2x-y-6＝0平行，则a＝ （ ）
A.-1 B.1 C.-?12 D.?12
4.已知f（x）＝x3，则lim????????→0????2+2?????????????2?2????????????????＝ （ ）
A.3 B.12 C.32 D.48
?
D
5.若曲线y＝????12在点（a，????12）处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为22，求a的值.
?
解 y′＝12????，????′|????=????＝12????，y-????12＝12????（x-a）.
令x＝0，得y＝????2，令y＝0，得x＝-a，
所以围成的三角形的面积为????????4＝22，解得a＝2.
?
课堂小结
基本初等函数的导数公式
1.若????（????）＝????（????为常数），则?????′（????）＝0；
2.若????（????）＝????????（????∈????，且????≠0），则?????′（????）＝?????????????1；
3.若????（????）＝sin?????，则?????′（????）＝cos?????；
4.若????（????）＝cos?????，则?????′（????）＝?sin?????；
5.若????（????）＝????????（????>0，且????≠1），则?????′（????）＝????????ln?????；
特别地，若????（????）＝e????，则?????′（????）＝e????；
6.若????（????）＝log????????（????>0，且????≠1），则 ；
特别地，若????（????）＝ln?????，则?????′（????）＝1?????.
基本初等函数的导数公式
课堂小结
知识清单：
导函数的定义；公式法求函数的导数；基本初等函数的导数公式.
方法归纳：公式法求函数的导数.
常见误区：基本初等函数的导数公式一定要记牢，这里很容易错用导数公式.
谢 谢！
6.1
导数
6.1.3 基本初等函数的导数
学习目标
1.能用导数的定义求常数函数、幂函数的导数.
2.掌握几个常用函数的导数及其应用.
3.掌握基本初等函数的导数公式及其运用.
4.指数与对数函数的导数公式的区别与运用.
核心素养：数学运算、数学抽象
新知学习
尝试与发现
已知函数f（x）＝x2，任取一实数x0，判断f（x）在x0处是否可导.如果可导，求出 f ′（x0），并观察f ′（x0）与x0的关系.
提示：设自变量在x＝x0附近的改变量为Δx，则函数在以x0，x0+Δx为端点的闭区间上的平均变化率为 ????????????????＝????????0+?????????????????0????????＝????0+????????2?????02????????＝2x0+Δx.
可以看出，当Δx无限接近于0时，平均变化率无限接近于2????0，因此f（x）在x0处可导，而且
f ′（x0）＝lim????????→0????????0+?????????????????0????????＝lim????????→0（2x0+Δx）＝2x0.
显然，f ′（x0）随x0的变化而变化，而且x0的值确定之后，f ′（x0）也就确定了.
例如，x0＝2时，f ′（2）＝2×2＝4；x0＝-3时，f ′（-3）＝2×（-3）＝-6.
这就说明，f ′（x0）是x0的函数.
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总结归纳
一般地，如果函数y＝f（x）在其定义域内的每一点x都可导，则称f（x）可导.此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f ′（x）.于是，在f（x）的定义域内，f ′（x）是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f（x）的导函数，记作f ′（x）（或y′，????′????），即
f ′（x）＝y′＝????′????＝????????????????????→????????????+?????????????????????????.
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提示：导函数通常也简称为导数.本书后续内容中，除了特别声明指的是求某一点的导数之外，“求导数”均指的是“求导函数”
下面我们看下几个常用函数的导数
1.函数????（????）＝????的导数
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若f?(????)＝????（如下图）表示路程关于时间的函数，则f?′(????)＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.
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f ′（x）＝lim????????→0????????+?????????????????????????＝lim????????→0?????????????????＝lim????????→00＝0.
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2.函数????（????）＝????的导数
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若f?(????)＝????（如下图）表示路程关于时间的函数，则f?′(????)＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.
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f ′（x）＝lim????????→0????????+?????????????????????????＝lim????????→0????+?????????????????????＝lim????????→01＝1.
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3.函数????（????）＝????2的导数
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f?′(????)＝2????表示函数f?(????)＝????2的图象（如下图）上点（????，????）处切线的斜率为2????，说明随着????的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，f?′(????)＝2????表明：当????<0时，随着????的增加，|f?′(????)|越来越小，f?(????)＝????2减少得越来越慢；当????>0时，随着????的增加，|f?′(????)|越来越大，f?(????)＝????2增加得越来越快.若f?(????)＝????2表示路程关于时间的函数，则f?′(????)＝2????可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2????.
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4.函数????（????）＝????3 的导数
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????′（????）＝3????2表示函数????（????）＝????3的图象（如下图）上点（????，????）处切线的斜率为3????2，这说明随着????的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数.
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f ′（x）＝lim????????→0????????+?????????????????????????＝lim????????→0????+????????3?????3????????
＝lim????????→0［3x2+3xΔx+（Δx）2］=3x2.
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5.函数????（????）＝1?????的导数
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f ′（x）＝lim????????→0????????+?????????????????????????＝lim????????→01????+?????????1????????????
?＝lim????????→0?1????????+????????=?1????2.
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探究：画出函数????(????)＝1?????的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点（1，1）
处的切线方程.
?
函数????(????)＝1?????的图象如图所示，
函数????(????)＝1????的导数为????′(????)＝1????′＝?1????2-.
结合函数????(????)＝1????的图象可以发现：
当????<0时，函数值????(????)随着????的增加，减少得越来越快；
当????>0时，函数值????(????)随着????的增加，减少得越来越慢.
曲线????(????)＝1????在点（1，1）处的切线的斜率就是导函数????′(????)＝?1????2在????＝1处的函数值，即切线的斜率为?1，
故曲线y= ????(????)在点（1，1）处的切线方程为y=?????+2，
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6.函数????（????）＝???? 的导数
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说明：前面我们根据导数的定义求出了一些常用函数的导数，这些函数都是幂函数????(????)＝????????的形式，在以后求导数时，可直接应用上述常见函数的导数，不必再用定义去求导.
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总结归纳
（1）对常见幂函数的导数及任意幂函数y＝xα的求导都要重点背.
（2）函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝?????1，y＝????12的导数以及幂函数y＝xα的求导公式，在以后的求导中可以直接运用，不必再利用导数定义去求，但要理解其推导过程.
（3）对不能直接运用公式的要适当进行变形，如y＝1????7＝?????7，y＝5????2＝????25等(即对于y＝????????????（n>1且n∈N+）型函数的求导，要先化成 y＝????????????型，再求导，即y′＝????????????′＝?????????????????????1).
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即时巩固
已知f（x）＝????32，求f ′（4）以及曲线y＝f（x）在点（4，f（4））处的切线的方程.
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解 因为f ′（x）＝32????32?1=32????12，
所以f ′（4）＝32×412＝32×2＝3.
又因为f（4）＝432＝ （22）32?＝23＝8，
所以所求切线方程为y-8＝3（x-4），
即y＝3x-4.
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导数公式表
基本初等函数的导数公式
1.若????（????）＝????（????为常数），则?????′（????）＝0；
2.若????（????）＝????????（????∈????，且????≠0），则?????′（????）＝?????????????1；
3.若????（????）＝sin?????，则?????′（????）＝cos?????；
4.若????（????）＝cos?????，则?????′（????）＝?sin?????；
5.若????（????）＝????????（????>0，且????≠1），则?????′（????）＝????????ln?????；
特别地，若????（????）＝e????，则?????′（????）＝e????；
6.若????（????）＝log????????（????>0，且????≠1），则 ；
特别地，若????（????）＝ln?????，则?????′（????）＝1?????.
基本初等函数的导数公式
对于基本初等函数的导数公式要注意以下三点：
（1）注意y＝ ?????????（a>0，a≠1）与y＝ ????????的导数的区别，y＝ ?????????（a>0，a≠1）与y＝log????????（a>0，a≠1）的导数的区别.y′＝（ ?????????）′＝ ?????????ln a（a>0，a≠1）与y′＝（ log?????????）′＝1????ln????
（a>0，a≠1）两个公式较难记忆，应加深对公式的理解并强化记忆.
（2）记忆口诀：①指数函数的导数：指导指不变，底对紧相连.
②对数函数的导数：对导是真倒，底对跟着倒.
③正、余弦函数的导数：正余弦互导，余导添负号.
（3）不要求根据导数定义推导这几个函数的导数公式，只要能够利用它们求简单函数的导数即可.
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即时巩固
已知函数f（x）＝ex，g（x）＝ln x，求f ′（x），g′（x）.
解 在（ax）′＝axln a中令a＝e，
可得（ex）′＝exln e＝ex，
因此f ′（x）＝ex.
在（logax）′＝1????ln?????中令a＝e，
可得（logex）′＝1????ln?e，
即（ln x）′＝1????，
因此g′（x）＝1????.
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典例剖析
例 1 下列结论不正确的是 （ ）
A.若y＝3，则y′＝0 B.若y＝1????，则y′＝-12????
C.若y＝????，则y′＝12???? D.若y＝x，则y′＝1
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解析 由常数函数的导数为0知A正确；
对于B，y′＝1????′＝??????12′＝-12?????32＝?12????3，不正确；
对于C，y′＝????′＝12?????12＝12????，正确；
D正确.
答案 B
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例 2 求下列函数的导数.
（1）y＝????13；（2）y＝1????6；（3）y＝5????3；（4）y＝????13；（5）y＝log5x.
?
分析 根据基本初等函数的导数公式求导，对不符合标准形式的适当进行化简.
解 （1）y′＝（????13）′＝13????12.
（2）y′＝1????6′＝（x-6）′＝-6?????7＝?6????7.
（3）y′＝（5????3）′＝????35′＝35?????25＝355????2.
（4）y′＝????13′＝13?????23＝133????2.
（5）y′＝（log5x）′＝1????ln?5.
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规律总结
（1）用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较烦琐，利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度.
（2）利用导数公式求导，应根据所给题目的特征，恰当地选择求导公式，有时要将题中函数的结构进行调整，如将根式、分式转化为指数式，再利用幂函数的导数公式求导.
例 3 求函数y＝????2+1的导数y′及y′|x＝2.
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解 Δy＝????+????????2+1?????2+1＝????+????????2+1?????2?1????+????????2+1+????2+1＝2????????????+????????2????+????????2+1+????2+1，
则????????????????＝2????+????????????+????????2+1+????2+1.
当Δx→0时，lim????????→0????????????????＝2????2????2+1＝????????2+1，即y′＝????????2+1，
所以y′|x＝2＝222+1＝255.
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类题通法
定义法求导函数的步骤
（1）求Δy＝f（x+Δx）-f（x）；
（2）求????????????????＝????????+?????????????????????????；
（3）计算f ′（x）＝lim????????→0????????????????.
上述求导步骤可简记为：一差、二比、三极限.
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例4 假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价????（单位：元）与时间t（单位：年）
之间的关系为????（????）＝????0（1+5%）????，其中????0为????＝0时的物价.假定某种商品的 ????0＝1，
那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01元/年）？
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解：根据基本初等函数的导数公式表，有????′（????）＝1.05????ln?1.05.
所以????′（10）＝1.0510ln?1.05≈0.08.
所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.
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点拨：利用常见函数的导数公式可以解决一些实际问题，如速度增长、变化率等问题，关键是根据题意找出关系式.解题时，认真观察函数的结构特征，积极地进行联想转化，才能抓住问题的本质，把解题思路打开.
例 5 已知曲线y＝1????.
（1）求曲线在点P（1，1）处的切线方程；
（2）求曲线过点Q（1，0）的切线方程；
（3）求满足斜率为-13的曲线的切线方程.
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解 因为y＝1????，所以y′＝-1????2.
（1）因为P（1，1）是曲线上的点，所以P为切点，
所以切线斜率为k＝f ′（1）＝-1.
所以曲线在P（1，1）处的切线方程为y-1＝-（x-1），即y＝-x+2.
（2）显然Q（1，0）不在曲线y＝1????上，则可设过该点的切线的切点为A????，1????，
那么该切线斜率为k＝f ′（a）＝?1????2.
则切线方程为y-1????＝?1????2（x-a）.①
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将Q（1，0）代入方程，得0-1????＝?1????2（1-a）.
解得a＝12，
代回方程①整理可得切线方程为y＝-4x+4.
（3）设切点为B????，1????，则切线斜率为k＝-1????2＝?13，
解得b＝±3，
所以B3，33，B′?3，?33.
将点B，B '的坐标代入点斜式方程得y-33＝?13（x-3），
或y+33＝?13（x+3）.
整理得切线方程为y＝-13x+233或y＝-13x-233.
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类题通法
过不在曲线y＝f（x）上一点M（x1，y1）的切线方程的求法
方法1：（1）设切点为P（x0，y0），则y0＝f（x0），切线斜率k＝f ′（x0）.
（2）由kPM＝k，得方程k＝f ′（x0）＝????1?????????0????1?????0.
（3）化简上述方程，得关于x0的方程，可求得x0.
（4）确定y0，k，利用点斜式得切线方程.
方法2：（1）设切点为P（x0，y0），则切线方程为y-y0＝k（x-x0）.
（2）建立方程组????0＝????????0，????＝????′????0，????1?????0＝????????1?????0.
（3）解方程组，得k，x0，y0，从而得切线方程.
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随堂小测
1.下列导数式子正确的是 （??）
D
A
B
2.曲线y＝????12在点（1，1）处的切线方程为 （ ）
A.x-2y+1＝0 B.x-y＝0 C.x+y-2＝0 D.2x-y-1＝0
3.设曲线y＝ax2在点（1，a）处的切线与直线2x-y-6＝0平行，则a＝ （ ）
A.-1 B.1 C.-?12 D.?12
4.已知f（x）＝x3，则lim????????→0????2+2?????????????2?2????????????????＝ （ ）
A.3 B.12 C.32 D.48
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D
5.若曲线y＝????12在点（a，????12）处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为22，求a的值.
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解 y′＝12????，????′|????=????＝12????，y-????12＝12????（x-a）.
令x＝0，得y＝????2，令y＝0，得x＝-a，
所以围成的三角形的面积为????????4＝22，解得a＝2.
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课堂小结
基本初等函数的导数公式
1.若????（????）＝????（????为常数），则?????′（????）＝0；
2.若????（????）＝????????（????∈????，且????≠0），则?????′（????）＝?????????????1；
3.若????（????）＝sin?????，则?????′（????）＝cos?????；
4.若????（????）＝cos?????，则?????′（????）＝?sin?????；
5.若????（????）＝????????（????>0，且????≠1），则?????′（????）＝????????ln?????；
特别地，若????（????）＝e????，则?????′（????）＝e????；
6.若????（????）＝log????????（????>0，且????≠1），则 ；
特别地，若????（????）＝ln?????，则?????′（????）＝1?????.
基本初等函数的导数公式
课堂小结
知识清单：
导函数的定义；公式法求函数的导数；基本初等函数的导数公式.
方法归纳：公式法求函数的导数.
常见误区：基本初等函数的导数公式一定要记牢，这里很容易错用导数公式.
谢 谢！