高中数学选择性必修第三册RJ·B--6.1 导数-6.1.4 求导法则及其应用 课件（共31张PPT）

第六章
6.1
导数
6.1.4 求导法则及其应用
学习目标
1.熟练掌握导数的四则运算法则.
2.能使用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
3.会用复合函数求导法则对简单复合函数进行求导.
核心素养：数学抽象、数学运算
问题讨论
由基本初等函数经过加、减、乘、除等运算可以构造出新的函数.例如，由f（x）＝x3与g（x）＝x相加可以得到新函数
f（x）+g（x）＝x3+x.
那么，构造出的新函数的导函数与原有函数的导函数之间是否有联系呢？这就是这一小节我们要讨论的问题.
结论：可以猜测h′（x）＝f ′（x）+g′（x）＝（x2）′+x′＝2x+1.
一、函数和与差的求导法则
问题：设f（x）＝x2，g（x）＝x，且h（x）＝f（x）+g（x）＝x2+x，猜测h′（x）与f ′（x）， g′（x）的关系，并尝试给出证明.
推导：一般地，如果f（x），g（x）都可导，则［f（x）+g（x）］′＝f ′（x）+g′（x）.
即两个函数之和的导数，等于这两个函数的导数之和.
事实上，设h（x）＝f（x）+g（x），则
?????????????＝?????+??????????????????????＝????????+????????+????????+?????????????????+????????????????＝????????+?????????????????+????????+?????????????????????????＝????????????????+????????????????，
所以
lim????????→0?????????????＝lim????????→0????????????????+????????????????＝lim????????→0????????????????+lim????????→0????????????????，
即h′（x）＝f ′（x）+g′（x）.
?

???
???
???

类似地，如果f（x），g（x）都可导，则
［f（x）-g（x）］′＝f ′（x）-g′（x）.
即两个函数之差的导数，等于这两个函数的导数之差.
结论：一般地，对于两个函数????（????）和????（????）的和（或差）的导数，我们有如下法则：［????（????）±????（????）］′＝?????′（????）±????′（????）.
?
说明：（1）导数和（差）的求导法则用文字语言可叙述为两个函数的和（差）的导数，等于这两个函数的导数的和（差）.
（2）导数和（差）求导法则可推广到任意有限个函数的和（差）的导数，即
［f1（x）±f2（x）±…±fn（x）］′＝f ′1（x）±f ′2（x）±…±f ′n（x）.
例如，（x3+x2）′＝（x3）′+（x2）′＝3x2+2x，
??（sin x-cos x+2）′＝（sin x）′-（cos x）′+2′＝cos?????+sin?????　.

?
即时巩固
求下列函数的导数：
（1）????＝????3?2????+3；　（2）????＝2????+cos?????.
解：（1）????′＝????3?????+3′
＝（????3）′?（????）′+（3）′
＝3????2?1；
（2）????′＝2????+cos????′
＝2????′+(cos????)′
＝2????ln?2?sin????.
?
二、函数积的求导法则
思考:如果f（x），g（x）都可导，你认为f（x）g（x）的导数与f ′（x），g′（x）有什么关系？用实例验证你的猜想.
结论：一般来说，［f（x）g（x）］′≠f ′（x）g′（x）.
例如，当f（x）＝x，g（x）＝x2时，f（x）g（x）＝x3，
因此［f（x）g（x）］′＝（x3）′＝3x2，f ′（x）＝1，g′（x）＝2x，
即［f（x）g（x）］′≠f ′（x）g′（x）.
总结归纳：事实上，可以证明，当f（x），g（x）都可导时，有
［f（x）g（x）］′＝f ′（x）g（x）+f（x）g′（x）.
即两个函数之积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数.
例如，（x2·x）′＝（x2）′x+x2·x′＝2x·x+x2×1＝3x2，
（sin xcos x）′＝（sin x）′cos x+sin x（cos x）′＝cos2x-sin2x＝cos 2x，
（x2ex）′＝（x2）′ex+x2（ex）′＝2????e????+????2e????＝2????+????2e????　.
特别地，当g（x）是常数函数，即g（x）＝C时，因为C′＝0，所以由上述法则立即可以得出
［Cf（x）］′＝Cf ′（x）.
即常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数.
例如，（3x2）′＝3（x2）′＝3×2x＝6x，
（5cos x）′＝5（cos x）′＝-5sin?????　.
?
说明与注意

（1）若C为常数，则［Cf（x）］′＝C′f（x）+Cf ′（x）＝0+Cf ′（x）＝Cf ′（x）.即常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数.
（2）［af（x）+bg（x）］′＝af ′（x）+bg ′（x），a，b为常数.
（3）积的求导法则可以推广到求有限个函数的积的导数.
（4）牢记公式的形式［f（x）g（x）］′＝f ′（x）g（x）+f（x）g ′（x），避免与［f（x）±g（x）］′＝f ′（x）±g ′（x）混淆，不要误认为［f（x）· g（x）］′＝f ′（x）g ′（x）.
（5）一般情况下，使用积的求导法则运算量较大，如果变形后能不使用积的求导法则，应先变形，再求导.
即时巩固
求下列函数的导数：
（1）????＝????3e????； （2）????＝2sin????????2.
?
解：（1）????′＝（????3e????）′
＝（????3）′e????+????3（e????）′
＝3????2e????+????3e????.
?
三、函数商的求导法则
思考:如果f（x），g（x）都可导，且g（x）≠0，你认为????????????????的导数与f ′（x）， g′（x）有什么关系？用实例验证你的猜想.
?
结论：一般来说，????????????????′≠????′????????′????.
例如，当f（x）＝x2，g（x）＝x时，????????????????＝????2????＝x，
因此????????????????′＝x′＝1，????′????????′????＝2????1＝2x，
即????????????????′≠????′????????′????.
?
总结归纳：事实上，可以证明，当f（x），g（x）都可导，且g（x）≠0，有
????????????????′=????′?????????????????????????′????????2????
其中????2????表示的是[????(????)]2.
特别地，当f（x）＝1时，因为1′＝0，所以
1????????′=?????′????????2????
例如，e????????′＝e????′?????e????????′????2＝????e?????e????????2＝?????1e????????2，
1????′＝0?1????2＝-1????2.
?
注意
（1）本法则要从符号到结构特点对公式进行准确记忆，避免错记错用.尤其注意????????????????′≠????′????????′????，????????????????′≠????′????????????+????????????′????????2????；
（2）在两个函数的积f（x）g（x）的导数公式中，f ′（x）g（x）与f（x）g ′（x）之间为“+”号，而两个函数的商????????????????（g（x）≠0）的导数公式中，f ′（x）g（x）与f（x）g ′（x）之间为“-”号.
?
求曲线y＝tan x在π4,tan?π4处的切线方程.
?
解 因为
?（tan x）′＝sin?????cos?????′＝sin?????′cos??????cos?????′sin?????cos2????＝cos2????+sin2????cos2????＝1cos2????，
所以所求切线的斜率为1cos2π4＝2　，
又因为tanπ4＝1，所以切点为π4,1，
从而可知所求切线方程为y-1＝2?????π4，
即y＝2x-π2+1.
?
即时巩固
四、简单复合函数的求导法则
思考：如何求函数????＝ln?（2?????1）的导数呢？
?
函数????＝ln?（2?????1）不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，所以无法用现有的方法求它的导数.下面，我们先分析这个函数的结构特点.
若设????＝2?????1????>12，则????＝ln?????.从而????＝ln?（2?????1）可以看成是由????＝ln?????和????＝2??????1????>12经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量????表示为自变量????的函数.
如果把????与????的关系记作????＝????（????），????与????的关系记作????＝????（????），那么这个“复合”过程可表示为
????＝????（????）＝????（????（????））＝ln?（2?????1）.
一般地，对于两个函数????＝????（????）和????＝????（????），如果通过中间变量????，????可以表示成????的函数，那么称这个函数为函数????＝????（????）和????＝????（????）的复合函数，记作
????＝????（????（????））.
?
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的.例如，函数????＝ln?（2?????1）由????＝ln?????和????＝2?????1????>12复合而成.又如，函数????＝sin?2????由????＝sin?????和????＝2????复合而成.
?
对于复合函数概念的理解要注意以下三点：
（1）不是任意两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当????＝????（????）的定义域与????＝????（????）的值域的交集非空时，????＝????（????）与????＝????（????）才能复合成复合函数????＝????（????（????））.
（2）对于????＝????（????）和????＝????（????）复合而成的函数????＝????（????（????）），????称为中间变量.看一个复合函数分解成的两个函数是否正确，关键看这两个函数在消去中间变量????后是否能复合成原函数.
（3）“分解”是研究复合函数问题的常用解决方法.
?
如何求复合函数的导数呢？
我们先来研究?（????）＝sin?2????的导数.
如果在f（u）＝sin u中，令u＝g（x）＝2x，则有
f（g（x））＝sin （g（x））＝sin 2x＝h（x）.
另一方面，因为h（x）＝sin 2x＝2sin xcos x，所以
h′（x）＝（2sin xcos x）′＝2（sin x）′cos x+2sin x（cos x）′＝2cos 2x-2sin 2x＝2cos 2x.
又因为f ′（u）＝cos u，g′（x）＝2，因此
h′（x）＝f ′（g（x））g′（x）.
一般地，如果函数y＝f（u）与u＝g（x）的复合函数为
y＝h（x）＝f（g（x）），
则可以证明，复合函数的导数h′（x）与f ′（u），g′（x）之间的关系为
h′（x）＝［f（g（x））］′＝f ′（u）g′（x）＝f ′（g（x））g′（x）.

?
一般地，对于由函数 ????＝????（????）和????＝????（????）复合而成的函数?????＝????（????（????）），它的导数与函数????＝????（????），????＝????（????）的导数间的关系为
????′????＝????′????·????′????.
即????对????的导数等于????对????的导数与????对????的导数的乘积.
?
对于复合函数的求导法则要注意以下三点：
（1）????′????＝????′????·????′????也可表示为????′????＝?????′（????）·????′（????）；
（2）我们把复合函数的这种求导法则称为“链式法则”；
（3）法则可以推广到两个以上的中间变量，例如????′????＝????′????·????′????·????′?????.
?
即时巩固
求下列函数的导数：
（1）????＝（3????+5）3； （2）????＝e?0.05????+1； （3）????＝ln?（2?????1）.
?
解：（1）函数????＝（3????+5）3可以看作函数????＝????3和????＝3????+5的复合函数.
根据复合函数的求导法则，有
????′????＝????′????·????′???? ＝（????3）′·（3????+5）′＝3????2×3＝9（3????+5）2.
（2）函数????＝e?0.05????+1可以看作函数????＝????????和????＝?0.05????+1的复合函数.
根据复合函数的求导法则，有
????′????＝????′????·????′???? ＝（e????）′·（?0.05????+1）′＝?0.05e????＝?0.05?e?0.05????+1.
（3）函数????＝ln?（2?????1）可以看作函数????＝ln?????和????＝2?????1????>12的复合函数.
根据复合函数的求导法则，有
????′????＝????′????·????′???? ＝（ln?????）′·（2?????1）′＝1????×2＝22?????1.
?
典例剖析
例1　求下列函数的导数.
（1）y＝x2e-x；（2）y＝2?????3????+1；（3）y＝x（x+1）（x+2）（x>0）.
?
解题提示（1）将y＝e-x视为y＝eu与u＝-x的复合函数，再求导；（2）分子、分母齐次，先裂项化简再求导；（3）可以直接利用公式求导，也可以将函数式展开合并同类项后再求导.
解：解：（1）y′＝（x2）′e-x+x2（e-x）′＝2xe-x-x2e-x＝e-x（2-x）x.
（2）因为y＝2?????3????+1＝2????+1?5????+1＝2-5????+1，所以y′＝5????+12.
（3）（方法1）y′＝［x（x+1）（x+2）］′＝x′（x+1）（x+2）+x（x+1）′（x+2）+x（x+1）（x+2）′＝（x+1）（x+2）+x（x+2）+x（x+1）＝3x2+6x+2.
（方法2）因为y＝x（x+1）（x+2）＝（x2+x）（x+2）＝x3+3x2+2x，
所以y′＝（x3+3x2+2x）′＝3x2+6x+2.
?
类题通法
求复杂多项式型函数的导数的方法
1.对于分式中分子、分母齐次结构的函数，可考虑通过裂项化为和差形式.若待求导的函数是两个函数商的形式，可以直接利用商的导数运算法则进行求导，但这样做运算量较大，如果先对函数进行适当变形，再对函数求导，这样会大大减少运算量.
2.对于多个整式乘积形式的函数，可以考虑展开，化为和差形式.若待求导的函数为多个整式乘积的形式，可以利用多项式的乘法法则，化为和差的形式，再求导，其运算过程将会简化，运算量将会减小.
例2 求下列函数的导数.
（1）f（x）＝13????2；（2）f（x）＝11?????+11+????；（3）f（x）＝????5+????7+????9????.
?
解题提示 （1）将根式化为分数指数幂，再利用幂函数的导数公式求解；（2）先分母有理化，整理后再求导；（3）先化为分数指数幂，整理后再求导.
解 （1）∵ f（x）＝13????2＝?????23，∴ f ′（x）＝(?????23）′＝-23?????53＝-23????3????2.
（2）对函数f（x）进行化简，得f（x）＝21?????，
故f ′（x）＝21?????′＝2′1??????21?????′1?????2＝21?????2.
（3）∵ f（x）＝????52+????72+????92????12＝x2+x3+x4，∴ f ′（x）＝2x+3x2+4x3.
?
类题通法
求根式型函数的导数的方法
对于根式型函数，可考虑进行有理化变形.若待求导的函数中含有根式，可以应用求导公式和导数的运算法则直接求解，但这样往往比较烦琐，因此可以考虑先对函数进行适当变形——分子、分母有理化.
有理化有两种形式：一是分子中含有根式，则进行分子有理化；二是分母中含有根式，则进行分母有理化.如果所给两“项”的分母是互为有理化因式的结构形式，直接通分就能达到分母有理化的效果，从而使化简过程更为简捷.
例3 求下列函数的导数.
（1）y＝a2x-3；（2）y＝x2cos2?????π3；（3）y＝e-xln x；（4）y＝11?2????.
?
解题提示 先确定给出函数的复合形式，然后套用公式求导.
解 （1）因为y＝a2x-3，所以y′＝a2x-3ln a·（2x-3）′＝2a2x-3ln a.
（2）因为y＝x2cos2?????π3，
所以y′＝2xcos 2?????π3+x2cos?2?????π3′
＝2xcos 2?????π3-x2sin2?????π32?????π3′＝2xcos 2?????π3-2x2sin2?????π3.
（3）因为y＝e-xln x，所以y′＝（e-x）′ln x+e-x·1????＝-e-xln x+e?????????＝1?????ln?????????e????.
（4）因为y＝11?2????＝（1?2????）?12，所以y′＝-12（1-2x）?32×（-2）＝11?2????1?2????.
点评：复合函数求导时，要逐渐层进行，有几重复合，就进行几次求导.
?
类题通法
求复合函数导数的步骤：

随堂小测
1.已知函数f（x）＝（2x-1）2+132，且f ′（x0）＝12，则x0的值为 （??）
A.72 B.2 C.32 D.132
?
B
2.已知函数 ，则????′π3等于　　　　.
?
1
3.已知函数????(????)＝cos2（π?3????），则????′????=　　 　　.
?
?3sin?6????
?
4.已知直线????＝????+2与曲线????＝ln?（????+????）相切，则????＝　　　　.
?
3
5.日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.
已知将1 t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为????（????）＝5284100?????（80 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
（1）90%； （2）98%.
?
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.
（1）因为????′（90）＝5284100?902＝52.84，所以，净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨.
（2）因为????′（98）＝5284100?982＝1 321，所以，净化到纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1 321元/吨.
?
6.某个弹簧振子在振动过程中的位移????（单位：mm）与时间????（单位：s）之间的关系为
.求函数????在????＝3?s时的导数，并解释它的实际意义.
?
解：函数 可以看作函数????＝18sin?????和????＝2π3?????π2的复合函数，根据复合函数的求导法则，有
????′????＝????′????·????′????
?＝（18sin?????）′?2π3?????π2
?＝18cos?????×2π3
? ＝12πcos2π3?????π2.
当????＝3时，????′????＝12πcos3π2＝0.
它表示当????＝3?s时，弹簧振子振动的瞬时速度为0 mm/s.
?
7.设函数f（x）＝ax+1????+????（a，b∈Z），曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y＝3.
（1）求f（x）的解析式；
（2）求证曲线y＝f（x）上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值.
?
（1）解：f ′（x）＝a-1????+????2，于是2????+12+????＝3，?????12+????2＝0，解得????＝1，????＝?1或????＝94，????＝?83. 因为a，b∈Z，所以f（x）＝x+1?????1.
（2）证明：在曲线上任取一点????0，????0+1????0?1，由f ′（x0）＝1-1????0?12，
　 知过此点的切线方程为y-????02?????0+1????0?1＝1?1????0?12 （x-x0）.
　 令x＝1，得y＝????0+1????0?1，所以切线与直线x＝1的交点为1，????0+1????0?1.
　 令y＝x，得y＝2x0-1，所以切线与直线y＝x的交点为（2x0-1，2x0-1）.
　 直线x＝1与直线y＝x的交点为（1,1）,
从而所围成的三角形的面积为12????0+1????0?1?1×|2x0-1-1|＝122????0?1×|2x0-2|＝2.
　 所以围成的三角形的面积为定值，此定值为2.
?
课堂小结
知识清单：
函数的和与差、积、商的求导法则；简单复合函数的求导法则.
方法归纳：简单复合函数的求导步骤：分解-求导-回代
常见误区：简单复合函数的求导时，复合部分必须逐层求导，不可遗漏.
谢 谢！