高中数学选择性必修第三册RJ·B--6.2 利用导数研究函数的性质-6.2.1 导数与函数的单调性 课件（共32张PPT）

第六章
6.2
利用导数研究函数的性质
6.2.1 导数与函数的单调性
学习目标
1.掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性.
2.会利用导数判断函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间.
3.掌握求函数单调区间的步骤.
核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理
新知学习
在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质.在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化.能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？本节我们就来讨论这个问题.
我们先来研究前面学习过的高台跳水问题.
思考：图（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间????变化的函数?（????）＝?4.9????2+4.8????+11的图象，图（2）是跳水运动员的速度????随时间????变化的函数????（????）＝?′（????）＝?9.8????+4.8的图象.????＝2449，????是函数?（????）的零点.
　????
?


?
?
??????（1）?????????? ?（2）
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
?
观察图象可以发现：
（1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度?随时间????的增加而增加，即?（????）单调递增.相应地，????（????）＝?′（????）>0.
（2）从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度?随时间????的增加而减小，即?（????）单调递减.相应地，????（????）＝?′（????）<0.
?
思考：我们看到，函数?（????）的单调性与?′（????）的正负有内在联系.那么，我们能否由?′（????）的正负来判断函数?（????）的单调性呢？
?
对于高台跳水问题，可以发现：
当????∈（0，????）时，?′（????）>0，函数?（????）的图象是“上升”的，函数?（????）在（0，????）上单调递增；
当????∈（????，????）时，?′（????）<0，函数?（????）的图象是“下降”的，函数?（????）在（????，????）上单调递减.
这种情况是否具有一般性呢？
?
观察：观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.





（1） （2） （3） （4）

　
　
　

（1）在????上导数大于0，函数单调递增.
（2）在（0，+∞）上导数大于0，函数单调递增；
在（?∞，0）上导数小于0，函数单调递减.
（3）在????上导数大于或等于0，函数单调递增.
（4）在（?∞，0）上导数小于0，函数单调递减；
在（0，+∞）上，导数小于0，函数单调递减.
?
如图，导数?????′（????0）表示函数????＝????（????）的图象在点（????0，????（????0））处的切线的斜率.
可以发现：
在????＝????0处，?????′（????0）>0，切线是“左下右上”的上升式，
函数????（????）的图象也是上升的，函数????（????）在????＝????0附近单调递增；
在????＝????1处，?????′（????1）<0，切线是“左上右下”的下降式，
函数????（????）的图象也是下降的，函数????（????）在????＝????1附近单调递减.

?
一般地，函数????（????）的单调性与导函数?????′（????）的正负之间具有如下的关系：
在某个区间（????，????）上，如果?????′（????）>0，那么函数????＝????（????）在区间（????，????）上单调递增；
在某个区间（????，????）上，如果?????′（????）<0，那么函数????＝????（????）在区间（????，????）上单调递减.
?
思考：如果在某个区间上恒有?????′（????）＝0，那么函数????（????）有什么特性？
?
如果在某个区间内恒有?????′（????）＝0，那么函数????（????）为常数函数；但是在某个区间内，若仅有有限个点所对应的导数值为0，则不能判定????（????）为常数函数.
?
提示：（1）在某个区间内，?????′（????）>0（?????′（????）<0）是函数????（????）在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件.例如，函数????（????）＝????3在定义域（?∞，+∞）上单调递增，但?????′（????）＝3????2≥0.
（2）函数????（????）在（????，????）内单调递增（减）的充要条件是?????′（????）≥0（?????′（????）≤0）在（????，????）内恒成立，且?????′（????）在（????，????）的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间的个别点处有?????′（????）＝0并不影响函数????（????）在该区间的单调性.
?
即时巩固
利用导数判断下列函数的单调性：
（1）????（????）＝????3+3????；
（2）????（????）＝sin??????????，????∈（0，π）；
（3）????（????）＝?????1????.
?
解：（1）因为????（????）＝????3+3????，
所以?????′（????）＝3????2+3＝3（????2+1）>0.
所以，函数????（????）＝????3+3????在????上单调递增，
如图（1）所示.
?
（1）
（2）因为????（????）＝sin??????????，????∈（0，π），
所以?????′（????）＝cos??????1<0.
所以，函数????（????）＝sin??????????在（0，π）上单调递减，如图（2）所示.
（3）因为????（????）＝1?1????，????∈（?∞，0）∪（0，+∞），
所以?????′（????）＝1????2>0.
所以，函数????（????）＝1?1????在区间（?∞，0）和（0，+∞）上单调递增，如图（3）所示.
?

　
　

（2） （3）
一般地，
（1）如果在区间（a，b）内，f ′（x）>0，则曲线y＝f（x）在区间（a，b）对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0，曲线呈上升状态，因此f（x）在（a，b）上是增函数，如图所示；
（2）如果在区间（a，b）内，f ′（x）<0，则曲线y＝f（x）在区间（a，b）对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0，曲线呈下降状态，因此f（x）在（a，b）上是减函数，如图所示.

请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考在某个区间上单调的函数????＝????（????）的平均变化率的几何意义与?????′（????）的正负的关系.
?
在区间（????，????）内，任取????（????1，????（????1）），????（????2，????（????2））两点，则函数????（????）的平均变化率 ，其几何意义为直线????????的斜率.
?
利用上述性质，我们可以求出函数的单调区间.
知识应用：我们试画出如下条件的函数????（????）图象的大致形状.
已知导函数?????′（????）的下列信息：
当10；当????<1，或????>4时，?????′（????）<0；
当????＝1，或????＝4时，?????′（????）＝0.
?
解：当10，可知????（????）在区间（1，4）上单调递增；
当????<1，或????>4时，?????′（????）<0，可知????（????）在区间（?∞，1）和（4，+∞）上都单调递减；
当????＝1，或????＝4时，?????′（????）＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”.
综上，函数????（????）图象的大致形状如图所示.
?
问题：求函数????（????）＝13????3?12????2?2????+1的单调区间.
解：函数????（????）＝13????3?12????2?2????+1的定义域为????.
对????（????）求导数，得
?????′（????）＝????2??????2＝（????+1）（?????2）.
令?????′（????）＝0，解得????＝?1，或????＝2.
????＝?1和????＝2把函数定义域划分成三个区间，?????′（????）在各区间上的正负，以及????（????）的单调性如下表所示.
?
问题研究：形如????（????）＝????????3+????????2+????????+????（????≠0）的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性.
?

???
???
???
????
（?∞，?1）
?1
（?1，2）
2
（2，+∞）
?????′（????）
+
0
?
0
+
????（????）
单调递增
????（?1）＝136
单调递减
????（2）＝?73
单调递增
单调递增
单调递减
单调递增
所以，????（????）在（?∞，?1）和（2，+∞）上单调递增，在（?1，2）上单调递减，
如图所示.
?
如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？
运用单调性的定义求解本题时，应先在定义域内任取????1，????2（????1?
总结
求函数的单调区间，就是解不等式f ′（x）>0或f ′（x）<0，不等式的解集就是所求的单调区间，求解步骤如下：
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求出f ′（x）；
（3）解不等式f ′（x）>0可得函数f（x）的单调递增区间，解不等式f ′（x）<0可得函数f（x）的单调递减区间.
探究：研究对数函数????＝ln?????与幂函数????＝????3在区间（0，+∞）上增长快慢的情况.
?

??????　

对数函数????＝ln?????的导数为????′＝1????>0（????∈（0，+∞）），所以????＝ln?????在区间（0，+∞）上单调递增.当????越来越大时，????′＝1?????越来越小，所以函数????＝ln?????递增得越来越慢，图象上升得越来越“平缓”（如图（1））.
幂函数????＝????3的导数为????′＝3????2>0（????∈（0，+∞）），所以????＝????3在区间（0，+∞）上单调递增.当????越来越大时，????′＝3????2越来越大，函数????＝????3递增得越来越快，图象上升得越来越“陡峭”（如图（2））.
?
（1）?????????????（2）
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.
总结：函数的变化快慢与导数的关系
即时巩固
　设????>0，????（????）＝ln?????，????（????）＝1?1????，两个函数的图象如图所示.
判断????（????），????（????）的图象与????1，????2 之间的对应关系.
?
解：因为????（????）＝ln?????，????（????）＝1?1????，
所以?????′（????）＝1????，????′（????）＝1????2.
当????＝1时，?????′（????）＝????′（????）＝1；
当0?????′（????）>1；
当????>1时，0 所以，????（????），????（????）在（0，+∞）上都是增函数.
在区间（0，1）上，????（????）的图象比????（????）的图象要
“陡峭”；在区间（1，+∞）上，????（????）的图象比????（????）
的图象要“平缓”.
所以，????（????），????（????）的图象依次是图中的????2，????1.
?
典例剖析
例1 已知函数f（x）的图像如图所示，下列四个图像中f ′（x）
（其中f ′（x）是函数f（x）的导函数）的图像大致是（　　）



A B C D
解析：由题中函数图像可知，函数在（-∞，0）上先单调递减再单调递增，最后单调递减，在（0，+∞）上单调递增，则其导函数在（-∞，0）上，由左往右先小于零，再大于零，最后小于零，故排除A，B；在（0，+∞）上大于零，故排除C，故选D.
答案：D
方法技巧
函数图像的辨识可以从以下几个方面入手
（1）从函数的定义域，判断图像在左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置.
（2）从函数的单调性，判断图像的变化趋势.
（3）从函数的奇偶性，判断图像的对称性.
（4）从函数的特殊点入手，排除不符合要求的图像.总之，利用上述方法排除、筛选选项.
规律总结
原函数与导函数图像问题的解读
（1）函数图像的单调性可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图像上升，符号为负，图像下降，看导函数图像时，主要是看图像在x轴上方还是下方，即关心导数的正负，而不是其单调性.解决问题时，一定要分清是函数图像还是导函数图像.
（2）记忆口诀：“原函数看增减，导函数看正负”.
例2 求下列函数的单调区间.
（1）y＝x3-12x2-2x+5；（2）f（x）＝ex+e-x；（3）y＝????2????+x（k>0）；（4）y＝2x2-ln x.
?
解题提示 观察分析各函数的结构特点，确定函数定义域，求导，再求单调区间.
解（1）y′＝3x2-x-2＝（3x+2）（x-1）.当x∈?∞，?23∪（1，+∞）时，y′>0，当x∈?23，1时，y′<0，
∴ 函数y的单调递增区间为?∞，?23，（1，+∞），单调递减区间为?23，1.
（2）f ′（x）＝ex-e-x＝e2?????1e????，令f ′（x）>0，得x>0，令f ′（x）<0，得x<0，
∴ f（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，0）.
（3）y′＝1-????2????2，当x∈（-∞，-k）∪（k，+∞）时，y′>0；当x∈（-k，0）∪（0，k）时，y′<0，
∴ 函数y的单调递增区间为（-∞，-k），（k，+∞），单调递减区间为（-k，0），（0，k）.
（4）y′＝4x-1????＝4????2?1????，函数的定义域为（0，+∞）.当x∈0，12时，y′<0；当x∈12，+∞时，y′>0，
∴ 函数y的单调递增区间为12，+∞，单调递减区间为0，12.
?
类题通法
利用导数求函数的单调区间的方法
求可导函数f（x）的单调区间一般有两种方法：一种是解不等式法；另一种是列表法.
（1）用解不等式法求单调区间的步骤：
①确定函数f（x）的定义域；②求导函数f ′（x）；③解不等式f ′（x）>0（或f ′（x）<0），
并写出解集；④根据③的结果确定函数f（x）的单调区间.
（2）用列表法求单调区间的步骤：
①确定函数f（x）的定义域；②求导函数f ′（x）；③解方程f ′（x）＝0；④列表；⑤得出结论.
例3 设g（x）＝ln x-ax2+（a-2）x，a<0，试讨论函数g（x）的单调性.
解题提示 先对原函数求导得g′（x）＝-????????+12?????1????（x>0），再对a分类讨论得函数 g（x）的单调性.
解 由题意可知g′（x）＝1????-2ax+a-2＝-????????+12?????1????（x>0）.∵ a<0，g′（x）＝-????????+1????2?????1????（x>0），
（1）当a<-2时，∵ -1????<12，∴ g′（x）＝-????????+1????2?????1????>0等价于????+1????（2x-1）>0，
易得函数g（x）在0,?1????和12,+∞上单调递增，同理可得在?1????,12上单调递减；
（2）当a＝-2时，g′（x）＝2?????12????≥0恒成立，∴ 函数g（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）当-212，∴ g′（x）＝-????????+1????2?????1????>0等价于????+1????（2x- 1）>0，
易得函数g（x）在0,12和?1????,+∞上单调递增，同理可得在12,?1????上单调递减.
?
类题通法
利用导数研究含参函数f（x）的单调区间的一般步骤
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求导数f ′（x）；
（3）分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；
（4）在不同的参数范围内，解不等式f ′（x）>0和f ′（x）<0，确定函数f（x）的单调区间.
例4 若函数h（x）＝ln x-12ax2-2x（a≠0）在［1，4］上单调递减，求实数a的取值范围.
?
解题提示 分析原函数的定义域，对原函数求导，然后根据h（x）在［1，4］上单调递减，得到h′（x）≤0恒成立，从而可分离参数a，求其范围.
解 因为h（x）＝ln x-12ax2-2x，x∈（0，+∞），所以h′（x）＝1????-ax-2.
因为h（x）在［1，4］上单调递减，所以当x∈［1，4］时，h′（x）＝1????-ax-2≤0恒成立，即a≥1????2-2????恒成立，
令G（x）＝1????2-2????，x∈［1，4］，则a≥G（x）最大值，而G（x）＝1?????12-1.
因为x∈［1，4］，所以1????∈14,1，所以G（x）最大值＝-716（此时x＝4），所以a≥-716.
当a＝-716时，h′（x）＝1????+716x-2＝16+7????2?32????16????＝7?????4?????416????.
因为x∈［1，4］，所以h′（x）＝7?????4?????416????≤0，即h（x）在［1，4］上为减函数.
故实数a的取值范围是?716,+∞.
?
类题通法
已知函数的单调性求参数取值范围的解题思路
（1）可导函数在区间（a，b）上单调，实际上就是在该区间上f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0）恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围，注意检验等号成立时导数是否在（a，b）上恒为0.
（2）如函数在某个区间上恒增或恒减问题，导函数不方便分离参数，且为二次函数时，可以借助二次函数的性质对问题进行研究.方法一：直接分类讨论函数的最值；方法二：可以借助函数的图像研究.
?
随堂小测
1.已知?????′（????）是????（????）的导函数，?????′（????）的图象如图所示，
则????（????）的图象只可能是（? ）
?




A B C D
D
2.函数????＝????3?2????2+????+1的单调递增区间为 （ ）
?
A. B. C. D.
C
3.已知函数????（????）＝?????????1????+1?ln?????在［1，+∞）上是减函数，则实数????的取值范围为（? ）
A.????<1 B. ????≤2 C.?????<2 D. ????≤3
?
B
4.证明：函数????（????）＝2????2?ln?????在区间12，+∞上单调递增，在区间0，12上单调递减.
?
证明：函数的定义域为（0，+∞）.?????′（????）＝4?????1????＝
当????∈12，+∞时，2????+1>0，2?????1>0，????>0，∴?????′????>0，
∴?????（????）在12，+∞上单调递增.
当????∈0，12时，2????+1>0，2?????1<0，????>0，∴?????′????<0，
∴?????（????）在0，12上单调递减.
?
5.证明不等式sin x?
证明：（1）先证x∈0，π2时，sin x设f（x）＝sin x-x，x∈0，π2，f ′（x）＝cos x-1<0，所以f（x）在0，π2上单调递减.
又f（0）＝sin 0-0＝0，故x∈0，π2时，f（x）（2）再证x∈0，π2时， x设g（x）＝x-tan x，显然g（x）在0，π2上有定义.
因为g ′（x）＝1-1cos2????，由x∈0，π2，知1cos2????>1，g ′（x）<0，
所以g（x）在0，π2上单调递减.
又g（0）＝0，故x∈0，π2时，g（x）综上所述，当x∈0，π2时，有sin x?
课堂小结
知识清单：
单调性与导函数；利用导数研究函数图象与单调性的关系；利用导数判断函数的单调性；利用导数求函数的单调区间
方法归纳： 利用函数的导数大小判断函数单调性，图像法判断函数的单调性
常见误区：求函数单调区间时，容易忽略函数的定义域.
谢 谢！