教科版（2019） 必修 第二册全册综合培优课 练习题 （含答案）

培优课(一)　平抛运动的规律及应用
1．如图所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，O为圆心，AB为沿水平方向的直径．若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中坑壁上的最低点D点；而在C点以初速度v2沿BA方向平抛的小球也能击中D点．已知∠COD＝60°，则两小球初速度大小之比v1∶v2(小球视为质点)(　　)
A．1∶2　 B．1∶3　
C．∶3　 D．∶2
2．(2016·海南卷)在地面上方某点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，则小球在随后的运动中(　　)
A．速度和加速度的方向都在不断变化
B．速度与加速度方向之间的夹角一直减小
C．在相等的时间间隔内，速率的改变量相等
D．在相等的时间间隔内，动能的改变量相等
3．(2017·全国卷Ⅰ)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)．速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网．其原因是(　　)
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
4．图为“快乐大冲关”节目中某个环节的示意图．参与游戏的选手会遇到一个人造山谷OAB，OA是高h＝3 m的竖直峭壁，AB是以O点为圆心的弧形坡，∠AOB＝60°，B点右侧是一段水平跑道。选手可以自O点借助绳索降到A点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自O点直接跃上跑道．选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.(　　)
(1)若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，求v0的最小值；
(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，求该选手在空中的运动时间．
5．如图所示，民俗运动会中有一种掷飞镖游戏比赛项目，比赛中某选手站在靶的正前方手持飞镖将其水平掷出，飞镖出手瞬间的位置高出靶心O点h＝0.2 m，离靶面水平距离L＝2 m，若将飞镖在空中的运动看作平抛运动，并且刚好击中靶心，飞镖可视为质点，求：
(1)飞镖的初速度大小；
(2)飞镖击中靶心前瞬间的速度大小和方向(用与水平方向所成的夹角θ的正切值来表示)；
(3)若飞镖击中以靶心O为圆心、半径R＝10 cm的圆形范围内为有效成绩并得分，设飞镖每次水平掷点位置不变，且飞镖只在与靶面垂直的竖直面内运动，则飞镖水平掷出的初速度大小在什么范围内时才可以得分？
培优课(二)　圆周运动中的临界问题
1．质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A．a绳的张力随角速度的增大而增大
B．当角速度ω＞时，b绳开始出现弹力
C．只要a，b绳夹角θ不变，a绳上张力一定不变
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
2．(多选)如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕O点的水平轴自由转动．现给小球一初速度，使它在竖直平面内做圆周运动，图中a、b分别表示小球运动轨道的最低点和最高点，则杆对小球的作用力可能是(　　)
A．a处为拉力，b处为拉力 B．a处为拉力，b处为支持力
C．a处为支持力，b处为拉力 D．a处为支持力，b处为支持力
3．质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，如图所示．经过最高点而不脱离轨道的速度临界值是v，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力值是(　　)
A．0　　　　　　　　　 B．mg
C．3mg D．5mg
4． (多选)如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A．B的向心力是A的向心力的2倍
B．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
C．A、B都有沿半径向外滑动的趋势
D．若B先滑动，则B对A的动摩擦因数μA小于盘对B的动摩擦因数μB
5．一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与水一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m＝0.5 kg，水的重心到转轴的距离l＝60 cm.(g取9.8 m/s2)
(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率．
(2)若在最高点时水桶的速率v＝3 m/s，求水对桶底的压力．
培优课(三)　万有引力定律的综合应用
1．我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星．某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G.由此可求出S2的质量为(　　)
A．　　　　　　 B．
C． D．
2．如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1上绕地球运动，近地点Q到地心O的距离为a远地点P到地心O的距离为b，在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动，已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g.则(　　)
A．卫星在轨道1上运动经过Q点时，速率为
B．卫星在轨道1上运动经过P点时，速率大于
C．卫星在轨道2上运动经过P点时，速率大于
D．卫星在轨道2上运动经过P点时，加速度大小为
3．(2014·海南卷)设地球自转周期为T，质量为M.引力常量为G.假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R.同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为(　　)
A． B．
C． D．
4．(多选)纳米材料的抗拉强度几乎比钢材还高出100倍，使人们设想的太空电梯成为可能．其工作原理是从同步卫星高度的太空站竖直放下由纳米材料做成的太空电梯，固定在赤道上，这样太空电梯随地球一起旋转，如图所示．关于太空电梯仓停在太空电梯中点P时，下列对于太空电梯仓说法不正确的是(　　)
A．处于平衡状态
B．速度比同步卫星大
C．向心加速度比同高度卫星的小
D．处于完全失重状态
5．宇航员驾驶宇宙飞船到达月球，他在月球表面做了一个实验：在离月球表面高度为h处，将一小球以初速度v0水平抛出，水平射程为x.已知月球的半径为R，万有引力常量为G.不考虑月球自转的影响．求：
(1)月球表面的重力加速度大小g0．
(2)月球的质量M．
(3)飞船在近月圆轨道绕月球做匀速圆周运动的速度v．
培优课(四)　功和功率
1．(多选)关于摩擦力对物体做功，下列说法正确的是(　　)
A．滑动摩擦力总是做负功
B．滑动摩擦力可能做负功，可能做正功，也可能不做功
C．静摩擦力对物体可以做负功
D．静摩擦力对物体总是做正功或不做功
2．关于一对作用力和反作用力做的功，下列说法正确的是(　　)
A．如果其中一个力做正功，则另一个力必做负功
B．一对作用力与反作用力做功可能都为零
C．这两个力一定同时都做正功或同时都做负功
D．一对作用力与反作用力做功的代数和必为零
3．一根光滑金属杆，一部分为直线形状并与x轴负方向重合，另一部分弯成图示形状，相应的曲线方程为y＝－5x2.(单位：m)，一质量为0.1 kg的金属小环套在上面．t＝0时刻从x＝－1 m处以v0＝1 m/s向右运动，并相继经过x＝1 m的A点和x＝2 m的B点，下列说法正确的是(　　)
A．小环在B点与金属环间的弹力大于A点的弹力
B．小环经过B点的加速度大于A点时的加速度
C．小环经过B点时重力的瞬时功率为20W
D．小环经过B点的时刻为t＝2 s
4．如图所示，在水平面上，有一弯曲的槽道弧AB，槽道由半径分别为和R的两个半圆构成，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿滑槽道拉至B点，若拉力F的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为(　　)
A．0 B．FR
C．πFR D．2πFR
5．(多选)位于水平面上的物体在水平恒力F1作用下，做速度为v1的匀速运动；若作用力变为斜向上的恒力F2，物体做速度为v2的匀速运动，且F1与F2功率相同．则可能有(　　)
A．F2＝F1，v1>v2 B．F2＝F1，v1C．F2>F1，v1>v2 D．F2培优课(五)　动能定理的应用
1．一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图所示，则力F所做的功为(　　)
A．mglcos θ　　　　　 B．Flsin θ
C．mgl(1－cos θ) D．Fl
2．如图所示，楔形木块固定在水平面上，它的两个光滑斜面倾角不同，α＜β.a、b两质点从木块的顶点开始，分别沿左右两斜面由静止下滑到底端时，能正确反映它们下滑过程的运动图象是(　　)
3．(2017·全国卷Ⅲ)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的(　　)
A．周期变大　　　　 B．速率变大
C．动能变大 D．向心加速度变大
4．质量为m的小球被系在轻绳的一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动如图所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用，设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子张力为7mg，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为(　　)
A．mgR　　　　　　　 B．mgR
C．mgR D．mgR
5．如图所示，一工件置于水平地面上，其AB段为一半径R＝1.0 m的光滑圆弧轨道，BC段为一长度L＝0.5 m的粗糙水平轨道，二者相切于B点，整个轨道位于同一竖直平面内，P点为圆弧轨道上的一个确定点．一可视为质点的物块，其质量m＝0.2 kg，与BC间的动摩擦因数μ1＝0.4.若工件固定，将物块由P点无初速度释放，滑至C点时恰好静止，求：
(1)P、C两点间的高度差h．
(2)若将物块从圆弧轨道上更高的一个位置无初速释放，物块从C点滑出的速度是2 m/s，求释放位置与C点的高度差．
培优课(六)　机械能守恒定律的应用
1． (多选)如图所示，斜面体置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是(　　)
A．物体的重力势能减少，动能增加
B．斜面体的机械能不变
C．斜面对物体的弹力垂直于接触面，不对物体做功
D．物体和斜面组成的系统机械能守恒
2．如图所示，一根跨过光滑定滑轮的轻绳，两端各有一杂技演员(可视为质点)，a站在地面上，b从图示的位置由静止开始向下摆动，运动过程中绳始终处于伸直状态，当演员b摆至最低点时，a刚好对地面无压力，则演员a的质量与演员b的质量之比为(　　)
A．1∶1　　 B．2∶1　　
C．3∶1　　 D．4∶1
3．(2016·海南卷)如图，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动．已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N1，在高点时对轨道的压力大小为N2，重力加速度大小为g，则N1－N2的值为(　　)
A．3mg B．4mg
C．5mg D．6mg
4． (多选)如图所示，A、B两球的质量相等，A球挂在不能伸长的绳上，B球挂在轻质弹簧上，把两球都拉到水平位置，然后释放，若小球通过悬点O正下方的C点时，弹簧和绳子等长，则(　　)
A．在C点A、B两球的动能相等
B．A、B两球重力势能的减少量相等
C．A球的机械能守恒
D．B球的机械能守恒
5．如图所示，质量不计的轻杆一端安装在水平轴O上，杆的中央和另一端分别固定一个质量均为m的小球A和B(可以当作质点)，杆长为l，将轻杆从静止开始释放，不计空气阻力．当轻杆通过竖直位置时，小球A、B的速度各是多少？
答案：
培优课(一)　平抛运动的规律及应用
1．如图所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，O为圆心，AB为沿水平方向的直径．若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中坑壁上的最低点D点；而在C点以初速度v2沿BA方向平抛的小球也能击中D点．已知∠COD＝60°，则两小球初速度大小之比v1∶v2(小球视为质点)(　　)
A．1∶2　 B．1∶3　
C．∶3　 D．∶2
解析：小球从A点平抛，可得：R＝v1t1，R＝gt
小球从C点平抛，可得：Rsin 60°＝v2t2，R(1－cos 60°)＝gt
联立解得：＝，故选项C正确．
答案：C
2．(2016·海南卷)在地面上方某点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，则小球在随后的运动中(　　)
A．速度和加速度的方向都在不断变化
B．速度与加速度方向之间的夹角一直减小
C．在相等的时间间隔内，速率的改变量相等
D．在相等的时间间隔内，动能的改变量相等
解析：由于物体只受重力作用，做平抛运动，故加速度不变，速度大小和方向时刻在变化，选项A错误；设某时刻速度与竖直方向夹角为θ，则tan θ＝＝，随着时间t变大，tan θ变小，θ变小，故选项B正确；根据加速度定义式a＝＝g，则Δv＝gΔt，即在相等的时间间隔内，速度的改变量相等，故选项C错误；根据动能定理，在相等的时间间隔内，动能的改变量等于重力做的功，即WG＝mgh，对于平抛运动，由于在竖直方向上，在相等时间间隔内的位移不相等，故选项D错误．
答案：B
3．(2017·全国卷Ⅰ)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)．速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网．其原因是(　　)
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
解析：在竖直方向，球做自由落体运动，由h＝gt2知，选项A、D错误．由v＝2gh知，选项B错误．在水平方向，球做匀速直线运动，通过相同水平距离，速度大的球用时少，选项C正确．
答案：C
4．图为“快乐大冲关”节目中某个环节的示意图．参与游戏的选手会遇到一个人造山谷OAB，OA是高h＝3 m的竖直峭壁，AB是以O点为圆心的弧形坡，∠AOB＝60°，B点右侧是一段水平跑道。选手可以自O点借助绳索降到A点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自O点直接跃上跑道．选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.(　　)
(1)若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，求v0的最小值；
(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，求该选手在空中的运动时间．
解析：(1)若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，则：hsin 60°≤v0t，hcos 60°＝gt2
解得：v0≥ m/s
(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，因v1＜v0，人将落在弧形坡上
下降高度：y＝gt2，水平前进距离：x＝v1t，且：x2＋y2＝h2
联立解得：t＝0.6 s
答案：(1) m/s　(2)0.6 s
5．如图所示，民俗运动会中有一种掷飞镖游戏比赛项目，比赛中某选手站在靶的正前方手持飞镖将其水平掷出，飞镖出手瞬间的位置高出靶心O点h＝0.2 m，离靶面水平距离L＝2 m，若将飞镖在空中的运动看作平抛运动，并且刚好击中靶心，飞镖可视为质点，求：
(1)飞镖的初速度大小；
(2)飞镖击中靶心前瞬间的速度大小和方向(用与水平方向所成的夹角θ的正切值来表示)；
(3)若飞镖击中以靶心O为圆心、半径R＝10 cm的圆形范围内为有效成绩并得分，设飞镖每次水平掷点位置不变，且飞镖只在与靶面垂直的竖直面内运动，则飞镖水平掷出的初速度大小在什么范围内时才可以得分？
解析：飞镖在空中的运动看作平抛运动，由平抛运动规律求出飞镖的初速度大小和飞镖击中靶心前瞬间的速度大小和方向，飞镖落在最上端，掷出的初速度最大，飞镖落在最下端，掷出的初速度最小．
(1)由平抛运动竖直方向：h＝gt2，得到t＝0.2s
水平方向：L＝v0t，得到：v0＝10 m/s；
(2)竖直速度：vy＝gt＝2 m/s
合速度：v＝＝ m/s，方向：tan θ＝＝0.2
(3)水平方向：L＝v0t
落在最上端，竖直方向：y1＝h－0.1 m＝0.1 m，又因为y1＝gt2得到：t1＝s
初速度v1＝10 m/s≈14.1 m/s
落在最下端，竖直方向：y2＝h＋0.1＝0.3 m，得到：t1＝s
初速度v2＝ m/s
故速度范围为： m/s＜v＜14.1 m/s
答案：(1)10 m/s　 (2)0.2 　(3) m/s＜v＜14.1 m/s
培优课(二)　圆周运动中的临界问题
1．质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A．a绳的张力随角速度的增大而增大
B．当角速度ω＞时，b绳开始出现弹力
C．只要a，b绳夹角θ不变，a绳上张力一定不变
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
解析：小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以a绳在竖直方向上的分力与重力相等，Fasin θ＝mg，解得Fa＝，可知a绳的拉力不变，故A错误，C正确；当b绳拉力为零时，有＝mlω2，解得ω＝ ，可知当角速度ω＞时，b绳出现弹力，故B错误；由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，故D错误；故选C．
答案：C
2．(多选)如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕O点的水平轴自由转动．现给小球一初速度，使它在竖直平面内做圆周运动，图中a、b分别表示小球运动轨道的最低点和最高点，则杆对小球的作用力可能是(　　)
A．a处为拉力，b处为拉力 B．a处为拉力，b处为支持力
C．a处为支持力，b处为拉力 D．a处为支持力，b处为支持力
解析：小球在a处受到竖直向下的重力，因此小球在a处一定受到杆的拉力，因为小球在最低点时所需向心力沿杆由a指向圆心O，所以向心力是杆对球的拉力和重力的合力．
小球在最高点b时杆对球作用力有三种情况：
(1)杆对球恰好没有作用力，这时小球重力提供向心力，设此时小球速度为v临，由mg＝m，得v临＝．
(2)当小球在b点时，若v>v临，杆对小球有向下的拉力．
(3)当小球在b点时，若0故选项A、B正确．
答案：AB
3．质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，如图所示．经过最高点而不脱离轨道的速度临界值是v，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力值是(　　)
A．0　　　　　　　　　 B．mg
C．3mg D．5mg
解析：mg＝m①
mg＋FN＝m②
由①②式解得FN＝3mg．
答案：C
4． (多选)如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A．B的向心力是A的向心力的2倍
B．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
C．A、B都有沿半径向外滑动的趋势
D．若B先滑动，则B对A的动摩擦因数μA小于盘对B的动摩擦因数μB
解析：因为A、B两物体随圆盘一起转动，轨迹半径相等，角速度大小相等，根据F向＝mω2r，又因为两物块的质量相等，则向心力相等，故A错误；摩擦力提供向心力，对AB整体受力分析：fb＝2m·ω2r，对A受力分析：fa＝m·ω2r，则盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍，故B正确；A所受的静摩擦力方向指向圆心，可知A有沿半径向外滑动的趋势，B受到盘的静摩擦力方向指向圆心，有沿半径向外滑动的趋势，故C正确；对AB整体受力分析，fb＝μB·2mg＝2m·ωr，得B能产生的最大向心加速度ωB＝ ，对A受力分析，fa＝μAmg＝mωr，得A能产生的最大向心加速度ωA＝ ，B先滑动，即B先达到临界角速度，可知B的临界角速度较小，所以μB＜μA，故D错误．
答案：BC
5．一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与水一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m＝0.5 kg，水的重心到转轴的距离l＝60 cm.(g取9.8 m/s2)
(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率．
(2)若在最高点时水桶的速率v＝3 m/s，求水对桶底的压力．
解析：(1)在最高点水恰好不流出的条件是：水自身的重力恰好等于水做圆周运动所需的向心力，即mg＝m
则所求的最小速率为v0＝≈2.42 m/s．
(2)由向心力公式Fn＝m可知，当v增大时，物体做圆周运动所需的向心力也随之增大，由于v＝3 m/s>2.42 m/s，因此，当水在最高点时，水自身的重力已不足以提供水做圆周运动所需的向心力，此时桶底对水有一向下的压力，设为FN，则由牛顿第二定律有FN＋mg＝m
所以FN＝m－mg＝2.6 N．
根据牛顿第三定律知，水对桶底的压力大小为2.6 N，方向竖直向上．
答案：(1)2.42 m/s　(2)2.6 N　方向竖直向上
培优课(三)　万有引力定律的综合应用
1．我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星．某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G.由此可求出S2的质量为(　　)
A．　　　　　　 B．
C． D．
解析：设星体S1和S2的质量分别为m1、m2，星体S1做圆周运动的向心力由万有引力提供得G＝m12r1，即m2＝.故选项D正确．
答案：D
2．如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1上绕地球运动，近地点Q到地心O的距离为a远地点P到地心O的距离为b，在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动，已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g.则(　　)
A．卫星在轨道1上运动经过Q点时，速率为
B．卫星在轨道1上运动经过P点时，速率大于
C．卫星在轨道2上运动经过P点时，速率大于
D．卫星在轨道2上运动经过P点时，加速度大小为
解析：A、卫星在轨道1上不是匀速圆周运动，故万有引力不等于向心力，故不能求解出Q点速度大小，故A错误；B、C、卫星在轨道2上做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，故G＝m，解得v＝ ，其中g＝，故v＝ ；在轨道1经过P点要加速才能转移到轨道2，故卫星在轨道1上运动经过P点时，速率小于，故B错误，C错误；D、卫星在轨道2上运动经过P点时，加速度大小a′＝＝＝，根据g＝，有a′＝，故D正确；故选D．
答案：D
3．(2014·海南卷)设地球自转周期为T，质量为M.引力常量为G.假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R.同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为(　　)
A． B．
C． D．
解析：假设物体质量为m，物体在南极受到的支持力为N1，则N1＝G；假设物体在赤道受到的支持力为N2，则G－N2＝mR；联立可得＝，故选项A正确．
答案：A
4．(多选)纳米材料的抗拉强度几乎比钢材还高出100倍，使人们设想的太空电梯成为可能．其工作原理是从同步卫星高度的太空站竖直放下由纳米材料做成的太空电梯，固定在赤道上，这样太空电梯随地球一起旋转，如图所示．关于太空电梯仓停在太空电梯中点P时，下列对于太空电梯仓说法不正确的是(　　)
A．处于平衡状态
B．速度比同步卫星大
C．向心加速度比同高度卫星的小
D．处于完全失重状态
解析：电梯做圆周运动，有加速度，受力不平衡，A错误；电梯的角速度和同步卫星的角速度相等，而轨道半径比同步卫星的小，根据v＝rω知线速度比同步卫星小，B错误；根据G＝mω2r可得ω＝，同高度卫星和同步卫星相比，同高度卫星比同步卫星的角速度大，即同高度卫星的角速度比电梯的角速度大，即根据a＝ω2r知向心加速度比同高度卫星的小，C正确；完全失重时的重力充当向心力，而电梯仓除重力外还受电梯作用，D错误．
答案：ABD
5．宇航员驾驶宇宙飞船到达月球，他在月球表面做了一个实验：在离月球表面高度为h处，将一小球以初速度v0水平抛出，水平射程为x.已知月球的半径为R，万有引力常量为G.不考虑月球自转的影响．求：
(1)月球表面的重力加速度大小g0．
(2)月球的质量M．
(3)飞船在近月圆轨道绕月球做匀速圆周运动的速度v．
解析：设飞船质量为m
(1)设小球落地时间为t，根据平抛运动规律
水平方向有x＝v0t
竖直方向有h＝g0t2
解得g0＝．
(2)在月球表面忽略地球自转时有G＝mg0
解得月球的质量M＝．
(3)由万有引力定律和牛顿第二定律有G＝m
解得v＝．
答案：(1)　(2)　(3)
培优课(四)　功和功率
1．(多选)关于摩擦力对物体做功，下列说法正确的是(　　)
A．滑动摩擦力总是做负功
B．滑动摩擦力可能做负功，可能做正功，也可能不做功
C．静摩擦力对物体可以做负功
D．静摩擦力对物体总是做正功或不做功
解析：静摩擦力和滑动摩擦力都可以对物体做正功、负功或不做功，故选项B、C正确，选项A、D错误．
答案：BC
2．关于一对作用力和反作用力做的功，下列说法正确的是(　　)
A．如果其中一个力做正功，则另一个力必做负功
B．一对作用力与反作用力做功可能都为零
C．这两个力一定同时都做正功或同时都做负功
D．一对作用力与反作用力做功的代数和必为零
解析：一对作用力和反作用力虽然大小相等，方向相反，但它们作用的物体的位移关系不确定，故这对力做功的关系也不确定．选项B正确，选项A、C、D错误．
答案：B
3．一根光滑金属杆，一部分为直线形状并与x轴负方向重合，另一部分弯成图示形状，相应的曲线方程为y＝－5x2.(单位：m)，一质量为0.1 kg的金属小环套在上面．t＝0时刻从x＝－1 m处以v0＝1 m/s向右运动，并相继经过x＝1 m的A点和x＝2 m的B点，下列说法正确的是(　　)
A．小环在B点与金属环间的弹力大于A点的弹力
B．小环经过B点的加速度大于A点时的加速度
C．小环经过B点时重力的瞬时功率为20W
D．小环经过B点的时刻为t＝2 s
解析：A、若金属小环做平抛运动，则有x＝v0t，h＝gt2＝x2＝5x2，故平抛运动轨迹方程与曲线方程一样，所以金属小环做平抛运动，与金属环间的弹力为0，故A错误；B、金属小环做平抛运动，小环经过B点的加速度等于A点时的加速度，故B错误；C、小环经
过B点的时间t＝＝s＝3 s，所以小环经过B点的时刻为t＝3 s，小环经过B点时vy＝g(t－1)＝20 m/s，所以小环经过B点时重力的瞬时功率为P＝mgvy＝20W，故C正确，D错误．
答案：C
4．如图所示，在水平面上，有一弯曲的槽道弧AB，槽道由半径分别为和R的两个半圆构成，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿滑槽道拉至B点，若拉力F的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为(　　)
A．0 B．FR
C．πFR D．2πFR
解析：虽然拉力方向时刻改变，但力与运动方向始终一致，用微元法，在很小的一段位移内可以看成恒力，小球的路程为πR＋π，则拉力做的功为πFR，故选项C正确．
答案：C
5．(多选)位于水平面上的物体在水平恒力F1作用下，做速度为v1的匀速运动；若作用力变为斜向上的恒力F2，物体做速度为v2的匀速运动，且F1与F2功率相同．则可能有(　　)
A．F2＝F1，v1>v2 B．F2＝F1，v1C．F2>F1，v1>v2 D．F2解析：设F2与水平方向成θ角，由题意可知：F1v1＝F2v2cos θ，由平衡条件有F1＝μmg，F2cos θ＝μ(mg－F2sin θ)，解得v2＝(1＋tan θ)v1，F1＝F2(cos θ＋μsin θ)，则有v1＜v2，但F1、F2的关系无法确定，大于、等于、小于都有可能，故选项B、D正确．
答案：BD
培优课(五)　动能定理的应用
1．一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图所示，则力F所做的功为(　　)
A．mglcos θ　　　　　 B．Flsin θ
C．mgl(1－cos θ) D．Fl
解析：小球缓慢由P→Q过程中，F大小变化，为变力做功．
设力F做功为WF，对小球由P→Q应用动能定理，有
WF－mgl(1－cos θ)＝0
所以WF＝mgl(1－cos θ)，故选项C正确．
答案：C
2．如图所示，楔形木块固定在水平面上，它的两个光滑斜面倾角不同，α＜β.a、b两质点从木块的顶点开始，分别沿左右两斜面由静止下滑到底端时，能正确反映它们下滑过程的运动图象是(　　)
解析：根据牛顿第二定律得：mgsin θ＝ma，因为α＜β，则知ab＞aa，而v t图象的斜率等于加速度；由动能定理mgh＝mv2知，到达斜面底端时二者速度相等，故ABC错误，D正确；故选D．
答案：D
3．(2017·全国卷Ⅲ)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的(　　)
A．周期变大　　　　 B．速率变大
C．动能变大 D．向心加速度变大
解析：天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道运行，根据G＝ma＝＝mr可知，组合体运行的向心加速度、速率、周期不变，质量变大，则动能变大，选项C正确．
答案：C
4．质量为m的小球被系在轻绳的一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动如图所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用，设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子张力为7mg，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为(　　)
A．mgR　　　　　　　 B．mgR
C．mgR D．mgR
解析：小球在运行过程中所受空气阻力大小，方向都变化，是变力，根据最低点绳的张力可求最低点的动能，根据小球恰好能过最高点可求出小球在最高点的动能，根据动能定理可求阻力的功．
设小球通过最低点时绳子张力为FT1，根据牛顿第二定律，有
FT1－mg＝m
将FT1＝7mg代入得Ek1＝mv＝3mgR
经过半个圆周恰能通过最高点，则mg＝m
此时小球的动能Ek2＝mgR
从最低点到最高点应用动能定理，有
－Wf－mg·2R＝Ek2－Ek1
所以Wf＝mgR，故选项C正确．
答案：C
5．如图所示，一工件置于水平地面上，其AB段为一半径R＝1.0 m的光滑圆弧轨道，BC段为一长度L＝0.5 m的粗糙水平轨道，二者相切于B点，整个轨道位于同一竖直平面内，P点为圆弧轨道上的一个确定点．一可视为质点的物块，其质量m＝0.2 kg，与BC间的动摩擦因数μ1＝0.4.若工件固定，将物块由P点无初速度释放，滑至C点时恰好静止，求：
(1)P、C两点间的高度差h．
(2)若将物块从圆弧轨道上更高的一个位置无初速释放，物块从C点滑出的速度是2 m/s，求释放位置与C点的高度差．
解析：(1)物块从P点下滑经B点至C点的整个过程，根据动能定理得mgh－μ1mgL＝0
代入数据解得h＝0.2 m．
(2)物块从释放位置下滑经B点至C点的整个过程，根据动能定理得mgh－μ1mgL＝mv2－0
代入数据解得h＝0.4 m．
答案：(1)0.2 m　(2)0.4 m
培优课(六)　机械能守恒定律的应用
1． (多选)如图所示，斜面体置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是(　　)
A．物体的重力势能减少，动能增加
B．斜面体的机械能不变
C．斜面对物体的弹力垂直于接触面，不对物体做功
D．物体和斜面组成的系统机械能守恒
解析：物体沿斜面下滑，重力势能减少，动能增加，所以选项A正确；斜面体除受重力外，还会在物体对它的压力的作用下向右运动，故其机械能不守恒，选项B错误；由于系统除重力之外的其它力做功代数和为零，所以系统机械能守恒，即选项D正确，系统机械能守恒，而斜面体的机械能增加，所以物体的机械能减少，即斜面体对物体做负功，选项C错误．
答案：AD
2．如图所示，一根跨过光滑定滑轮的轻绳，两端各有一杂技演员(可视为质点)，a站在地面上，b从图示的位置由静止开始向下摆动，运动过程中绳始终处于伸直状态，当演员b摆至最低点时，a刚好对地面无压力，则演员a的质量与演员b的质量之比为(　　)
A．1∶1　　 B．2∶1　　
C．3∶1　　 D．4∶1
解析：设b下摆至悬点正下方时的速度为vb，由动能定理得mbgl(1－cos 60°)＝mbv，设绳的拉力为F，由牛顿第二定律得F－mbg＝mb，此时a刚好对地面无压力，则有F＝mag，以上三式联立可得ma∶mb＝2∶1，选项B正确．
答案：B
3．(2016·海南卷)如图，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动．已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N1，在高点时对轨道的压力大小为N2，重力加速度大小为g，则N1－N2的值为(　　)
A．3mg B．4mg
C．5mg D．6mg
解析：设小球在最低点时速度为v1，在最高点时速度为v2，根据牛顿第二定律，在最低点：N1－mg＝m，在最高点：N2＋mg＝m；从最高点到最低点，根据机械能守恒定律有mv＝mg·2R＋mv，联立可得：N1－N2＝6mg，故选项D正确．
答案：D
4． (多选)如图所示，A、B两球的质量相等，A球挂在不能伸长的绳上，B球挂在轻质弹簧上，把两球都拉到水平位置，然后释放，若小球通过悬点O正下方的C点时，弹簧和绳子等长，则(　　)
A．在C点A、B两球的动能相等
B．A、B两球重力势能的减少量相等
C．A球的机械能守恒
D．B球的机械能守恒
解析：两个小球下落的高度相同，减少的重力势能相等，选项B正确；A球受到绳子的作用力，这个力不做功，A球机械能守恒，选项C正确；弹簧到C点时伸长，具有弹性势能，B球的机械能减少，选项D错误．
答案：BC
5．如图所示，质量不计的轻杆一端安装在水平轴O上，杆的中央和另一端分别固定一个质量均为m的小球A和B(可以当作质点)，杆长为l，将轻杆从静止开始释放，不计空气阻力．当轻杆通过竖直位置时，小球A、B的速度各是多少？
解析：对A、B(包括轻杆)组成的系统，由机械能守恒定律－ΔEp＝ΔEk，得
mg＋mgl＝mv＋mv ①
又因A、B两球的角速度ω相等，则vA＝ω ②
vB＝ωl ③
联立①②③式，代入数据解得vA＝ ，vB＝2 ．
答案：　2