5.2.1 基本初等函数的导数 教学设计

5.2.1 基本初等函数的导数
内容：
巩固理解导数的概念，学习导数的几何意义
内容分析：
导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基础概念.导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大、小值等性质的基本方法，也是解决增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具.
导数的本质是函数的瞬时变化率，即函数平均变化率的极限，通过由割线斜率过渡到切线斜率的过程，由平均变化率的极限引出瞬时变化率，进而建立导数的概念，理解导数概念的几何意义.
极限是人们从微观层面认识世界变化规律的重要工具，导数是一种特殊的极限，蕴含着极限的思想，理解导数的定义，对于发展同学们的数学抽象思想和正确的世界观有着重要的作用.导数的几何意义表明，函数在某点处的导数是函数在相应点处切线的斜率，对于帮助学生理解导数的定义，提升数学能力，发展直观思想素养，有重要的作用.
教学目标：
掌握基本初等函数的导数公式.
学会利用公式求一些函数的导数.
教学重点、难点：
重点：基本初等函数的导数公式及公式的推导过程.
难点：基本初等函数的导数公式及公式推导过程及应用.
三、教学过程设计
（一）旧知回顾
引导学生回顾复习。
1、导数的定义
对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从 变化到，的变化量为，的变化量为
我们把比值，即
叫做函数从到的平均变化率.
当时，平均变化率无限接近一个确定的值，即有极限，则称 在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数(也称瞬时变化率)，
记作或，即
.
从求函数在处导数的过程可以看到，当时，是一个唯一确定的数，这样，当变化时，就是的函数，称它为的导函数，记作：
2、导数的几何意义
在曲线上任取一点，
当点沿着曲线无限接近于点 ，
，割线无限接近于
一个确定的位置，这个确定位置的直线
称为曲线在点处的切线.
导数的几何意义：函数在
处切线的斜率.
.
求函数导数的步骤：
求函数的变化量：；
求平均变化率：；
求导数：.
新知学习
根据导数的定义，求函数的导数，就是求出当时，无限趋近的那个定值.下面我们求几个常用函数的导数.
函数的导数：
因为，
所以，，
若表示路程关于时间的函数，则可以解释为物体瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.
函数的函数
因为
所以
若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.
3、函数的导数
因为
所以
表示函数的图象上点处切线的斜率为说明随着的变化，切线的斜率也在变化.
另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：
当时，随着的增加，越来越小，减少得越来越慢；
函数的导数
因为
所以
表示函数的图象上点处切线的斜率为，这说明随着的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数.
5.函数的导数
因为
所以
探究 ：函数的图象，根据图象，描述它的变化情况，并要求曲线在点（1，1）处的切线方程.
结合函数的图象及其导数发现：
当x<0时，随着x的增加，函数 减少得越来越快；
当x>0时，随着x的增加，函数 减少得越来越慢.
所以曲线在点（1，1）处切线的斜率为-1，
在点（1，1）处切线的切线方程:
6.函数的导数
因为
所以
前面我们根据导数的定义求出了一些常用函数的导数，一般地，有下面的基本初等函数的导数公式表，这些公式可以直接使用.
三、反馈与评价
求下列函数的导数：
4求曲线在点（4，2）处的切线方程.
四、课堂总结
1.导数的定义
对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从 变化到，的变化量为， 的变化量为
我们把比值，即
叫做函数从到的平均变化率.
当时，平均变化率无限接近一个确定的值，即有极限，则称 在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数(也称瞬时变化率)，
记作或，即
.
作业：课本75页1,2,3