5.2.3 简单复合函数的导数 教案

简单复合函数的导数
教学目的：
知识与技能：理解掌握复合函数的求导法则.
过程与方法：可以结合已学过的法则.、公式，进展一些复合函数的求导
情感、态度与价值观：培养学生擅长观察事物，擅长发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．
教学重点：复合函数的求导法则.的概念与应用
教学难点：复合函数的求导法则.的导入与理解
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：提供一个舞台,让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的才能，表达了“自主探究〞，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的才能。
教学过程：
学生探究过程：
一、复习引入：
1.常见函数的导数公式：
；；；
2. 法则.1．
法则.2,
法则.3
二、讲解新课：
1.复合函数:由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数与复合而成的函数一般形式是，其中u称为中间变量．
2.求函数的导数的两种方法与思路：
方法一：；
方法二：将函数看作是函数和函数复合函数，并分别求对应变量的导数如下：
，
两个导数相乘，得
，
从而有
对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y′x时，就可以转化为求yu′和u′x的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.
3.复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，那么复合函数y=f((x))在点x处也有导数，且或者者f′x((x))=f′(u)′(x).
证明：〔教师参考不需要给学生讲〕
设x有增量Δx，那么对应的u，y分别有增量Δu，Δy，因为u=φ(x)在点x可导，所以u=(x)在点x处连续.因此当Δx→0时，Δu→0.
当Δu≠0时，由.且.
∴
即(当Δu＝0时，也成立)
4.复合函数的求导法则.
复合函数对自变量的导数，等于函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数
5.复合函数求导的根本步骤是：分解——求导——相乘——回代．
三、讲解范例：
例1试说明以下函数是怎样复合而成的？
⑴；⑵；
⑶；⑷．
解：⑴函数由函数和复合而成；
⑵函数由函数和复合而成；
⑶函数由函数和复合而成；
⑷函数由函数、和复合而成．
说明：讨论复合函数的构成时，“内层〞、“外层〞函数一般应是根本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．
例2写出由以下函数复合而成的函数：
⑴，；⑵，．
解：⑴；⑵．
例3求的导数．
解：设，，那么
．
注意：在利用复合函数的求导法则.求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个根本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些根本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.
例4求f(x)=sinx2的导数.
解：令y=f(x)=sinu;u=x2
∴=(sinu)′u·(x2)x′=cosu·2x=cosx2·2x=2xcosx2
∴f′(x)=2xcosx2
例5求y=sin2(2x+)的导数.
分析:设u=sin(2x+)时，求u′x，但此时u仍是复合函数，所以可再设v=2x+.
解：令y=u2，u=sin(2x+)，再令u=sinv，v=2x+
∴=y′u(u′v·v′x)
∴y′x=y′u·u′v·v′x=(u2)′u·(sinv)′v·(2x+)′x
=2u·cosv·2=2sin(2x+)cos(2x+)·2
=4sin(2x+)cos(2x+)=2sin(4x+)
即y′x=2sin(4x+)
例6求的导数.
解：令y=，u=ax2+bx+c
∴=()′u·(ax2+bx+c)′x=·(2ax+b)
=(ax2+bx+c)(2ax+b)=
即y′x=
例7求y=的导数.
解：令
∴=()′u·()′x
即y′x=－
例8求y=sin2的导数.
解：令y=u2，u=sin，再令u=sinv，v=
∴·v′x=(u2)′u·(sinv)′v·()′x
=2u·cosv·=2sin·cos·=－·sin
∴y′x=－sin
例9求函数y=(2x2－3)的导数.
分析:y可看成两个函数的乘积，2x2－3可求导，是复合函数，可以先算出对x的导数.
解：令y=uv，u=2x2－3，v=,令v=，ω=1+x2
=(1+x2)′x
=
∴y′x=(uv)′x=u′xv+uv′x
=(2x2－3)′x·+(2x2－3)·
=4x
即y′x=
四、稳固练习：
1．求以下函数的导数(先设中间变量，再求导).
(1)y=(5x－3)4 (2)y=(2+3x)5(3)y=(2－x2)3 (4)y=(2x3+x)2
解：(1)令y=u4，u=5x－3
∴=(u4)′u·(5x－3)′x=4u3·5=4(5x－3)3·5=20(5x－3)3
(2)令y=u5，u=2+3x
∴=(u5)′u·(2+3x)′x=5u4·3=5(2+3x)4·3=15(2+3x)4
(3)令y=u3，u=2－x2
∴=(u3)′u·(2－x2)′x
=3u2·(－2x)=3(2－x2)2(－2x)=－6x(2－x2)2
(4)令y=u2，u=2x3+x
∴=(u2)′u·(2x3+x)′x
=2u·(2·3x2+1)=2(2x3+x)(6x2+1)=24x5+16x3+2x
2.求以下函数的导数(先设中间变量，再求导)(n∈N*)
(1)y=sinnx(2)y=cosnx(3)y=tannx(4)y=cotnx
解：(1)令y=sinu，u=nx
=(sinu)′u·(nx)′x=cosu·n=ncosnx
(2)令y=cosu，u=nx
=(cosu)′u·(nx)′x=－sinu·n=－nsinnx
(3)令y=tanu，u=nx
=(tanu)′u·(nx)′x=()′u·n
=·n==n·sec2nx
(4)令y=cotu，u=nx
=(cotu)′u·(nx)′x=()′u·n
=·n=－·n=－=－ncsc2nx
五、教学反思：⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的构造，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则.求导；⑵复合函数求导的根本步骤是：分解——求导——相乘——回代