4.2.1 等差数列 教学设计
文档属性
| 名称 | 4.2.1 等差数列 教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 38.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-22 14:39:09 | ||
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文档简介
4.2.1 等差数列
(人教A版普通高中教科书数学选择必修第二册第四章)
一、内容与内容解析
1.内容：等差数列的概念,等差数列的通项公式及应用,等差数列的通项公式的推导.
2.内容解析：
本节内容是在学习了数列的一些基本知识之后，学生探究特殊数列的开始，是《数列》这一章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是《数列》的重点内容. 通项公式是通项与项数的关系的一种解析表示，它从函数和方程两个角度为求解问题提供了有力的工具.等差数列在高考中也是重点考查的内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，同时也是培养学生数学能力的好题材，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义.
3.教学重点：
等差数列的概念、等差数列的通项公式.
二、目标与目标解读
1.目标：
（1） 能通过具体实例，发现数列的等差关系，理解等差数列的概念，会用定义判断一个数列是否为等差数列;
（2） 了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式;
（3） 体会用化归思想与方程思想解决问题.
2.目标解读：
达成上述目标的标志分别是：
（1）知道等差的数列的本质是从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数;
（2）能够通过等差数列的定义推导出等差数列的通项公式;
（3）通过公式应用及练习引导学生体会方程的思想方法，熟练掌握“知三求一”的问题和方法.
三、教学问题诊断解析
1.问题诊断
（1）让学生体会引入等差数列定义的必要性是第一个教学问题，先引出生活中的几个实例，引起学生极大的兴趣，让学生分析,观察特点，感受“等差数列”的问题，希望学生能通过对日常生活中实际问题的分析，建立等差数列模型，在这个过程中形成等差数列的概念，并在此基础上学会求等差数列的公差及通项公式.
（2）如何让学生掌握推导等差数列的通项公式是第二个教学问题，通项公式的推导过程可以培养学生观察、分析、归纳、推理的能力.根据教学经验，在本课的学习中，学生对公式的掌握及简单应用并不困难，而难点在于在推导等差数列通项公式的过程中举例让学生求，引导学生进行类比，归纳。如何自然地生成数学归纳法和累加法，是本课教学环节中的一个重点内容.
2.教学难点
等差数列的通项公式推导及应用.
四、教学支持条件分析
本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，多次设计动画帮助学生观察和思考，形象直观且高效地提升了课堂的效益和效率，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。
五、教学过程设计
1.概念的形成
1.1创设情境，引发思考
【实际情境】（1）1896年，雅典举行了第一届现代奥运会，到2008年的北京奥运会已经是第29届奥运会。观察奥运会举办的年份所对应的数列： 1896，1900，1904，…，2008，2012，（ ） 你能预测出第31届奥运会的时间吗？
学生口答：2016.2016 如何预测出来的？ 根据已有数的规律，每两个相邻数之间相差4，而且后一个数总比前一个数多4.
【设计意图】创设奥运会的数学情境，以问题为导向，这样的导入贴近学生的实际生活，引起学生极大的兴趣.用这一实例，借助于实际意义让学生感受“等差数列”的问题是自然、清楚、明白的.
【实际情境】下面，我们再来观察几个生活当中的数列.
引入三个生活问题中的数列：
(2)2000年女子举重4个体重级别：48,53,58,63.
(3)各年末本利和（存100元）：104.25, 108.5, 112.75, 117,121.25，……
(4)气温随高度的变化/km：28, 21.5, 15, 8.5, 2 ,-4.5.
【设计意图】由生活情境的多个数列引出下面的探究问题.
1.2探究问题，形成概念
【问题探究1】什么是等差数列？
(1) 2008，2012，2016
(2) 48,53,58,63.
(3) 104.25, 108.5, 112.75, 117,121.25，……
(4) 28, 21.5, 15, 8.5, 2 ,-4.5.
问题1：(1)观察以上四个数列，它们有什么共同点？
对于数列(1),从第2项起，每一项与前一项的差都等于？
对于数列(2),从第2项起，每一项与前一项的差都等于？
对于数列(3),从第2项起，每一项与前一项的差都等于？
对于数列(4),从第2项起，每一项与前一项的差都等于？
追问1：(2)你能归纳出等差数列的定义吗？
【预设的答案】4，5，4.25，-6.5
学生：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数.
【设计意图】让学生计算，观察比较，引导学生归纳得出等差数列的定义.
【概念形成】我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列.
……
等差数列的定义：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 d 表示.
追问2：你能说出上面三个数列的公差是多少吗？
学生口答：分别为4，5，4.25，-6.5
追问3：怎么算出来的？
学生口答：用相邻两项的后项减去前项 .
为了今后表示方便，我们将等差数列的定义用数学符号记作：
活动：寻找身边的等差数列,让学生回答、讨论.
【设计意图】通过活动，巩固等差数列的概念，让学生体验从抽象再到具体的思想.
概念辨析:1.判断以下数列是等差数列吗？
(1)4，7，10，13，16; (2)6，4，2； (3)1,1,1,1,1； (4)-3，-2，-1，1，2，3 .
追问1：根据这个题目来看，怎样判断一个数列是否为等差数列呢
学生回答：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：看 是不是同一个常数.
追问2：请你继续观察练习1中的四个等差数列，你能否总结出：每个数列中，公差d的正负与数的增减情况有什么关系？
总结：由等差数列的定义式可知:
当时，，数列是递增数列；当时，，数列是递减数列；
当时，，数列是常数列.
【概念形成】观察下面的两个数列：
(1) 2008，2012，2016
(2) 6，4，2
特点：由三个数构成，由三个数组成的等差数列，A称为与的等差中项，
试一试：在横线填入一个数，让数列成为一个等差数列
(1)2， ，4； (2)-8， ，0； (3)a， ，b
【设计意图】让学生计算，引导学生归纳得出等差中项的公式:
【问题探究2】如何求等差数列的通项公式？
问题2：如何求？
-4，-1, 2, 5, 8，……
……
由学生观察、归纳得到
我们将这个问题抽象出来： 如果已知一个等差数列，公差是 ，你能猜测出多少吗？
【预设的答案】学生猜测
【设计意图】让学生观察，归纳猜想得出等差数列的通项公式.
追问1：如果已知一个等差数列的首项是，公差是 ，那么这个数列的通项能求出来吗？
分析1：根据等差数列的定义：
所以
……
这样得到的：,这个式子称为等差数列的通项公式.
注：需要特别强调的是，由猜想归纳得出这个通项公式的方法称作不完全归纳法，这种方法仅仅是猜想出来的结论，没有说服力，严格的证明需要——数学归纳法，将在以后学习.
下面我们引入第二种方法来证明这个通项公式：
分析2: 根据等差数列的定义：
追问2：将上面个等式左右两边分别相加,左右分别是什么样？
由此得到： .
这种求通项公式的方法叫累加法,是探讨数列通项的一种常见方法.后续的学习还会继续研究.我们在这里的要求是:需要你记住这个公式，它是解决等差数列通项公式的主要方法.
说明：通项公式中，有四个量:首项，公差，序号和第项，知道其中的任意三个量，就可以求出另一个量，即知三求一 . 下面，我们通过几个例子来看这个公式的用法.
2.初步应用，理解概念
例1.(1)求等差数列8，5，2，…的第20项
分析：已知什么？要求什么？已知首项，，,要求.
解：⑴
说明：这道题是在等差数列通项公式的四个量中，知道，, ,求.体现了等差数列通项公式中“知三求一”的方程思想.
例1. (2)判断-401是不是等差数列–5,-9 ,-13…的项 如果是，是第几项，如果不是，说明理由.
分析:本题是第（1）题的逆向问题，已知什么？要求什么？知道，, , 求.
抽学生回答解题思路 .
解：⑵
解得： ，即 -401是数列的第100项.
【设计意图】让学生体会并总结：判断一个数是否为数列的项，只须令通项公式等于这个数，得到关于n的方程。若方程有正整数解，则它就是，否则不是。
根据刚才学到的办法，请你完成下面的练习： （学生完成后，抽学生说出解答过程，核对结果）
练习：1. 求等差数列3，7，11，……的第4，7，10项；
2. -20是不是等差数列 0， ，-7，……中的项.
【预设的答案】1. 15,27,39 2.不是
【设计意图】通过一些具体的数列计算，巩固、加深对概念的理解.
例2.在等差数列中，已知求首项与公差及.
解：由等差数列的通项公式
得
解得：
【设计意图】进一步灵活应用、巩固等差数列的通项公式，体会联立方程组求解的思想，由此可以让学生看到：已知等差数列的两项就可以确定这个数列.
例3.《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今五等诸侯，共分橘六十，人别加三颗，五人各几何？” 意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子？”
【预设的答案】6,9,12,15,18
【设计意图】让学生感受数学文化，提高学习数学的积极性，激发学习数学的兴趣，
掌握知识的同时，拓宽数学视野，提升自己的文化素养.
3. 课堂检测
【设计意图】当堂检测同学们的本节课内容的学习掌握情况.
4. 归纳小结
【设计意图】梳理本节课的知识点.
四、课外作业
(人教A版普通高中教科书数学选择必修第二册第四章)
一、内容与内容解析
1.内容：等差数列的概念,等差数列的通项公式及应用,等差数列的通项公式的推导.
2.内容解析：
本节内容是在学习了数列的一些基本知识之后，学生探究特殊数列的开始，是《数列》这一章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是《数列》的重点内容. 通项公式是通项与项数的关系的一种解析表示，它从函数和方程两个角度为求解问题提供了有力的工具.等差数列在高考中也是重点考查的内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，同时也是培养学生数学能力的好题材，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义.
3.教学重点：
等差数列的概念、等差数列的通项公式.
二、目标与目标解读
1.目标：
（1） 能通过具体实例，发现数列的等差关系，理解等差数列的概念，会用定义判断一个数列是否为等差数列;
（2） 了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式;
（3） 体会用化归思想与方程思想解决问题.
2.目标解读：
达成上述目标的标志分别是：
（1）知道等差的数列的本质是从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数;
（2）能够通过等差数列的定义推导出等差数列的通项公式;
（3）通过公式应用及练习引导学生体会方程的思想方法，熟练掌握“知三求一”的问题和方法.
三、教学问题诊断解析
1.问题诊断
（1）让学生体会引入等差数列定义的必要性是第一个教学问题，先引出生活中的几个实例，引起学生极大的兴趣，让学生分析,观察特点，感受“等差数列”的问题，希望学生能通过对日常生活中实际问题的分析，建立等差数列模型，在这个过程中形成等差数列的概念，并在此基础上学会求等差数列的公差及通项公式.
（2）如何让学生掌握推导等差数列的通项公式是第二个教学问题，通项公式的推导过程可以培养学生观察、分析、归纳、推理的能力.根据教学经验，在本课的学习中，学生对公式的掌握及简单应用并不困难，而难点在于在推导等差数列通项公式的过程中举例让学生求，引导学生进行类比，归纳。如何自然地生成数学归纳法和累加法，是本课教学环节中的一个重点内容.
2.教学难点
等差数列的通项公式推导及应用.
四、教学支持条件分析
本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，多次设计动画帮助学生观察和思考，形象直观且高效地提升了课堂的效益和效率，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。
五、教学过程设计
1.概念的形成
1.1创设情境，引发思考
【实际情境】（1）1896年，雅典举行了第一届现代奥运会，到2008年的北京奥运会已经是第29届奥运会。观察奥运会举办的年份所对应的数列： 1896，1900，1904，…，2008，2012，（ ） 你能预测出第31届奥运会的时间吗？
学生口答：2016.2016 如何预测出来的？ 根据已有数的规律，每两个相邻数之间相差4，而且后一个数总比前一个数多4.
【设计意图】创设奥运会的数学情境，以问题为导向，这样的导入贴近学生的实际生活，引起学生极大的兴趣.用这一实例，借助于实际意义让学生感受“等差数列”的问题是自然、清楚、明白的.
【实际情境】下面，我们再来观察几个生活当中的数列.
引入三个生活问题中的数列：
(2)2000年女子举重4个体重级别：48,53,58,63.
(3)各年末本利和（存100元）：104.25, 108.5, 112.75, 117,121.25，……
(4)气温随高度的变化/km：28, 21.5, 15, 8.5, 2 ,-4.5.
【设计意图】由生活情境的多个数列引出下面的探究问题.
1.2探究问题，形成概念
【问题探究1】什么是等差数列？
(1) 2008，2012，2016
(2) 48,53,58,63.
(3) 104.25, 108.5, 112.75, 117,121.25，……
(4) 28, 21.5, 15, 8.5, 2 ,-4.5.
问题1：(1)观察以上四个数列，它们有什么共同点？
对于数列(1),从第2项起，每一项与前一项的差都等于？
对于数列(2),从第2项起，每一项与前一项的差都等于？
对于数列(3),从第2项起，每一项与前一项的差都等于？
对于数列(4),从第2项起，每一项与前一项的差都等于？
追问1：(2)你能归纳出等差数列的定义吗？
【预设的答案】4，5，4.25，-6.5
学生：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数.
【设计意图】让学生计算，观察比较，引导学生归纳得出等差数列的定义.
【概念形成】我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列.
……
等差数列的定义：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 d 表示.
追问2：你能说出上面三个数列的公差是多少吗？
学生口答：分别为4，5，4.25，-6.5
追问3：怎么算出来的？
学生口答：用相邻两项的后项减去前项 .
为了今后表示方便，我们将等差数列的定义用数学符号记作：
活动：寻找身边的等差数列,让学生回答、讨论.
【设计意图】通过活动，巩固等差数列的概念，让学生体验从抽象再到具体的思想.
概念辨析:1.判断以下数列是等差数列吗？
(1)4，7，10，13，16; (2)6，4，2； (3)1,1,1,1,1； (4)-3，-2，-1，1，2，3 .
追问1：根据这个题目来看，怎样判断一个数列是否为等差数列呢
学生回答：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：看 是不是同一个常数.
追问2：请你继续观察练习1中的四个等差数列，你能否总结出：每个数列中，公差d的正负与数的增减情况有什么关系？
总结：由等差数列的定义式可知:
当时，，数列是递增数列；当时，，数列是递减数列；
当时，，数列是常数列.
【概念形成】观察下面的两个数列：
(1) 2008，2012，2016
(2) 6，4，2
特点：由三个数构成，由三个数组成的等差数列，A称为与的等差中项，
试一试：在横线填入一个数，让数列成为一个等差数列
(1)2， ，4； (2)-8， ，0； (3)a， ，b
【设计意图】让学生计算，引导学生归纳得出等差中项的公式:
【问题探究2】如何求等差数列的通项公式？
问题2：如何求？
-4，-1, 2, 5, 8，……
……
由学生观察、归纳得到
我们将这个问题抽象出来： 如果已知一个等差数列，公差是 ，你能猜测出多少吗？
【预设的答案】学生猜测
【设计意图】让学生观察，归纳猜想得出等差数列的通项公式.
追问1：如果已知一个等差数列的首项是，公差是 ，那么这个数列的通项能求出来吗？
分析1：根据等差数列的定义：
所以
……
这样得到的：,这个式子称为等差数列的通项公式.
注：需要特别强调的是，由猜想归纳得出这个通项公式的方法称作不完全归纳法，这种方法仅仅是猜想出来的结论，没有说服力，严格的证明需要——数学归纳法，将在以后学习.
下面我们引入第二种方法来证明这个通项公式：
分析2: 根据等差数列的定义：
追问2：将上面个等式左右两边分别相加,左右分别是什么样？
由此得到： .
这种求通项公式的方法叫累加法,是探讨数列通项的一种常见方法.后续的学习还会继续研究.我们在这里的要求是:需要你记住这个公式，它是解决等差数列通项公式的主要方法.
说明：通项公式中，有四个量:首项，公差，序号和第项，知道其中的任意三个量，就可以求出另一个量，即知三求一 . 下面，我们通过几个例子来看这个公式的用法.
2.初步应用，理解概念
例1.(1)求等差数列8，5，2，…的第20项
分析：已知什么？要求什么？已知首项，，,要求.
解：⑴
说明：这道题是在等差数列通项公式的四个量中，知道，, ,求.体现了等差数列通项公式中“知三求一”的方程思想.
例1. (2)判断-401是不是等差数列–5,-9 ,-13…的项 如果是，是第几项，如果不是，说明理由.
分析:本题是第（1）题的逆向问题，已知什么？要求什么？知道，, , 求.
抽学生回答解题思路 .
解：⑵
解得： ，即 -401是数列的第100项.
【设计意图】让学生体会并总结：判断一个数是否为数列的项，只须令通项公式等于这个数，得到关于n的方程。若方程有正整数解，则它就是，否则不是。
根据刚才学到的办法，请你完成下面的练习： （学生完成后，抽学生说出解答过程，核对结果）
练习：1. 求等差数列3，7，11，……的第4，7，10项；
2. -20是不是等差数列 0， ，-7，……中的项.
【预设的答案】1. 15,27,39 2.不是
【设计意图】通过一些具体的数列计算，巩固、加深对概念的理解.
例2.在等差数列中，已知求首项与公差及.
解：由等差数列的通项公式
得
解得：
【设计意图】进一步灵活应用、巩固等差数列的通项公式，体会联立方程组求解的思想，由此可以让学生看到：已知等差数列的两项就可以确定这个数列.
例3.《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今五等诸侯，共分橘六十，人别加三颗，五人各几何？” 意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子？”
【预设的答案】6,9,12,15,18
【设计意图】让学生感受数学文化，提高学习数学的积极性，激发学习数学的兴趣，
掌握知识的同时，拓宽数学视野，提升自己的文化素养.
3. 课堂检测
【设计意图】当堂检测同学们的本节课内容的学习掌握情况.
4. 归纳小结
【设计意图】梳理本节课的知识点.
四、课外作业