5.3.2 函数的极值与最大（小）值 第1课时 函数的极值 教学设计

5.3.2函数的极值与最大（小）值 -函数的极值
一、内容与内容解析
1. 内容：极值的概念，了解函数的极值与导数的关系，运用导数方法求函数极值。
2. 内容解析：
（1）极值的概念：函数的极值本质反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。教学时可以用高台跳水实例引入函数极值的讨论，先让学生结合实际经验，通过观察图形直观形象的得到“局部最值"的初步想法，通过对比函数的最值，引发学生的认知冲突,使学生认识到“局部最值”不同于函数最值，是一个全新的概念，从而生成函数极值的概念。需要注意的是，“在附近”的含义实际上指的是一个非常小的区间，这个区间的左端点比小，右端点比大。这个区间要多小就可以有多小，这里我们用的是自然语言来进行表述。在高等数学里我们还会用符号语言精确刻画“在附近”的含义。
（2）函数的极值与导数的关系：学生对函数的极值有了初步的了解后，学生就会面临难题，如何利用导数求函数的极值呢？这一部分主要是探究求极值的算法，虽然没有新知识和新概念的生成，但教师在教学中依然要符合学生的认知规律，要让学生认识到利用导数来求极值是通过探究自然而然形成的。先让学生观察函数极值附近两侧的图像变化，认识到函数极值点左右两侧图像变化趋势是相反的。学生知道图象的上升与下降是用单调性来刻画的，而函数单调性又可以用导数来刻画的。因此，学生自然而然地就明白函数的极值可以借助导数来求解。
（3）运用导数方法求函数极值：学生通过观察图象可以自己总结求函数极值的一般步骤，但是还是会忽略定义域，因此要强调学生注意这一点，通过例题的变式可以达到这一目标。为了能够更加简捷地求极值，教师要示范利用表格完整的书写求极值的过程。需要强调的是，在高中研究的函数都是处处可导的函数。再启发学生得出函数在一点的导数值为0是函数在这点处取得极值的必要条件，而非充分条件。并举出反例加以说明。
3. 教学重点：极大值、极小值概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤。
目标与目标解析
1. 目标：
结合函数图像，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；理解函数极值的概念，
会用导数求函数的极大值与极小值。
通过观察具体的函数图像，学生直观感知极值这一概念的生成过程，并积极主动地参与探索函
数的极值与导数值变化之间的关系的活动，亲身经历用导数研究极值方法的过程。
通过学习，学生体会导数在研究函数性质中的工具性和优越性，掌握极值是函数的局部性质，
增强数形结合的意识；通过体会成功，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度；通过规范地表达求函数极值的过程，养成缜密的思维习惯。
2. 目标解析：
达成上述目标的标志分别是：
（1）能够通过函数图象判断函数的极值点和极值。
（2）能够通过导函数的图象判断函数的极值点。
（3）能够利用导数求解一元三次函数的极值。
教学问题诊断解析
问题诊断
为何可以利用导数直接判断极值是第一个教学问题，也是教学难点。导数理论从产生到完备经历了几个世纪，凝聚了数学家的心血。如今学生“再创造”学习时，在没有教师的引导下，导数介入函数的极值中是很难理解。这样的''突然一跳"作为学生的探究起点，难度很大，不免给学生造成此内容好像是“帽子里跳出的兔子”。因此，探究的起点应从学生熟悉的公式或概念开始。学生对函数的极值有了初步的了解后，那么困惑产生了：如何求函数的极值呢 这一部分主要是探究求极值的算法，虽然没有新知识和新概念的生成，但依然要符合学生的认知规律。要让学生认识到利用导数来求极值是通过探究自然而然形成的。先引导学生观察函数极值附近两侧的图像变化如何？学生就能联系单调性进行想到函数的极值可以用导数来刻画。再引导学生从图象中观察得出如何区分极大值和极小值，进而得到求极值的一般步骤。 值得注意的是，中学主要探讨可导函数的极值，高等数学中极值点处导数可以不存在，如 是该函数的极小值点，但 不存在。
（2）函数在某点处的导数值为0是可导函数取得极值的必要条件，而非充分条件。这个第二个教学问题，也是教学难点。学生通过例1的讲解以及求极值的基本步骤，可以更加清楚的认识到，函数在处取得极值的充分条件是：①；②在的左右两侧导数值是异号的。然后再安排教科书上的思考导数值为0的点一定是函数的极值点吗？在学生认识到函数在某点取得极值的充分条件后，学生容易想到特例，进而得出结论：“导数值为0的点不一定是函数的极值点”。
教学难点
函数在某点取得极值的必要条件与充分条件，求可导函数的极值的步骤。
教学支持条件分析
为了理解极值的概念，只需要学生借助图象直观，进行数学抽象即可。当t=a时，运动员距水面的高
度h最大。为了让学生从图象上直观地看到t=a附近函数导数值的正负性变化，教学时可以采用信息技术工具，放大函数在t=a附近的图象。因此可以借助几何画板作为教学支持条件。先作出函数图象在t=a的左侧某点处的切线，当切点沿函数图象从t=a的左侧移动至右侧时，切线斜率由正数变到为0，再由0变到负数。
教学过程设计
情境引入
问题1 观察庐山连绵起伏的图片，思考庐山的山势有什么特点？
图1
师生活动：学生间激烈地争论着这个问题，教师再给出这节课要研究的角度，结合苏轼在《题西林壁》中的诗句“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”，描述的是庐山的连绵起伏。由此联想庐山的连绵起伏形成好多的"峰点" 与''谷点"，这就象数学上要研究的函数的极值。
[设计意图]将学生从"要我学"被动学习情绪激发到“我要学”的积极主动的学习欲望上来，学生能够自觉地参与课堂教学的过程中来。
合作探究
问题2 观察图2和图3，函数在点处的函数值与它附近的函数值之间有什么关系？
图2 图3
师生活动：学生观察分析后发表自己的见解。教师在前面活动的基础上进行点评，函数在
点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，它是一个局部的概念，不同于函数的最值，为了区分函数的最值，我们要加以新的定义。然后给出极大值的概念：
函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，我们把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值。
类似地，学生给出极小值的概念：
函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值。
教师再强调：（1）极小值点、极大值点统称为极值点, 极小值、极大值统称为极值；（2）极值点是横坐标, 极值是纵坐标。（3）“在附近”的含义实际上指的是一个非常小的区间，这个区间的左端点比小，右端点比大。这个区间要多小就可以有多小，这里我们用的是自然语言来进行表述。在高等数学里我们还会用符号语言精确刻画“在附近”的含义。
[设计意图]让学生将观察分析得到的结论用科学严谨的数学语言表达出来，有利于学生思维从感性层面提升到理性层面，培养归纳概括能力。
问题3 观察图4，找出图中的极值点，并说明哪些为极大值点，哪些为极小值点？
图 4
追问1 函数在其定义域内的极大值点和极小值点唯一吗？
追问2 区间的端点能成为极值点吗？
追问3 极大值一定大于极小值吗？
师生活动：小组讨论交流并展示后，教师再加以点评，极值刻画的是函数的局部性质，而最值刻画的是函数的整体性质，是两个不同的概念。
[设计意图]对问题进行递进式分解，有利于学生思维的有序展开。追问的设置有利于学生对概念的辨析和理解。
问题4 回到图象2、图象3，函数在极值点附近的图象变化如何？
图 2 图 3
追问1 函数图象的上升与下降可以用什么来刻画？
追问2 函数单调性可以用什么来刻画呢？
师生活动：学生观察认识到函数极值点左右两侧图像变化趋势是相反的。而图象的上升与下降是用单调性来刻画的，函数单调性又可以用导数来刻画的。接着教师利用几何画板进行演示，先作出函数图象在t=a的左侧某点处的切线，当切点沿函数图象从t=a的左侧移动至右侧时，切线斜率由正数变到为0，再由0变到负数。
追问3 如何区分极大值与极小值呢？
师生活动：放大附近函数的图像，请学生观察几何画板展示的动态过程，得到当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，。这样，当在的附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有。再由学生总结求函数极值的步骤：（1）先求的零点；（2）再利用口诀：先正后负是极大值；先负后正是极小值。
[设计意图]让学生经历可以利用导数求极值这一知识的自主建构过程，借助图象直观，进行数学抽 象形成极值口诀，乘势而上，让学生自己总结求极值的基本步骤，培养学生的直观想象、数学抽象和逻辑推理等核心素养。
学以致用
例题1 求函数的极值。
师生活动：教师启发学生思考，并示范解答问题。在此基础上，引导学生归纳用导数求函数y=f (x)极值的步骤：
第1步，求出函数的定义域；
第2步，求出导数f ′(x)的零点；
第3步，用f ′(x)的零点将函数f (x)的定义域划分成若干个开区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f (x)在定义域内的单调性，进而求出函数的极值。
追问：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
师生活动：学生在前面例题的基础上，容易想到如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点。如f (x)＝x3，f ′(0)＝0， 但x＝0不是f (x)＝x3的极值点．所以，当f ′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f (x)的极值点，还要看f ′(x)在x0两侧的符号是否相反。
[设计意图]此问题是教科书第93页例6，教师通过例题解答向学生示范如何利用导数求函数的极值。让学生养成规范表达的良好习惯，学会探索利用列表法简洁明了的表达方式的方法。并让学生体会到函数在一点的导数值为0是函数在这点取极值的必要条件，而非充分条件。
例题2 函数f (x)的导函数y= f ′(x)的图象如图所示，试找出函数f (x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点。
追问：函数y= f ′(x)的极大值点和极小值点分别是什么？
师生活动：教师引导学生利用求极值的三步曲来进行判断。对于函数y= f ′(x)的极大值点和极小值点，教师要特别强调导函数也是一个函数，它也可以有极大值点和极小值点。
[设计意图]通过该例题，让学生能够通过观察导函数的图象，利用求极值的三步曲，判断出极值点的位置。也让学生明白还可以根据极值点的定义来进行判断。
当堂检测 求下列函数的极值：
(1);
(2).
【设计意图】通过习题的训练，学生进一步体会用表格的形式解题的优势。
课堂小结
请学生总结一下本节课的主要内容和思想方法。
师生活动：教师引导学生自行总结本节课的主要内容和思想方法，在此基础上，结合学生总结的情况
及时进行补充完善。
[设计意图]回顾本节课的学习内容，总结用导数求函数极值的步骤，使学生进一步体会导数在研究
函数极值中的作用，感受算法思想。
目标检测设计
检测1 函数的定义域为，导函数的图象如图所示，则函数f (x) (　　)
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
[设计意图]考查学生对利用导函数的图象判断函数极值的认识。
检测2 (多选题)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是(　　)
A．y＝x3　　 B．y＝x2＋1 C．y＝|x| D．y＝2x
[设计意图]考查学生对利用函数图象判断函数极值的掌握程度。
检测3 求下列函数的极值:
(1) ;
(2) .
[设计意图]考查学生对利用导数求函数极值的步骤的掌握程度。
检测4 已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,求实数a的取值范围.
[设计意图]考查学生对用导数刻画函数极值的认识。
1.C　[设y＝f ′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f (x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]
2.BC　[对于A，y′＝3x2≥0，∴y＝x3单调递增，无极值；对于B，y′＝2x，x＞0时y′＞0，x＜0时y′＜0，∴x＝0为极值点；对于C，根据图象，在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，∴C符合；对于D，y＝2x单调递增，无极值．故选BC．]
例1 求函数的极值。
解:函数的定义域为.
因为函数，所以.
令， 解得或.
当变化时, ,的变化情况如下表:
x （-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
因此,当x=-2时,有极大值,且极大值为;
当x=2时,有极小值,且极小值为.
函数的图象如图所示.
变式： 求函数的极值。
解:函数的定义域为.
因为函数，所以.
令， 解得或.
当变化时, ,的变化情况如下表:
x （-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
因此,当x=-2时,有极大值,且极大值为;
当x=2时,有极小值,且极小值为.
函数的图象如图所示.