4.1 数列的概念 教学设计

4.1数列的概念
一、内容与内容解析
1．内容：学习数列的概念与表示，数列的递推公式及数列的前n项和与通项的关系
2．内容解析：
数列是刻画“离散”过程的重要数学模型，而许多连续性的结果可以用离散性的结果来近刻画，所以数列由广泛的应用。在实际生活中，农作物的产量、收入的增长等都是按一定时间顺序来统计的，这就得到了有先后顺序的一列数——数列。如果用正整数表示事物发展过程的先后顺序，并且把这样的正整数看作自变量的取值，把事物的对应数值看作相应的函数值，那么数列就是定义在正整数集（或正整数集的有限子集）上的一类离散函数。数列的通项公式就是数列作为函数的函数解析式。
数列的概念、通项公式及数列的前n项和与通项的关系在学习过程中起着承上启下的作用。一方面，在数列的概念的归纳提炼及具体问题的解决过程中常会用到函数思想，通过学习数列能进一步加深对函数的认识，深化对函数思想方法的运用；另一方面，它们是学习本章的后继内容——等差数列、等比数列的基础；同时，通过这部分内容的学习，可以使学生强化运算能力，提升分析归纳能力。
3．教学重点：
数列的有关概念与数列的表示方法，数列递推公式及数列的前n项和与通项的关系
二、目标和目标解析
1．目标
（1）经历数列概念的抽象过程，了解数列的定义、了解数列是一种特殊的函数，了解表示方法，提升数学抽象素养。
（2）理解数列的通项公式。
（3）理解数列递推公式的含义,会用递推公式解决有关问题。
（4）会利用数列的前n项和与通项的关系求通项公式。
2．目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）能从具体实例中归纳、概括数列的共同特征，得到数列的定义和一般形式；能结合函数的定义，认识到数列是一种特殊的函数；能类比函数的表示方法，了解数列的表格、图象和通项公式三种表示方法。
（2）能说明数列的通项公式中各元素的意义；能根据数列的通项公式，写出数列的任意项；能根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式。
（3）能通过递推公式与前n项和公式推导通项公式。
三、教学问题诊断解析
1．问题诊断
在学习本章之前，学生对于数列并非一无所知，尤其是在函数的学习中，他们已经接触过一些实际上是数列的函数。但学生缺乏对数列内容的总体了解，也不清楚学习数列的一般思路和方法，这是本节教学的第一个难点．教学时可通过章引言的教学，结合函数学习的思路和方法，让学生对数列的内容及方法有一个大致了解，引起学生对数列内容的关注与兴趣。
对数列概念的理解，是本节课第二个教学难点。学生可能忽视数列概念的形成过程及对概念内涵的理解。本节课通过具体抽象实例定义，并用数学语言进行表达，是一个让学生体验用数学的眼光看世界的很好的案例。经历这样一个数学化的过程，对于学生数学概念的形成有着重要的意义。
此外，在把实际问题转化为数列问题，尤其是涉及年份等时间顺序时，学生在用数列进行表达时容易犯错误。在对用数列解决实际问题的教学中，要注意引导学生正确地构建数列，刻画实际问题中的等差关系、等比关系、递推关系等。
在新课程改革中，新普通高中课程标准对“数列一章”的教学要求是：通过对数列概念以及与关系的探索，掌握数列基本概念，理解数列是一种特殊的函数，并能解决一些简单的求值问题。
2．教学难点
数列的函数特征，用数列的前n项和与通项的关系求通项公式
四、教学过程设计
1．情景导入
观察下列这组数的规律，你能完成填空吗？
1，1，2，3，5，8，____，_____，……
[设计意图] 通过斐波那契数列的情景，引导学生运用数学眼光，分析问题，进行数学分析。
2．概念形成
问题1：如何给“数列”下定义？
师生活动：教师引导学生思考给数列下定义的方法，即：类比给出函数概念的思路，归纳几个具体的例子所满足的共同特征，通过“事实—概念（定义、表示）”的数学抽象过程，给出数列的定义。
追问（1）：王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168。 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？
师生活动：教师引导学生记王芳第i岁时的身高为hi，i=1的时候，就表示1岁时的身高h1，也就是75。同理，h2＝87，h3=96，h17＝168。hi中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，也就是说h1＝75是排在第１位的数，h2＝87是排在第２位的数……h17＝168是排在第17位的数。学生不难理解，如果它们之间交换位置，那么表示的意义就不一样了。所以，这是具有确定顺序的一列数。
追问（2）：在两河流域发掘的一块泥版上就有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240。 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？
师生活动：教师引导学生类比描述第一个例子的方法来分析这列数。记第i天月亮可见部分的数为si，那么s1＝5，s2＝10，…，s15＝240。这里，si中的i反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置。 s1＝5是排在第1位的数，s2＝10是排在第2位的数……s15＝240是排在第15位的数，它们之间不能交换位置．所以，这也是具有确定顺序的一列数。
追问（3）：的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：，，，，…。 你能仿照上面的叙述，说明这也是具有确定顺序的一列数吗？
师生活动：学生仿照前两个例子的叙述，分析这列数。
追问（4）：上述例子的共同特征是什么？
师生活动：教师引导学生从特殊到一般，归纳三个例子的共同特征，抓住“一列数”和“顺序”这两个关键点。
[设计意图]通过具体问题的思考和分析，帮助学生观察、分析、归纳总结出数列的概念。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。
问题2：数列的定义是什么？
师生活动：教师引导学生根据上述三个例子的共同特征，给出数列的定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。
追问（1）：1，3，5，7是一个数列，7，5，3，1也是一个数列，这两个数列是不是同一个数列？
师生活动：教师提醒学生，根据数列的概念，数列中的数是有先后顺序的，两个数列即使所含的数完全相同，只要排列的顺序不同，就是两个不同的数列。
追问（2）：1，1，1，1，1…是不是一个数列？
师生活动：教师让学生认识到数列中的数只要求按一定顺序排列，并没有规定数列中的数必须不同，同一个数可以在数列中重复出现。掌握数列的概念，要抓住两个关键词：一列数和顺序。
问题3：如何用一般的符号来表示数列？
师生活动：教师引导学生通过数列的定义获得从数学上刻画数列的方法——用正整数表示数列确定的顺序，即用，，···，，…分别表示数列的第1项（或称为首项）、第2项、…，第n项，…。数列的一般形式可以写成，，···，，···，简记为。
追问：在数列中，符号与所表示的意义是否相同？
师生活动：教师引导学生认识到仅表示数列中的第n项这一个数值。而表示一个数列，通常要在其前面写上“数列”这两个字，即“数列”。
问题4：对于不同的数列，它们的项数有何特点呢？
师生活动：教师引导学生回顾第一个例子，一共有17项，第二个例子有15项，这都是含有有限项的数列。而第三个数列就不同了，它有无穷多个项。可以根据数列中项数的有限和无限，将数列分成以下两类：有穷数列（项数有限的数列）；无穷数列（项数无限的数列）。
3．概念辨析
问题5：数列中的各项与各项序号k （k＝1，2，3，···，n，···）之间的对应关系是什么关系？
师生活动：教师呈现数列各项与序号一一对应的关系：
学生根据教师呈现的数列各项与其序号的对应关系，认识到对于每一个正整数n，都有唯一的数与之对应，所以数列中的各项与各项序号k （k＝1，2，3，···，n，···）之间的对应关系是函数关系。由此可见，数列实际上是由序号和项构成的函数。
追问：，，，，···，，…和，，，是同一个数列吗？能否从函数的角度解释一下？
师生活动：学生从函数的角度解释它们不是同一个数列的原因：第一个数列n可取一切正整数，所以定义域就是正整数集，它是个无穷数列。而第二个数列是个有穷数列，它的定义域实际上是正整数集的一个有限子集。因为定义域不同，所以不是同一个数列。教师借机让学生认识到继续研究数列的函数特性的必要性，并进一步引导学生得出：数列的定义域是正整数集或它的有限子集，值域是实数集的子集。所以数列是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数。
问题6：数列有哪些表示方法？
师生活动：教师引导学生回顾当初研究函数的时候，学习了函数的概念和构成三要素之后，又学习了函数的表示方法，有列表法、图象法、解析法。数列作为一种特殊的函数，也应当有这三种表示方法。
追问（1）：数列的图象有什么特点？
师生活动：学生画出某一数列的图象，发现它是离散的，由一些孤立的点构成，不能连在一起，这跟之前见到的大部分函数图象不太一样。教师引导学生思考导致这个现象的原因。学生不难发现根源在定义域：以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列的自变量只能取一个一个的整数，是离散的数，所以画出的图象自然也就是离散的。
追问（2）：数列通项公式的作用是什么？
师生活动：教师给出数列通项公式的定义：如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就是数列的函数解析式，叫做这个数列的通项公式。教师帮助学生认识到：有了通项公式，就可以写出数列的各项。
问题7：数列的单调性是怎样定义的？
师生活动：教师引导学生用列表法和图像法表示数列：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168。
教师让学生从表和图中观察该数列中的项随序号的变化呈现出的特点。学生不难发现从第2项起，每一项都大于它的前一项。教师趁机给出递增数列的定义：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列。类比递增数列的定义，给出递减数列的定义：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列。特别地，各项都相等的数列叫做常数列，如前面提到过的1，1，1，1，1…。
[设计意图]加深学生对数列概念的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素
4．巩固新知
例1 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象。
（1）； （2）
师生活动：教师引导学生根据通项公式，令n=1，就得到了首项，令n=2，就得到，以此类推，就可分别求出这两个数列的前5项：1，3，6，10，15和1，0，-1，0，1。根据前5项的数据进行描点。
教师提醒学生注意描点后不能连线了，因为数列图象就是由一些孤立的点构成的。
追问：你能判断（1）中数列的单调性吗？
师生活动：学生根据数列单调性的定义，结合图象，不难得出：（1）中的数列是递增数列。
[设计意图]强化数列通项公式，奇偶项的符号调节用-1的次方。
例2：根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
（1）1，，，，…；
（2）2，0，2，0，…．
师生活动：学生在教师的引导下发现第一个数列的特点是有正有负，正负相间。教师说明：我们常常用或 来表示正负相间的变化规律。学生不难发现，除了正负方面的特征之外，（1）中数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为。有了第一个的基础，学生在探究（2）中的数列时，不难发现这个数列前４项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为。
5.复习旧知
问题8 如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
师生活动：教师引导学生理解题意：要判断120是不是该数列中的项，就是要判断是否存在正整数n，使得。我们令，接下来就是要判断这个关于n的方程是否有正整数解．学生解这个关于n的方程，得或。教师提醒学生：
因为n是正整数，所以-12要舍掉。因此，120是这个数列的项，并且是第10项。在这道题讲解后，教师总结：通项公式反映的是项与序号之间的关系，我们不仅要会通过序号求项，还要会像这道题一样根据项求序号。
6.学习新知
问题9 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形。在图中４个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前４项，写出这个数列的一个通项公式。
师生活动：教师引导学生先数各图中着色三角形的个数，从而得到数列的前四项：1，3，9，27。教师启发学生：求这个数列的通项公式，就要找项与序号之间的关系。学生发现第1项是，第2项是，第3项，第4项是。这些数都是3的指数幂，指数为序号-1。因此，学生得出这个数列的一个通项公式就是。
追问：你能用数学语言归纳出后一项与前一项的关系吗？
师生活动：教师给学生以提示：当不能明显看出数列的项的取值规律时，我们可以尝试通过运算来寻找规律。如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察。教师强调这是一种通过运算发现规律的思想，在数列的研究中有重要作用。学生按照教师的提示，发现这个数列的后一项等于前一项的3倍。教师接着帮助学生通过图形解释这个问题：每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为３个着色小三角形和１个无色小三角形。于是从第２个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的３倍。学生接着把发现的规律用数学语言归纳出来，得出。教师提醒学生注意：这个式子是在n≥2的前提下才成立的，n=1的情况我们只能单独讨论。于是写成。教师总结：同样一个数列，从两个不同的角度去观察，就发现了不同的规律。通项公式反映的是项与序号之间的关系。而（n≥2）这个式子反映的是后一项与前一项之间的关系。根据这个式子，我们已知第1项就能推出第2项，已知第2项就能推出第3项，以此类推。
问题10 什么是一个数列的递推公式？
师生活动：教师呈现数列递推公式的定义：“如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式。”学生根据前面对递推公式的认识，对教师呈现的数列递推公式的定义进行理解。教师提醒学生：知道了首项和递推公式，就能求出该数列的每一项了。
追问（1）：相邻多项之间的关系能用递推公式表示吗？
师生活动：教师提到大名鼎鼎的斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…引导学生通过观察，发现这个数列第n项等于它的前一项（第n-1项）加上再往前一项（第n-2项）。学生认识到这其实就是相邻三项之间的关系：。教师提醒学生注意：因为下标最小是1，所以这里n≥3。这个数列的递推公式反映的是相邻三项之间的关系。教师向学生介绍：这个数列由意大利数学家斐波那契于1202年提出，它有很多有趣的性质。
追问（2）：一个数列的通项公式和递推公式有何联系与区别？
师生活动：学生将通项公式和递推公式相比较，发现和刚刚学习的通项公式一样，递推公式也是数列的一种表示方法。只不过通项公式反映的是项与序号之间的对应关系，而递推公式反映的则是相邻两项或多项之间的关系。学生在教师的引导下认识到通项公式和递推公式各有利弊，在数列的研究中都发挥着巨大的作用。
[设计意图]通过具体问题的思考和分析，帮助学生认识数列中的递推公式。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。
例3 已知数列的首项为，递推公式为（n≥2），写出这个数列的前5项。
师生活动：教师引导学生根据递推公式，令n=2，就得到。同理，令n分别等于3，4，5，就可依次求出，，。教师总结：知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了。
[设计意图]强化递推公式推数列的项，培养学生运算的素养。
问题11 什么是数列的前n项和公式？
师生活动：教师引导学生顾名思义：一个数列从第1项起到第n项止的各项之和就是该数列的前n项和，记作。如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的前n项和公式。
追问：数列的前n项和公式与通项公式有何联系？
师生活动：教师引导学生观察，发现其中有。如果把留出来，前面的就是前n-1项的和，也就是。如果已知前n项和公式，那么把公式中的n给换成n-1，就能得到，然后用就可以得到。教师提醒学生注意是前n-1项的和，这里n一定是大于或等于2的，所以当n≥2时，。学生接着思考n=1的情况，发现就是第1项，所以就等于。于是我们有 。
[设计意图]通过数列的通项与前n项和的认识，帮助学生理解。
问题12 已知数列的前n项和公式为，你能求出的通项公式吗？
师生活动：教师引导学生根据一个数列前n项和公式与通项公式的关系，即，进行求解。教师提醒学生关注n=1的情况是否满足n≥2时求出的通项公式，如果不满足，要分开写。
[设计意图]通过具体问题引出通项公式与递推公式之间的关系，强化已知前n项和求通项，帮助学生课堂掌握。
7.课堂总结
问题13 我们研究数列的基本路径是什么？
回顾本节课所学的知识，思考：
什么是数列？数列的本质是什么？
什么是递推公式？
什么是前n项和公式？由前n项和公式得到通项公式的一般方法。
师生活动：学生根据教师提出的三个问题，回顾本节课的核心知识和研究路径。 递推公式和前n项和公式。关于递推公式，教师强调：递推公式是数列的重要表示方式，反映的是相邻两项或多项之间的关系，知道了一个数列的首项和递推公式，就能求出该数列的每一项了。关于前n项和公式，教师强调：我们可以通过一个数列的前n项和公式求出该数列的通项公式。教师告诉学生：按照研究路径，下节课将学习两种特殊的数列——等差数列和等比数列，让学生做好准备。
8．课后作业
检测1根据数列的通项公式填表：
检测2 根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式：
（1），，，，，；
（2），，，，，.
检测3 已知数列满足，（n≥2），写出它的前5项，并猜想它的通项公式。
检测4 已知数列的前n项和公式为，求的通项公式。
拓展反思
（1）为什么例2中只要求写出数列的“一个”通项公式？
（2）你能写出前四项为0，2，0，2的数列的其它通项公式吗？
（3）你认为每个数列都有通项公式吗？