4.3.2 等比数列的前n项和公式 教学设计

4.3.2等比数列的前n项和公式
一、内容与内容解析
1．内容：等比数列前n项和公式的推导及简单应用.
2．内容解析：
等比数列的前n项和是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续，对学生进一步学习数列知识和解决一类求和问题有很重要的作用。从特殊到一般，理解公式的推导过程，并充分揭示公式的结构特征和内在联系，渗透类比，分类讨论、整体变换和方程等数学思想方法。
3．教学重点：
等比数列前n项和公式的推导(错位相减法）及简单应用。
二、目标与目标解析
1．目标：
（1）从特殊到一般，理解等比数列前n项和推导的错位相减法。
（2）利用等比数列通项公式及前n项和公式，可知三求二。
2．目标解析：
（1）在教师的引导下能够利用错位相减法完成对等比数列的前n项和公式的推导。
（2）能够合理选择等比数列的前n项和公式，会知三求二。
（3）能够体会类比、分类讨论和方程等思想方法。
三、教学问题诊断解析
1．问题诊断
学生思维的难点是，观察寻求等式规律，前n项和两边同乘公比q,再错位相减构造方程。
2．教学难点
等比数列前n项和公式推导方法（错位相减法）的理解。
教学支持条件分析
帮助学生充分感受等比数列前n项和公式的推导，启发学生观察发现两边同乘q的意义所在，再错位相减消去相同项求解。
五、教学过程设计
1． 情境引入
问题 1 ：相传国际象棋起源于古印度，是西萨发明的。国王要奖励西萨, 西萨说：“请在棋盘第1个格子里放1颗麦粒,在第2个格子里放2颗麦粒,在第3个格子里放4颗麦粒,在第4个格子里放8颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一格子里所放麦粒数的2倍,直到第64个格子.请给我足够粮食来实现上述要求!”你知道西萨要多少粒小麦吗？国王能满足西萨的要求吗？
追问 1
把各格所放麦粒数看成一个数列,可以得到一个怎样的数列 能写出它的通项公式吗？
追问 2
各格所放麦粒总数如何求？
2. 合作探究
探究1：这个和式右边任意相邻两项有何特点？
引导、启发学生观察，寻求等式规律，每一项都乘以2，就变成了它的后一项.
探究2：若在此等式两边同以2，得到（2）式，比较（1）(2）两式，你有什么发现？
引导学生经过比较后发现：（1）、（2）两式有若干相同项，可两式相减求S64.
探究3：两边同乘的2是等比数列的什么？乘2的作用是什么？
两边同乘的2是等比数列的公比，乘2后所得新等式与原式有63项相同，两式相减可消去相同项，突破难点。
探究5：可以从特殊到一般，得出等比数列的前n项和Sn吗？
追问 1 两边应该同乘什么？乘q的作用是什么？
引导学生理解两边同乘q的意义所在。
追问 2 两个等式相减后，还剩下哪些项，相减后符号如何？
引导学生观察剩余项的符号，认识前n项和公式的结构特点。
追问 3 由得到正确吗？
追问4 若q=1，{an}是什么数列，前项和等于什么？
引导学生对q进行分类讨论。
追问5 等差数列的前n项和公式不唯一，等比数列前n项和公式也有不同的表达式吗？
引导学生发现等比数列前n项和公式的第二种形式。
3. 公式分析
(1)知三求二：n q a1 an Sn
(2)n的含义：项数
(3)注意对q分类讨论
(4)错位相减法：乘公比（作用是构造相同项）后错开一项再相减。
4.学以致用
例 1
[设计意图]已知等比数列基本量会直接求其前n项和，强化对等比数列的前n项和公式的理解和记忆，渗透分类讨论的思想，提升思维层次。
例 2
已知{an}为等比数列，
[设计意图] 已知前n项和会合理选择公式逆向求解数列基本量，进一步理解公式特点，深化对公式的理解和应用。
例3
已知数列1，2，22，23，…，2n，…，求第5项到第10项的和。
法1：所求和等于S10－S4，再用公式计算。
法2：第5项到第10项构成首项为16，公比为2的数列，共有6项，再用公式计算。
[设计意图] 等比数列前n项和公式的灵活应用，一题多解有利于提高学生思维的深度和灵活性；
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[设计意图]巩固等比数列的前n项和公式，深化对公式的理解和应用，及对五个基本量知三求二的思想方法。
5.总结提升
（1）等比数列前n项和公式的推导方法（错位相减法，方程思想）
（2）等比数列前n项和公式（知三求二）
（3）公式选择（分类讨论的思想）
6.思考题
远望巍巍塔七层，红光点点倍加增。其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
[设计意图]让学生感受数学在实际生活中的应用，培养学生数学建模的思想（已知等比数列{an}，公比q=2，n=7, S7=381,求a1）。