5.1.1 变化率问题 教案
文档属性
| 名称 | 5.1.1 变化率问题 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 443.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-22 14:39:09 | ||
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文档简介
第五章 一元函数的导数及其应用
5.1.1 变化率问题
教学设计
一、教学目标
1.体会由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解平均速度、瞬时速度的区别和联系.
2.掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题.
3.掌握割线与切线的定义，会求其斜率.
二、教学重难点
1、教学重点
瞬时速度的概念、割线与切线的定义及斜率求法.
2、教学难点
割线与切线的斜率.
三、教学过程
1、新课导入
在之前的学习中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道了对数增长是越来越慢的，指数爆炸比直线上升快得多，那么能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？这节课我们就来研究一下这个问题.
2、探索新知
一、平均速度
问题1 高台跳水运动员的速度
探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？
例如，在这段时间里，；
在这段时间里，.
一般地，在这段时间里，.
思考：计算运动员在这段时间里的平均速度，发现了什么？用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
运动员在这段时间里的平均速度为0. 显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.
二、瞬时速度
1.瞬时速度的概念：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
2.求运动员在s时刻的瞬时速度
设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度.
为了求运动员在时的瞬时速度，在之后或之前，任意取一个时刻，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 当时，在1之后；当时，在1之前. 当时，把运动员在时间段内近似看成做匀速直线运动，计算时间段内的平均速度，用平均速度近似表示运动员在时的瞬时速度.当时，在时间段内可作类似处理.为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格.
当时，在时间段内 当时，在时间段内
…… ……
思考：给出更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度的值.当无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？
当无限趋近于0，即无论从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于.
事实上，由可以发现，当无限趋近于0时，也无限趋近于0，所以无限趋近于，这与前面得到的结论一致. 数学中，我们把叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为.
从物理的角度看，当时间间隔无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度. 因此，运动员在s时的瞬时速度.
三、割线与切线的斜率
问题2 抛物线的切线的斜率
1.割线与切线的定义
为了研究抛物线在点处的切线，我们通常在点的附近任取一点，考察抛物线的割线的变化情况.
当点无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线.
2.割线与切线的斜率
（1）割线的斜率
抛物线在点处的切线的斜率与割线的斜率有内在联系.记，则点的坐标是.
于是，割线的斜率.
（2）切线的斜率
我们可以用割线的斜率近似地表示切线的斜率，并且可以通过不断缩短横坐标间隔来提高近似表示的精确度，得到如下表格.
…… ……
当无限趋近于0时，即无论从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线的斜率都无限趋近于2.
事实上，由可以直接看出，当无限趋近于0时，无限趋近于2. 我们把2叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为.
从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点P无限趋近于点，于是割线无限趋近于点处的切线.这时，割线的斜率无限趋近于点处的切线的斜率.因此，切线的斜率.
3、课堂练习
1.某物体沿水平方向运动，其前进距离s（米）与时间t（秒）的关系为，则该物体在运动前2秒的平均速度（单位：米/秒）为( )
A.18 B.13 C.9 D.
答案：C
解析：，该物体在运动前2秒的平均速度为（米/秒）.故选C.
2.若质点A按照规律运动，则在时的瞬时速度为( )
A.6 B.18 C.54 D.81
答案：B
解析：由题可得.故选B.
3.一物体的运动方程为，且在时的瞬时速率为1，则___________.
答案：1
解析：，
，可得.
4、小结作业
小结：本节课学均速度、瞬时速度的概念及求法以及曲线割线与切线斜率的求法.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
5.1.1 变化率问题
1.瞬时速度的概念：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
2.割线与切线的定义：为了研究抛物线在点处的切线，通常在点的附近任取一点，考察抛物线的割线的变化情况，当点无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线.
5.1.1 变化率问题
教学设计
一、教学目标
1.体会由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解平均速度、瞬时速度的区别和联系.
2.掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题.
3.掌握割线与切线的定义，会求其斜率.
二、教学重难点
1、教学重点
瞬时速度的概念、割线与切线的定义及斜率求法.
2、教学难点
割线与切线的斜率.
三、教学过程
1、新课导入
在之前的学习中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道了对数增长是越来越慢的，指数爆炸比直线上升快得多，那么能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？这节课我们就来研究一下这个问题.
2、探索新知
一、平均速度
问题1 高台跳水运动员的速度
探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？
例如，在这段时间里，；
在这段时间里，.
一般地，在这段时间里，.
思考：计算运动员在这段时间里的平均速度，发现了什么？用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
运动员在这段时间里的平均速度为0. 显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.
二、瞬时速度
1.瞬时速度的概念：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
2.求运动员在s时刻的瞬时速度
设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度.
为了求运动员在时的瞬时速度，在之后或之前，任意取一个时刻，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 当时，在1之后；当时，在1之前. 当时，把运动员在时间段内近似看成做匀速直线运动，计算时间段内的平均速度，用平均速度近似表示运动员在时的瞬时速度.当时，在时间段内可作类似处理.为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格.
当时，在时间段内 当时，在时间段内
…… ……
思考：给出更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度的值.当无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？
当无限趋近于0，即无论从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于.
事实上，由可以发现，当无限趋近于0时，也无限趋近于0，所以无限趋近于，这与前面得到的结论一致. 数学中，我们把叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为.
从物理的角度看，当时间间隔无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度. 因此，运动员在s时的瞬时速度.
三、割线与切线的斜率
问题2 抛物线的切线的斜率
1.割线与切线的定义
为了研究抛物线在点处的切线，我们通常在点的附近任取一点，考察抛物线的割线的变化情况.
当点无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线.
2.割线与切线的斜率
（1）割线的斜率
抛物线在点处的切线的斜率与割线的斜率有内在联系.记，则点的坐标是.
于是，割线的斜率.
（2）切线的斜率
我们可以用割线的斜率近似地表示切线的斜率，并且可以通过不断缩短横坐标间隔来提高近似表示的精确度，得到如下表格.
…… ……
当无限趋近于0时，即无论从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线的斜率都无限趋近于2.
事实上，由可以直接看出，当无限趋近于0时，无限趋近于2. 我们把2叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为.
从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点P无限趋近于点，于是割线无限趋近于点处的切线.这时，割线的斜率无限趋近于点处的切线的斜率.因此，切线的斜率.
3、课堂练习
1.某物体沿水平方向运动，其前进距离s（米）与时间t（秒）的关系为，则该物体在运动前2秒的平均速度（单位：米/秒）为( )
A.18 B.13 C.9 D.
答案：C
解析：，该物体在运动前2秒的平均速度为（米/秒）.故选C.
2.若质点A按照规律运动，则在时的瞬时速度为( )
A.6 B.18 C.54 D.81
答案：B
解析：由题可得.故选B.
3.一物体的运动方程为，且在时的瞬时速率为1，则___________.
答案：1
解析：，
，可得.
4、小结作业
小结：本节课学均速度、瞬时速度的概念及求法以及曲线割线与切线斜率的求法.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
5.1.1 变化率问题
1.瞬时速度的概念：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
2.割线与切线的定义：为了研究抛物线在点处的切线，通常在点的附近任取一点，考察抛物线的割线的变化情况，当点无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线.