4.2.2 等差数列的前n项和公式 教案(表格式）

4.2.2等差数列的前n项和公式
(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第二册第四章)
一、教学目标
1. 课程目标
A. 掌握等差数列前n项和公式的推导方法．
B.掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题．
C.掌握等差数列的前n项和的简单性质．
2. 学科素养
(1).数学抽象：等差数列前n项和公式
(2).逻辑推理：等差数列前n项和公式的推导
(3).数学运算：等差数列前n项和公式的运用
二、教学重难点
重点： 等差数列的前n项和的应用
难点：等差数列前n项和公式的推导方法
三、教学过程
教学过程 教学设计意图 核心素养目标
新知探究 据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 1＋2＋3＋…＋100=？ 你准备怎么算呢？ 高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献. 问题1：为什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？这是巧合吗？ 试从数列角度给出解释. 高斯的算法： （1+100）+（2+99）+…+(50+51)= 高斯的算法实际上解决了求等差数列： 1，2，3，…， 前100项的和问题 等差数列中，下标和相等的两项和相等. 设 an＝n，则 a1＝1，a2＝2，a3＝3，… 如果数列{an} 是等差数列，p，q，s，t∈N*， 且 p＋q＝s＋t，则 ap＋aq＝as＋at 可得： 问题2： 你能用上述方法计算1＋2＋3＋… ＋101吗？ 问题3： 你能计算1＋2＋3＋… ＋n吗？ 需要对项数的奇偶进行分类讨论. 当n为偶数时， + 当n为奇数数时， n－1为偶数 + 对于任意正整数n，都有1＋2＋3＋… ＋n 问题4：不分类讨论能否得到最终的结论呢？ 将上述两式相加，得 所以 问题5.上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列的前项和吗？ 倒序求和法 . 等差数列的前n项和公式 已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式 Sn＝ Sn＝
功能1：已知a1，an和n，求Sn . 功能2：已知Sn，n，a1 和an中任意3个，求第4个. 二、典例解析 例6.已知数列{an}是等差数列. （1）若a1=7, =101,求； （2）若a1=2, = ,求； （3）若=，d= , = 5,求 ； 分析：对于（1），可以直接利用公式求和；在（2）中，可以先利用a1和的值求出d ，再利用公式 求和；（3）已知公式 中的，和，解方程即可求得 解：（1）因为a1=7, =101 ，根据公式，可得 =2700. （2）因为a1=2, = ， 所以d= .根据公式 ，可得 = （3）把=，d= , = 5代入 ，得 整理，得 解得或（舍）,所以 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn 这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d， 便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质： 若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用． 跟踪训练1　已知等差数列{an}． (1)a1＝，a15＝－，Sn＝－5，求d和n； (2)a1＝4，S8＝172，求a8和d. [解]　(1)∵a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－. 又Sn＝na1＋d＝－5， 解得n＝15或n＝－4(舍)． (2)由已知，得S8＝＝＝172， 解得a8＝39， 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5. 例7.已知一个等差数列 前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 分析 可得到两个关于的二元一次方程，解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得 解=310, =1220, 把它们代入公式 得 解方程组，得 所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差。 一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定。 例8.某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位. 问第1排应安排多少个座位？ 分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{an} ，设数列{an} 的前项和为。由题意可知， {an}是等差数列，且公差及前20项和已知，所以可利用等差数列的前项和公式求首项。 解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn. 根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20＝800. 由 a1 21 因此，第1排应安排21个座位。 跟踪训练 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ 分析：因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列．工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程． 解:从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－13. 25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480， ∴在24小时内能构筑成第二道防线． 例9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 分析 数项的和。 另一方面，等差数列的前n项和公式可写成， 所以当时， 可以看成二次函数，当= 时函数值。如图，当 时， 关于的图像是一条开口向下的抛物线上的一些点，因此，可以利用二次函数求相应的, 的值。 解法1.由d＝－2，得an＋1－an＝－2＜0，得an＋1＜an ，所以{an}是递减数列. 由a1＝10，d＝－2，得an＝10＋(n－1)×(－2) ＝－2n＋12. 可知，当n＜6时，an＞0； 当n＝6时，an＝0； 当n＞6时，an＜0. 所以, S1＜S2＜…＜S5＝S6＞ S7＞… 也就是说，当n＝5或6时，Sn最大. 因为 =30 所以Sn的最大值为30. 解法2：因为由a1＝10，d＝－2， 因为 所以，当n取与 最接近的整数， 即5或6时，Sn最大，最大值为30. 通过回顾历史中高斯小故事，提出等差数列求和问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。 让学生经历由特殊到一般，分类与整合、数学结合等思想方法，感受等差数列求和公式的推导过程。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。 通过典型例题，加深学生对等差数列求和公式的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素。 通过典型例题，加深学生对等差数列求和公式的综合运用能力。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素
三、达标检测 1．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为(　　) A．20　　　　B．30 C．40 D．50 【答案】C　[∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7， ∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100， ∴a7＝20. ∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.] 2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】A　[由题a1＋a3＋a5＝3，∴3a3＝3. ∴a3＝1又∵S5＝＝＝5.] 3．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2，则(　　) A．an＝2n＋1 B．an＝－2n＋1 C．an＝－2n－1 D．an＝2n－1 【答案】B　[由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得an＝1－2n， 当n＝1时，S1＝a1＝－1符合上式． ∴an＝－2n＋1.] 4．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________. 【答案】190　[S19＝＝＝190.] 5．已知等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12. 【答案】∵Sn＝n·＋·－＝－15， 整理得n2－7n－60＝0， 解之得n＝12或n＝－5(舍去)， a12＝＋(12－1)×＝－4. 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。