5.1.2 导数的概念及其几何意义 教学设计

5.1.2《导数的几何意义》教学设计
一、教材分析：
本节课是《普通高中教科书数学》（人民教育出版社、课程教材研究所A版教材）选择性必修第二册中第5章5.1.2节，它是学均变化率，瞬时变化率基础上，进一步从几何意义的基础上理解导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容，导数的几何意义学习为常见函数的导数计算、研究函数的应用的基础。因此，导数的几何意义有承前启后的重要作用。本节课不仅能帮助学生更好地理解导数的概念，并且能让学生认识导数是刻画函数的单调性、变化快慢和极值等性质最有效的工具，是本章的关键内容.
教学目标：
知识与技能：（1）使学生了解导数的几何意义；
体会“数形结合、以直代曲”的数学思想方法。
过程与方法：渗透“逼近”思想，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探究新知识的精神.
情感与价值：通过揭示割线与切线之间的内在联系，对学生进行辩证唯物主义教育，引导学生从有限中认识无限.
三、教学重点、难点：
重点：导数的概念，导数的几何意义.
难点：导数的概念，曲线切线概念.
三、教学过程设计
（一）旧知回顾
1. 高台跳水运动员的速度
设高台跳水运动员起跳高度h与时间t的函数为，则到的平均速度为
而在时刻的瞬时速度为
2. 抛物线的切线的斜率
设抛物线解析式为，
则割线的斜率为
而在处切线的斜率为
3. 导数的概念
对于函数 ，设自变量从变化到 ，相应地，函数值就从 变化到，的变化量为，的变化量为，
我们把比值，即叫做函数从到的平均变化率.当 时，平均变化率无限接近一个确定的值，即有极限，则称 在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数(也称瞬时变化率)，记作：或 ，即
新知学习
导数表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在 附近的变化情况.那么导数的几何意义是什么？
平均变化率表示什么？
表示割线的斜率.
当点 沿着曲线无限接近于点 ，
割线无限接近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线
称为曲线 在 的切线.
割线的斜率当 时，无限接近函数
在的导数，
导数的几何意义：是函数在处切线的斜率.
继续观察：点处的切线比任何一条割线更贴近点附近的曲线，将附近的曲线不断放大，附近的曲线越来越接近于直线.因此，在附近曲线可以用点处的切线近似代替.
例1 高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数 的图象.根据图象，请描述、比较曲线在附近的变化情况.
解：用曲线在处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.
当 时，曲线在处的切线平行于轴，在附近曲线比较平坦；
当时，曲线h(t)在 处的切线的斜率在附近单调递减, 下降缓慢；
当 时，曲线h(t)在 处的切线的斜率在附近单调递减，但下降迅速.
例2 如图是人体血管中药物浓度 (单位：mg/mL) 随时间t(单位：min)变化的函数图象.根据图象，估计 时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).
解：设血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图象看，它表示曲线f(t)
在此处切线的斜率.作t = 0.8处切线，并在切线上取两点，如
则此刻切线的斜率
课堂总结
导数的概念
对于函数 ，设自变量从变化到 ，相应地，函数值就从 变化到，的变化量为，的变化量为，
我们把比值，即叫做函数从到的平均变化率.当 时，平均变化率无限接近一个确定的值，即有极限，则称 在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数(也称瞬时变化率)，记作：或 ，即
作业
教材第70页，习题5.1
复习巩固 1，2，3