2.4.1 圆的标准方程
题型1-----点与圆的位置关系
1.已知点，，圆，则( )
A. ，都在内 B. 在外，在内 C. ，都在外 D. 在内，在外
2.若点在圆内，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.设有一组圆，下列命题正确的是( )
A. 不论如何变化，圆心k始终在一条直线上 B. 所有圆均不经过点
C. 经过点的圆有且只有一个 D. 所有圆的面积均为
题型2-------圆心坐标与半径长，其中一个已知
1.以圆心，且过点的圆的方程是( )
A. B. C. D.
2.以点为圆心且与轴相切的圆的方程是 ．
3.已知半径为的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
题型3------圆心坐标与半径长，都未知
1.设两点，，则以为直径的圆的方程为 ．
2.若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( )
A. B. C. D.
3.已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为( )
A. B.
C. D.
题型4----利用圆的性质解题
1.圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且该圆的半径为，则圆的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
2.已知圆为圆心，且在第一象限经过，，且为直角三角形，则圆的方程为( )
A. B.
C. D.
3.已知直线过定点，线段是圆的直径，则( )
A. B. C. D.2.4.1 圆标准的方程
题型1-----点与圆的位置关系
1.已知点，，圆，则( )
A. ，都在内 B. 在外，在内 C. ，都在外 D. 在内，在外
【答案】D
解析：点代入圆C方程左侧，得，点A在圆C内；
点代入圆C方程左侧，得点B在圆C外.
选D.
2.若点在圆内，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
解析：，，又．
选A.
3.设有一组圆，下列命题正确的是( )
A. 不论如何变化，圆心k始终在一条直线上 B. 所有圆均不经过点
C. 经过点的圆有且只有一个 D. 所有圆的面积均为
【答案】ABD
解析：对于A选项，圆心坐标为，圆心k始终在直线上，正确；
对于B选项，由.
函数y=，当时，=>4，点(3，0)在圆外，正确；
对于C选项，，整理，得，，有两个不等实根，经过点的圆有两个，C错误；
对于D选项，圆的半径为，圆的面积为，D正确．
故选ABD．
题型2-------圆心坐标与半径长，其中一个已知
1.以圆心，且过点的圆的方程是( )
A. B. C. D.
【答案】C
解析：半径r==1.
圆的方程： .
故选C．
2.以点为圆心且与轴相切的圆的方程是 ．
【答案】
解析：如图，所求圆与轴相切，圆的半径.
所求圆的方程：．
答案：．
注：“利用已知点与坐标轴的相对位置关系，确定半径长”是关键.
3.已知半径为的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
解析：圆心的轨迹是以为圆心，半径r为的圆，
.
如图,圆心C到原点的距离的最小值===4.
注：“根据圆上点与圆外点的相对位置，确定所求最值”是关键.
题型3------圆心坐标与半径长，都未知
1.设两点，，则以为直径的圆的方程为 ．
【答案】
解析：线段AB中点坐标C(5，6)，点C是圆心；
直径===，半径r==.
所求圆的方程：．
答案：．
2.若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】B
解析：由题意可知该圆的圆心必在第一象限，且圆心的横纵坐标相等，半径等于横(纵)坐标.
设圆心的坐标为，则圆的半径也为，则圆的标准方程为．
，整理得，解得或.
圆心的坐标为或.
圆心到直线的距离 ；
圆心到直线的距离.
圆心到直线的距离为．
故选B．
注：“根据已知条件，挖掘圆心的横纵坐标关系”是关键.
3.已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
解法1------几何法：
线段的中点坐标为，直线的斜率为.
线段的中垂线的方程为：，即.
解方程组，得，圆心坐标为，半径.圆的方程为，即.
故选C．
解法2----待定系数法
设圆C的标准方程：().
，，前两个方程做差，得，，代入，得.
圆的方程为，即.
注：仔细体会两种方法，体会各自的优缺点.
题型4----利用圆的性质解题
1.圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且该圆的半径为，则圆的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】D
解析：设A(1，2)，根据题意，直线是弦AC的垂直平分线，则圆心在此直线上.
设圆心C坐标为
=， =，得或.
圆心C坐标为(0，0)或(－1，1).
圆C的方程为或
故选D．
2.已知圆为圆心，且在第一象限经过，，且为直角三角形，则圆的方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
解析：圆心C在弦AB的中垂线上，可设圆心.
为直角三角形，C一定是直角.
0，(1，b)(－1，b)=0，+=0，(负值舍去，因为圆心在第一象限).
圆的方程为：，
故选：．
注：前两题关键是由圆的性质“线的中垂线过圆心”切入.
3.已知直线过定点，线段是圆的直径，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
解析：直线，整理，得+
解方程组，得.
圆心，半径r为，如图。
，
.
．
故选：．
注：本题计算关键是“线段BC是圆的直径，是互为相反向量”.
