第11章 解三角形章节重点复习（解析版）
一、重点知识巩固
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则
正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R (R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C
常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝
解决的问题 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
2.三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)． (2)S＝bcsin A＝absin C＝acsin B.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)．
3. 重要结论
内角和定理
二、典型例题
题型一.求解斜三角形中的基本元素
例1.在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c等于 ( )．
A. B．8 C．10 D．7
解析 c2＝a2＋b2－2abcos C＝92＋(2)2－2×9×2cos 150°＝147＝(7)2，∴c＝7
变式训练
（1）在△ABC中，若a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为 ( B)．
A. B. C. D.
解析 ∵c
（2）在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝( )
A．4 B．2 C. D.
【解析】 在△ABC中，根据正弦定理，得＝，
∴AC＝＝＝2. 【答案】 B
题型二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．
例4. (2005年北京春季高考题)在中，已知，那么一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
解法1：由＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，
即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故选(B)．
解法2：由题意，得cosB＝，再由余弦定理，得cosB＝．
∴ ＝，即a2＝b2，得a＝b，故选(B)．
变式训练.在△ABC中，若＝＝，试判断三角形的形状．
解析：由正弦定理知＝＝，∴sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝. 又∵>1，∴B>A，∴△ABC为直角三角形．
题型三：解决与面积有关问题
例5.在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为 ( A )．
A. B．3 C. D．7
解析∵S△ABC＝AB·ACsin A＝，∴AC＝1.由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3.即BC＝.
变式训练 .的内角的对边分别为，已知，，，则的面积为（）.
A. B. C. D.
解析：先由正弦定理解出的值，再运用面积公左求解.解析：因为，，所以由正弦定理，得，即，所以.所以.故选B.
题型四.解三角形与三角恒等变换公式
例6．在中，内角对边的边长分别是，已知，．
（Ⅰ）若的面积等于，求；
（Ⅱ）若，求的面积．
解析：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，
又因为的面积等于，所以，得．
联立方程组解得，．
（Ⅱ）由题意得，即，
当时，，，，，
当时，得，由正弦定理得，
联立方程组解得，．所以的面积．
题型五：正余弦定理解三角形的实际应用
例7. 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。
解析：由正弦定理得，∴AC=AB=120m，又∵，解得CD=60m。
变式训练 ：一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________海里/时．
【解析】 如图．由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.
在△PMN中，由正弦定理，得＝，∴MN＝34.
又由M到N所用时间为14－10＝4小时，∴船的航行速度v＝＝(海里/时)．
【答案】
课后巩固练习
1.在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b. 若2asinB=b，则角A等于（ A ）
A. B. C. D.
2.在中，内角的对边分别为若且则（A ）
3.的内角的对边分别是，若，，，则（ B ）
A. B. 2 C. D.1
8.设，，则的值是____________。
5.在△中，角，，对应的边分别是，，. 已知.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△的面积，求的值.
10．如图3－8－2所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a km B.a km
C.a km D．2a km
【解析】 在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°，
∴AB2＝a2＋a2－2a2cos 120°＝3a2，AB＝a.
【答案】 B
9．如图3－8－3，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m．则这条河的宽度为________m.
图3－8－3
【解析】 因为∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，
则∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，所以AC＝AB＝120 m，
所以S△ABC＝·AC·AB·sin A＝×120×120×＝3 600，
设这条河的宽度为h，则S△ABC＝×AB·h，∴h＝AC·sin A＝120×＝60(m)．【答案】 60第11章 解三角形章节重点复习（解析版）
一、重点知识巩固
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则
正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R (R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C
常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝
解决的问题 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
2.三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)． (2)S＝bcsin A＝absin C＝acsin B.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)．
3. 重要结论
内角和定理
二、典型例题
题型一.求解斜三角形中的基本元素
例1.在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c等于 ( )．
A. B．8 C．10 D．7
变式训练
（1）在△ABC中，若a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为 ( )．
A. B. C. D.
（2）在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝( )
A．4 B．2 C. D.
题型二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．
例4. (2005年北京春季高考题)在中，已知，那么一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
变式训练.在△ABC中，若＝＝，试判断三角形的形状．
题型三：解决与面积有关问题
例5.在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为 ( )．
A. B．3 C. D．7
变式训练 .的内角的对边分别为，已知，，，则的面积为（）.
A. B. C. D.
题型四.解三角形与三角恒等变换公式
例6．在中，内角对边的边长分别是，已知，．
（Ⅰ）若的面积等于，求；
（Ⅱ）若，求的面积．
题型五：正余弦定理解三角形的实际应用
例7. 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。
变式训练 ：一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________海里/时．
课后巩固练习
1.在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b. 若2asinB=b，则角A等于（ ）
A. B. C. D.
2.在中，内角的对边分别为若且则（ ）
3.的内角的对边分别是，若，，，则（ ）
A. B. 2 C. D.1
4.设，，则的值是____________。
5.在△中，角，，对应的边分别是，，. 已知.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△的面积，求的值.
6．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a km B.a km
C.a km D．2a km
7．如图3－8－3，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m．则这条河的宽度为________m.