5.2.2同角三角函数的基本关系 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
5．2.2　同角三角函数的基本关系
(一)教材梳理填空
同角三角函数的基本关系：
1
1
tan α
α的正切
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
答案：A　
答案：C　
4．已知3sin α＋cos α＝0，则tan α＝________.
[方法技巧]
求同角三角函数值的一般步骤
(1)根据已知三角函数值的符号，确定角所在象限．
(2)对角所在象限进行分类讨论．
(3)利用两个基本关系式求出其他三角函数值．
(4)根据角所在象限确定由平方关系开方后的符号，进而求出其三角函数值．　　
[方法技巧]
1．三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
2．证明三角恒等式常用的技巧及遵循的原则
(1)常用技巧：弦切互化、整体代换、1的代换等．
(2)原则：由繁到简、变异为同．　　
题型三　同角三角函数基本关系式的灵活运用　
【学透用活】
sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系：
(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；
(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ；
(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；
(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ.
sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ与sin θcos θ三个式子，可以由其中一个，求出另外两个的值．
[深化探究]
sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的符号怎样判断？
提示：(1)sin θ－cos θ的符号的判定方法：由三角函数的定义知，当θ的终边落在直线y＝x上时，sin θ＝cos θ，即sin θ－cos θ＝0；当θ的终边落在直线y＝x的上半平面区域内时，sin θ＞cos θ，即sin θ－cos θ＞0；当θ的终边落在直线y＝x的下半平面区域内时，sin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0.如图①所示．
(2)sin θ＋cos θ的符号的判定方法：由三角函数的定义知，当θ的终边落在直线y＝－x上时，sin θ＝－cos θ，即sin θ＋cos θ＝0；当θ的终边落在直线y＝－x的上半平面区域内时，sin θ＞－cos θ，即sin θ＋cos θ＞0；当θ的终边落在直线y＝－x的下半平面区域内时，sin θ＜－cos θ，即sin θ＋cos θ＜0.如图②所示．　　　
[方法技巧]
已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法
(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．　　
8a2－4a≥0
1＋2sin θcos θ
sin θcos θ＝a＜0
类似地，还能得到cot2α＋1＝csc2α.习惯上，人们经常借助如图所
示的六边形图形来记忆三角函数的基本关系式以及上述三角函数
关系式：图中六边形的每一条对角线上的两个元素之积为1，
即cos αsec α＝1，sin αcsc α＝1，tan αcot α＝1.
每一个倒立的正三角形中，上方两个顶点元素的平方和等于下方顶点元素的平方，即sin2α＋cos2α＝1等．