5.2.1三角函数的概念 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
5.2　三角函数的概念
5．2.1　三角函数的概念
明确目标 发展素养
1.借助单位圆理解任意角三角函数 (正弦、余弦、正切)的定义． 2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号． 3.掌握诱导公式一并会应用. 1.通过三角函数的概念，培养数学抽象素养．
2.借助公式的运算，提升数学运算素养.
知识点一　三角函数的定义
(一)教材梳理填空
1．任意角的三角函数的定义：
前提
如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)
续表
y
sin α
x
cos α
tan α(x≠0)
三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
续表
[微思考]　三角函数值的大小与点P在角α终边上位置是否有关？
提示：三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在角α终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
2．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域：
三角函数 定义域
sin α R
cos α R
tan α
_____________________
3.三角函数值的符号：
如图所示：
正弦： 象限正， 象限负；
余弦： 象限正， 象限负；
正切： 象限正， 象限负．
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
[微思考]　三角函数值在各象限的符号由什么决定？
提示：由α的终边所在的象限决定．
一二
三四
一四
二三
一三
二四
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0. (　　)
(2)若sin α＞0，则α是第一或第二象限角． (　　)
(3)对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义． (　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×
2．若sin α<0，tan α>0，则α在 (　　)
A．第一象限　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：由sin α<0可知α在第三或第四象限，由tan α>0可知α在第一或第三象限，综上，α在第三象限．
答案：C
答案：B
知识点二　诱导公式一
(一)教材梳理填空
(1)终边相同的角的同一三角函数的值 ______.
(2)公式
[微思考]　同一三角函数值相等时，角是否一定相等或相差周角的整数倍？
相等
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)若α＝β＋720°，则cos α＝cos β. (　　)
(2)若sin α＝sin β，则α＝β. (　　)
答案：(1)√　(2)×
答案：C　
题型一　 三角函数的定义与应用　
[探究发现]
(1)一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α，cos α，tan α为何值？
(2)对于一个任意给定的角α，按照上述定义，对应的sin α，cos α，tan α的值是否存在？是否唯一？
提示：角α的终边在y轴上时，tan α的值无意义，除此之外，其他的角的三角函数值都是唯一确定的．
(3)若已知α终边所在的直线方程为y＝kx，则如何求sin α，cos α，tan α的值．
【对点练清】
1．若本例(2)中的条件变为“已知角α的终边落在直线y＝2x上”，求sin α，cos α，tan α的值．
2．已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α.
[典例2]　(1)已知点P(sin θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是 (　　)
A．第一象限　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°；
②tan 191°－cos 191°；
③sin 2cos 3tan 4.
[解析]　(1)由点P(sin θ，sin θcos θ)位于第二象限，
可得sin θ＜0，sin θcos θ＞0，可得sin θ＜0，cos θ＜0，
所以角θ所在的象限是第三象限．
[方法技巧]
有关三角函数值符号问题的解题策略
(1)已知角α的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的公共部分即角α的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．
(2)对于多个三角函数值符号的判断问题，要进行分类讨论．
(3)对于确定角α是第几象限角的问题，应先确定题目中所有三角函数值的符号，然后依据上述三角函数值的符号来确定角α是第几象限角，它们的公共部分即为所求；对于已知角α的终边所在的象限来判断角α的三角函数值的符号问题，则常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来解决．　　
【对点练清】
1．若三角形的两内角α，β满足sin α·cos β＜0，则此三角形必为 (　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上三种情况都有可能
解析：三角形的两内角α，β的终边一定落在第一、二象限或y轴正半轴上，sin α·cos β＜0，所以sin α＞0，cos β＜0，所以角β为钝角，此三角形为钝角三角形．
答案：B　
题型三　诱导公式一的应用　
【学透用活】
对诱导公式一的三点说明
(1)公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等．
(2)公式一的结构特征：
①左、右为同一三角函数；
②公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α.
注意公式一中的条件k∈Z不可遗漏．
(3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)范围内的角的三角函数值．
[方法技巧] 利用诱导公式一进行化简求值的步骤
提示：错误．错误的根本原因是忽视对点的坐标中的参数进行分类讨论．实际上本题中要分x＝0和x≠0两种情况讨论．
二、应用性——强调学以致用
2．[好题共享——选自人教B版新教材]将如图(1)所示的摩天轮抽象成如图(2)所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x轴，建立平面直角坐标系．设O到地面的高OT为l m，点P为转轮上任意一点，转轮半径OP为r m．记以OP为终边的角为α rad，点P离地面的高度为h m，试用l，r与α表示h.
[析题建模]　
解：过点P作x轴的垂线，垂足为M，则：
当α的终边在第一、二象限或y轴正半轴上时，
h＝OT＋MP＝l＋rsin α；
当α的终边在第三、四象限或y轴负半轴上时，
因为MP＝－rsin α，此时h＝OT－MP＝l＋rsin α；
当α的终边在x轴上时，sin α＝0，此时h＝OT＝l＋rsin α.
所以，不管α的终边在何处，都有h＝l＋rsin α.