5.1.2弧度制 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
5．1.2　弧度制
明确目标 发展素养
1.了解任意角的弧度制． 2.能进行弧度与角度的互化． 3.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数． 4.了解角度制与弧度制的区别与联系. 1.通过对弧度制概念的学习，培养数学抽象素养．
2.借助弧度制与角度制的换算，提升数学运算素养.
知识点一　角度制与弧度制
(一)教材梳理填空
1．度量角的两种制度：
角度制 定义 用 为单位进行度量角的单位制
1度的角
1度的角等于周角的 ，记作1°
弧度制 定义 以 为单位来度量角的单位制
1弧度 的角 长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
1弧度记作1 ____
度
弧度
半径长
rad
2.弧度数：
提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
3．角度制与弧度制的换算：
4．角度制与弧度制的比较：
由于进位制不同，同一个角的弧度数与角度数一般是不同的．
[微思考]　(1)半径不同的圆中，相同的圆心角所对的弧度数是否相同？
提示：相同．角的弧度数的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．
(2)2°与2弧度的角是否表示同一个角？
提示：不是同一个角.2°是角度制，2是弧度制，2 rad约为115°.
角度制 用度作为单位来度量角的单位制 单位“°”不能省略 角的正负与方向有关 六十进制
弧度制 用弧度作为单位来度量角的单位制 单位“rad”可以省略 角的正负与方向有关 十进制
5．一些特殊角与弧度数的对应关系：
0
2π
60°
180°
答案：C　
知识点二　扇形的弧长和面积公式
(一)教材梳理填空
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝ .
(2)扇形面积公式：S＝ ＝ .
αR
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝r|α|＝1×30＝30(cm)． ( )
(2)若扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则扇形的弧长也扩大为原来的2倍． ( )
(3)若扇形的半径和弧长都变为原来的2倍，则扇形的面积变为原来的2倍．( )
答案：(1)×　(2)√　(3)×
题型一　 角度与弧度的换算　
【学透用活】
角与实数的对应
(1)角的概念推广后，无论是用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：即每一个角都有唯一的一个实数(如这个角的度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(如弧度数或角度数等于这个实数的角)与它对应．
(2)由于弧度制的单位与实数单位一致，所以能给研究问题带来方便．
题型二　用弧度制表示角有关的角　
【学透用活】
[典例2]　已知角α＝2 005°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．
[方法技巧]
1．弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
3．用弧度表示角的注意点
(1)注意角度与弧度不能混用．
(2)各终边相同的角需加2kπ，k∈Z.
(3)求两个角的集合的交集时，注意应用数轴直观确定，可对k进行适当的赋值．　　
2. 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)，
并判断2 012°是不是这个集合的元素．
提示：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负．
(2)在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？
提示：若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果易出错．
【学透用活】
[典例3]　已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
[方法技巧]
1．弧度制下有关扇形弧长、面积问题的解题策略
涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．　　
2 ．扇形弧长、面积公式的变形运用
3 ．谨记3个注意点
(1)在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负.
(2)看清角的度量制，选用相应的公式.
(3)扇形的周长等于弧长加两个半径长.
【对点练清】
1．已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积．
2．已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
二、应用性——强调学以致用
2．某单位拟建一个扇环形状的花坛(如图所示)，按设计要求扇
环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小
圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度)．
(1)求θ关于x的函数关系式；
(2)已知对花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用之比为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值．
[析题建模]　 (1)利用扇形的弧长公式，结合扇环面的周长，可求θ关于x的函数关系式．
(2)分别求出花坛的面积、装饰总费用，可求y关于x的函数关系式，然后换元，利用基本不等式求最大值．