5.1.1任意角 课件（共41张PPT）

(共41张PPT)
第五章 三角函数
5．1　任意角和弧度制
5．1.1　任意角
明确目标 发展素养
1.了解角的概念的推广过程，理解任意角的概念． 2.掌握终边相同角的含义及其表示． 3.掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法. 1.通过终边相同角的计算，培养数学运算素养．
2.借助任意角的理解，培养数学抽象素养．
3.借助任意角的终边位置的确定，提升逻辑推理素养.
知识点一　任意角的概念
(一)教材梳理填空
1．角的概念：
角可以看成平面内 绕着它的 旋转所成的图形．
2．角的表示：
如图所示：
(1)始边：射线的 位置OA.
(2)终边：射线的 位置OB.
一条射线
端点
起始
终止
(3)顶点：射线的端点O.
(4)记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“ ”．“角α”或“∠α”可简记为“α”．
3．角的分类：
按旋转方向可分为三类：
∠AOB
4．角的加法与减法：
设α，β是任意两个角， 为角α的相反角．
(1)α＋β：把角α的 旋转角β.
(2)α－β：α－β＝ ．
－α
终边
α＋(－β)
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)大于90°的角都是钝角． (　　)
(2)零角的终边与始边重合． (　　)
(3)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大． (　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
2．将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为 (　　)
A．120°　　　　　　 B．－120°
C．240° D．－240°
答案：A
知识点二　象限角与终边相同的角
(一)教材梳理填空
1．象限角：
(1)象限角的概念：我们通常在直角坐标系内讨论角．为了方便，使角的顶点与 重合，角的始边与 重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是 ___________ .
如果角的终边在 上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．
坐标原点
x轴的非负半轴
第几象限角
坐标轴
(2)象限角的集合表示：
[微思考]　“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？
提示：锐角是第一象限角，也是大于0°且小于90°的角；而第一象限角可以是锐角，也可以大于360°，还可能是负角；小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角．
象限角 角的集合表示
第一象限角 _________________________________
第二象限角 {x|90°＋k·360°＜x＜180°＋k·360°，k∈Z}
第三象限角 {x|180°＋k·360°＜x＜270°＋k·360°，k∈Z}
第四象限角 __________________________________________
{x|k·360°＜x＜90°＋k·360°，k∈Z}
{x|270°＋k·360°＜x＜360°＋k·360°，k∈Z}
2．终边相同的角：
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|_____________________}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
β＝α＋k·360°，k∈Z
3．轴线角的集合：
角α终边的位置 角α的集合表示
在x轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z}
在x轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
在y轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
在y轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z}
在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z}
[微思考]　定义或求象限角、终边相同的角的前提条件是什么？
提示：定义或求象限角、终边相同的角时，必须注意前提条件：角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)第二象限角大于第一象限角． (　　)
(2)第二象限角是钝角． (　　)
(3)相等的角终边一定相同． (　　)
(4)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍． (　　)
答案：(1)×　(2)×　(3) √　(4)√
2．与45°角终边相同的角是 (　　)
A．－45° B．225°
C．395° D．－315°
解析：因为45°＝－315°＋360°，所以与45°角终边相同的角是－315°.
答案：D　
3．与610°角终边相同的角表示为(其中k∈Z) (　　)
A．k·360°＋230° B．k·360°＋250°
C．k·360°＋70° D．k·180°＋270°
解析：∵610°＝360°＋250°，∴610°与250°角的终边相同，故选B.
答案：B
4．已知0°≤α＜360°，且α与800°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角．
解析：因为800°＝360°×2＋80°，所以80°角与800°角的终边相同，且0°≤80°＜360°，故α＝80°，它是第一象限角．
答案：80°　一
题型一　任意角的概念及应用　
【学透用活】
1．角的概念的推广
(1)角的概念是通过角的终边的运动来推广的，根据角的终边的旋转“方向”，得到正角、负角和零角．
(2)表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉，箭头方向代表角的正负．
2．用旋转来描述角时需要注意的三个要素
(1)旋转中心：射线旋转时绕的端点．
(2)旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正、负数来表示，那么许多问题就可以解决了．
(3)旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360°，角度的绝对值可大于360°.于是就会出现720°，－540°等角度．
[典例1]　(1)(多选)下列说法正确的是 (　　)
A．锐角都是第一象限角
B．第一象限角一定不是负角
C．小于180°的角是钝角、直角或锐角
D．在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角
(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
①420°；②855°；③－510°.
[解析]　(1)锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以A正确；－350°角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以C错误；因为在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，所以D正确．
答案： (1) AD
(2)作出各角的终边，如图所示：
由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．
③－510°是第三象限角．
[方法技巧]
1．理解角的概念的关键与技巧
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
2．象限角的两种判定方法
(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．
(2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；
第二步，判断β的终边所在的象限；
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
[提醒]　理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．　　
【对点练清】
1．给出下列说法：
①终边在y轴非负半轴上的角是直角；
②始边相同而终边不同的角一定不相等；
③三角形的内角必是第一、二象限角；
④第四象限角一定是负角；
⑤{α|α＝k·180°，k∈Z}＝{0°，180°，360°}．
其中正确说法的个数是 (　　)
A．1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4
2．射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，则∠AOD＝________.
解析：如图，∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD
＝(－80°)＋250°＋(－270°)
＝－100°.
答案：－100°
题型二　终边相同的角的表示及应用　
【学透用活】
对终边相同的角的说明
所有与角α终边相同的角，连同角α在内(而且只有这样的角)，可以用式子α＋k·360°，k∈Z表示．在运用时，需注意以下几点：
(1)k是整数，这个条件不能漏掉．
(2)α是任意角．
(3)k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)．
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
[典例2]　在与10 030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角：
(1)最大的负角；(2)－360°～720°范围内的角．
(2)由－360°≤10 030°＋k·360°<720°，
得－10 390°≤k·360°<－9 310°.
又k∈Z，解得k＝－28，－27，－26.
当k＝－28时，β＝10 030°－28×360°＝－50°；
当k＝－27时，β＝10 030°－27×360°＝310°；
当k＝－26时，β＝10 030°－26×360°＝670°.
故所求的角β的值为－50°，310°，670°.
[方法技巧]
1．在某个范围内找与已知角终边相同的角的方法
求在某个范围内与已知角α终边相同的角时，首先将这样的角表示成k·360°＋α(k∈Z)的形式，然后由k·360°＋α(k∈Z)在限制范围内，建立不等式，通过求解不等式，确定k的值，求出满足条件的角．或者采用赋值法求解，看角是否在限制范围内，从而求出满足条件的角．
2．终边相同的角常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．　　
【对点练清】
1．与－463°终边相同的角可以表示为 (　　)
A．k·360°＋463°(k∈Z) B．k·360°＋103°(k∈Z)
C．k·360°＋257°(k∈Z) D．k·360°－257°(k∈Z)
解析：因为－463°＝257°－2×360°，所以与－463°终边相同的角可以表示为k·360°＋257°(k∈Z)．
答案：C　
2．已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限的角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
题型三　区间角的表示　
[探究发现]
(1)若射线OA的位置是k·360°＋10°，k∈Z，射线OA绕点O逆时针旋转90°经过的区域为D，则终边落在区域D(包括边界)的角的集合应如何表示？
提示：终边落在区域D(包括边界)的角的集合可表示为{α|k·360°＋10°≤α≤k·360°＋100°，k∈Z}．
(2)若角α与β的终边关于x轴，y轴，原点，直线y＝x对称，则角α与β分别具有怎样的关系？
提示：①关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.
②关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.
③关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.
④关于直线y＝x对称：若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.
【学透用活】
[典例3]　已知如图所示的图形．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
[解]　(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；
终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有在－30°～135°范围内的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
[方法技巧]
1．象限角的判定方法
(1)根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为在0°～360°范围内的角与直角坐标系中的射线可建立一一对应的关系．
(2)将角转化到在0°～360°范围内．在直角坐标系内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．
2．表示区间角的三个步骤
(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的在－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．　　
【对点练清】
1．[变条件]若将本例改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)
表示的终边相同的角的集合如何表示？
解：在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可
表示为150°≤β ≤225°，则所有满足条件的角β为
{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．
2.[变条件]若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分
(实线包括边界)的角的集合如何表示？
解：在0°～360°范围内，终边落在阴影部分的角为60°≤β＜105°与240°≤β ＜285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β＜
k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β ＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β ＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β ＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β ＜n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．
问题1：你能用另一种方法验证上述解法的正确性吗？
问题4：通过以上问题的求解方法，你能得出什么结论？
二、应用性——强调学以致用
一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动，
若两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬
过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°＜α＜β＜180°)，如果两
只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β
的值．
[析题建模]