第五章三角函数 章节复习 学案（含答案）

专项培优5章末复习课
　
考点一　三角函数求值
1．三角函数求值是高考重点考查内容之一，常涉及到三角函数的概念、同角三角函数基本关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式，熟记以上公式是解决问题的前提．
2．通过对三角函数求值问题的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例1　(1)已知α∈(0，)，且3cos2α＋sinα＝1，则(　　)
A．sin (π－α)＝B．cos (π－α)＝－
C．sin (＋α)＝－D．cos (＋α)＝－
(2)若tanθ＝－2，则＝(　　)
A．－B．－
C．D．
(3)已知α，β∈(－)，tanα＝3，cos (α＋β)＝－，则tan (α－β)＝(　　)
A．－B．
C．2D．
考点二　三角函数的图象
1．三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定．
2．通过对三角函数图象的变换和根据图象求解析式的考查，提升学生的直观想象和数学运算素养．
例2　(1)要得到函数y＝sinx＋cosx的图象，只需将函数y＝cos2x的图象上所有的点(　　)
A．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
B．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
C．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
D．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
(2)(多选)如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝(　　)
A.sin (2x＋)
B．sin (－2x)
C．cos (2x＋)
D．cos (－2x)
考点三　三角函数的性质
1．对三角函数的性质考查多以三角函数的最值(或值域)、单调性、奇偶性、对称性为主，在研究以上性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．
2．通过对三角函数性质的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例3　(1)下列区间中，函数f(x)＝7sin (x－)单调递增的区间是(　　)
A．(0，) B．(，π)
C．(π，) D．(，2π)
(2)(多选)已知三角函数f(x)＝2sin (2x＋)，以下对该函数的说法正确的是(　　)
A．该函数的最小正周期为π
B．该函数在(－)上单调递增
C．x＝－为其一条对称轴
D．该函数图象关于点(－，0)对称
(3)已知函数f(x)＝2sin (2x＋)＋m，x∈R，且f(x)在上的最小值为0.
①求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
②求f(x)的最大值以及取得最大值时x的取值集合．
考点四　三角恒等变换、三角函数的图象与性质
的综合
1．利用和差角、二倍角及其变形公式将函数f(x)的表达式变换为f(x)＝Asin (ωx＋φ)的形式，再研究f(x)的图象与性质(如求周期、单调区间、最值等)，这是处理三角函数问题最基本且最重要的通法．
2．通过对三角恒等变换、三角函数的图象与性质的综合考查，提升学生的逻辑推理、直观想象和数学运算素养．
例4　已知函数f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x.
(1)求f(x)的单调增区间；
(2)当x∈，求f(x)的值域，并求取得最小值时x的取值集合．
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考点聚集·分类突破
例1　解析：(1)∵3cos2α＋sinα＝1，α∈(0，)，
∴3(1－2sin2α)＋sinα＝1，即6sin2α－sinα－2＝0，
∴sinα＝或sinα＝－(舍去)，
∴cosα＝，sin (π－α)＝sinα＝，cos (π－α)＝－cosα＝－，sin (＋α)＝cosα＝，cos (＋α)＝－sinα＝－，故选项A正确．
(2)将式子进行齐次化处理得：
＝＝sinθ(sinθ＋cosθ)
＝＝＝＝.故选C.
(3)因为α∈(－)，tanα＝3>0，故α∈(0，)，
因为β∈(－)，故－<α＋β<π，而cos (α＋β)＝－<0，
故<α＋β<π，所以tan (α＋β)＝－2，
故tanβ＝tan [(α＋β)－α]＝＝1，
所以tan (α－β)＝＝.故选B.
答案：(1)A　(2)C　(3)B
例2　解析：(1)y＝sinx＋cosx＝cos (x－)，
将函数y＝cos2x的图象上所有的点向右平移个单位长度得到y＝cos2(x－)＝cos (2x－)，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝cos (x－)．
(2)由函数图象可知：＝＝，∴T＝π，则|ω|＝＝＝2，
不妨令ω＝2，当x＝＝时，y＝－1，
∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得：φ＝2kπ＋(k∈Z)，
即函数的解析式为：y＝sin (2x＋＋2kπ)＝sin (2x＋)，故A正确；
又sin (2x＋)＝sin (π＋2x－)＝sin (－2x)，故B正确；
又sin (2x＋)＝sin (2x＋)＝cos (2x＋)，故C正确；
而cos (2x＋)＝cos (π＋2x－)＝－cos (2x－)＝cos (－2x)，故D错误．
答案：(1)A　(2)ABC
例3　解析：(1)因为函数y＝sinx的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，
对于函数f(x)＝7sin (x－)，由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
取k＝0，可得函数f(x)的一个单调递增区间为[－]，
则(0，) [－]，(，π) [－]，A选项满足条件，B不满足条件；
取k＝1，可得函数f(x)的一个单调递增区间为[]，
[π， [－]且[π， []，[，2π []，CD选项均不满足条件．
(2)函数f(x)＝2sin (2x＋)，
函数的最小正周期为T＝＝＝π，故选项A正确；
当x∈(－)时，2x＋∈(0，)，而y＝2sinx在(0，)上单调递增，在()上单调递减，
所以函数f(x)＝2sin (2x＋)在(－)上单调递增，在()上单调递减，故选项B错误；
因为f(－)＝2sin＝0，所以函数f(x)＝2sin (2x＋)图象关于点(－，0)对称，故选项D正确，C错误．
(3)①f(x)的最小正周期为π.
令－＋2kπ≤2x＋＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
②当x∈时，2x＋∈.
f(x)min＝2×(－)＋m＝0，
解得m＝1.
所以f(x)＝2sin (2x＋)＋1.
当2x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值，且最大值为3.
故f(x)的最大值为3，取得最大值时x的取值集合为
答案：(1)A　(2)AD　(3)见解析
例4　解析：(1)f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x
＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－2sinxcosx
＝(cos2x－sin2x)－2sinxcosx＝cos2x－sin2x＝cos (2x＋)，
∵π＋2kπ≤2x＋≤2π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调增区间为，k∈Z.
(2)当x∈，∴－≤2x≤，∴－≤2x＋，
所以－≤cos (2x＋)≤1，－1≤cos (2x＋)≤，
∴f(x)的值域为[－1，].当2x＋＝时，即x＝，
∴f(x)取最小值时x的集合为.
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