第24章 圆（提高篇）-2022-2023学年九年级数学上册单元复习效果通关检测（人教版）

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第24章 圆（提高篇）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ）
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A． B．4 C． D．8
2．如图，在平面直角坐标系中，，，半径为2，P为上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是　　
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A．1 B． C．2 D．
3．如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（　　）．
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A．60° B．50° C．40° D．20°
4．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D；若∠A＝23°，则∠D的度数是(　　)
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A．23° B．44° C．46° D．57°
5．如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
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A．45° B．50° C．55° D．60°
7．如图，在Rt中，∠BCA=90° 两分圆别以为半径画圆，则阴影部分的面积为（ ）
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A． B． C． D．
8．如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
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A． B．1 C． D．
9．工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是 ( http: / / www.21cnjy.com )否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（ ）
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A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
10．如图，AB为的直径，延长AB到点P，过点P作的切线PC，PD，切点分别为C，D，连接CD交AP于点M，连接BD，AD．若，，则AD的长为（ ）
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A． B． C．2 D．
2、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，在⊙中，半径垂直于弦，点在圆上且，则的度数为_____．
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12．如图所示，AB是⊙O的直径，弦于H，，则⊙O的半径是_______．
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13．如图，在平面直角坐标系 ( http: / / www.21cnjy.com )xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为___________．
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14．如图，在平面直角坐标系中，点A在轴负半轴上，点B在轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是________
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15．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=__________．
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16．如图，在中，的半径为点是边上的动点，过点作的一条切线(其中点为切点)，则线段长度的最小值为____．
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17．如图，弧AB所对圆 ( http: / / www.21cnjy.com )心角∠AOB＝90°，半径为4，点C是OB中点，点D是弧AB上一点，CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，则AE的最小值是________．
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18．如图，是的弦，，点是优弧上的动点，，连接，，是的中线，
（1）若，则______；
（2）的最大值______
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三、解答题（本大题共6小题，共60分）
19．（8分）如图，在⊙O中，尺规作图的部分作法如下：
（1）分别以弦AB的端点A、B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；
（2）作直线OM交AB于点N．若，，则______．
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20．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD交AC于点E，延长AD，BC交于点F，且CF=AC．【来源：21cnj*y.co*m】
(1)求证∶CD=AD；
(2)若AD=，AB=，求FD的长．
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21．（10分）如图，已知是的直径，是的切线，点是切点，弦于点，连接．
(1) 求证：平分；
(2) 若，，，求的长．
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22．（10分）如图，已知圆内接四边形的边长分别为，，，求四边形的面积．
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23．（10分）如图，是的直径，是的切线，交于另一点，且
(1) 求证：；
(2) 若为的中点，，连接，求的长及阴影部分的面积．
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24．（12分）如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，其中∠BAC＝90°，过点A作直线AD交CB的延长线于D，且∠BAD＝∠C．21教育名师原创作品
(1) 求证：AD为⊙O的切线；
(2) ①F为OB中点，OE⊥AC于E，连接OA、EF交于G点，探究EG与GF的关系并说明理由；
② 延长AO交⊙O于H，连接FH，若EF＝FH，则∠ACB＝______度．
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参考答案
1．C
解：∵直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE=CD，
∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=45°，
∴OE=CE，
设OE=CE=x(x>0)，
∵OC=4，
∴x2+x2=16，
解得：x=2，
即：CE=2，
∴CD=4，
故选：C．
2．B
【分析】
如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH利用三角形的中位线定理可得EH=1，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆．
解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH．
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，，
，
点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆，
，，
，
，
的最小值，
故选B．
【点拨】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点E的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．21世纪教育网版权所有
3．B
【分析】
根据题意连接AD，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的的大小.
解：连接，
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∵为的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选B．
【点拨】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握.
4．B
【分析】
连接OC，由切线的性质可得∠OCD=90°，由圆周角定理可求得∠COD的度数，再由直角三角形两锐角互余即可求得答案.21*cnjy*com
解：连接OC，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵∠COD=2∠A=46°，
∴∠D=90°﹣46°=44°，
故选B．
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【点拨】本题考查了切线的性质，圆周角定理等，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键.
5．C
【分析】
由切线长定理判断①，结合等腰三角形的性质判断②，利用切线的性质与直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，判断③，利用反证法判断④．
解：如图， 是的两条切线，
故①正确，
故②正确，
是的两条切线，
取的中点，连接，
则
所以：以为圆心，为半径作圆，则共圆，故③正确，
M是外接圆的圆心，
与题干提供的条件不符，故④错误，
综上：正确的说法是个，
故选C．
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【点拨】本题考查的是切线长定理，三角形的外接圆，四边形的外接圆，掌握以上知识是解题的关键．
6．B
【分析】
先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．21*cnjy*com
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．
∵，∠BAC=25°，
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．
【点拨】本题考查圆内接四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
7．A
解：设各个部分的面积为：，如图所示，
∵两个半圆的面积和是： ，△ABC的面积是，阴影部分面积是：，
∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．
即阴影部分的面积=π×4+π×1-4×2÷2=π-4．
故选：A.
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8．D
【分析】
根据题意，扇形ADE中弧DE的长即为圆锥底面圆的周长，即通过计算弧DE的长，再结合圆的周长公式进行计算即可得解．
解：∵正方形的边长为4
∴
∵是正方形的对角线
∴
∴
∴圆锥底面周长为，解得
∴该圆锥的底面圆的半径是，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，正方形的性质以及圆锥的相关知识点，熟练掌握弧长公式及圆的周长公式是解决本题的关键．
9．C
【分析】
连接OA，OE，设OE与AB交于点P，根据，，得四边形ABDC是矩形，根据CD与切于点E，OE为的半径得，，即，，根据边之间的关系得，，在，由勾股定理得，，进行计算可得，即可得这种铁球的直径．
解：如图所示，连接OA，OE，设OE与AB交于点P，
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∵，，，
∴四边形ABDC是矩形，
∵CD与切于点E，OE为的半径，
∴，，
∴，，
∵AB=CD=16cm，
∴，
∵，
在，由勾股定理得，
解得，，
则这种铁球的直径＝，
故选C．
【点拨】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
10．A
【分析】
连接，设，的半径为，由勾股定理求出，在中，由可得方程，代入的值，可求出x的值，再根据勾股定理可得出结论．
解：连接，如图所示，
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∵PC，PD是的切线，
∴
设
∵
∴
∴
设的半径为
∴
在中，，
解得，
在中，
∵是的切线，
∴
在中，
∵
∵
∴
整理得，
∴
解得，或（舍去）
∴
∴
在中，，故A正确．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了切线长定理，垂径定理，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
11．
【分析】
利用圆周角与圆心角的关系即可求解．
解：，
，
，
，
，
故答案为．
【点拨】此题考查圆周角与圆心角，解题关键在于求出
12．2
【分析】
连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出，由直角三角形的性质得出，得出，求出即可．
解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦于H，
，
，
在中，，
，
即⊙O的半径是2；
故答案为2
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【点拨】考查的是垂径定理、圆周角定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
13．（6，6）
【分析】
如图：由题意可得M在AB、 ( http: / / www.21cnjy.com )BC的垂直平分线上，则BN=CN；证得ON=OB+BN=6，即△OMN是等腰直角三角形，得出MN=ON=6，即可得出答案.
解：∵圆M是△ABC的外接圆
∴点M在AB、BC的垂直平分线上，
∴BN=CN，
∵点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0）
∴OA=OB=4，OC=8，
∴BC=4，
∴BN=2，
∴ON=OB+BN=6，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵OM⊥AB，
∴∠MON=45°，
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴MN=ON=6，点M的坐标为（6，6）．
故答案为（6，6）．
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【点拨】本题考查了三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的外接圆与外心、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，其中判定△OMN为等腰直角三角形是解答本题的关键．
14．D（，1）
【分析】
先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA＝2，所以A（ 2，0），B（0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标．21cnjy.com
解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，
∴∠ABO＋∠ACO＝180°，
∴∠ABO＝180° 120°＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙D的直径，
∴D点为AB的中点，
在Rt△ABO中，∵∠ABO＝60°，
∴OB＝AB＝2，
∴OA＝OB＝2，
∴A（ 2，0），B（0，2），
∴D点坐标为（ ，1）．
故答案为（ ，1）．
【点拨】本题考查了圆周角 ( http: / / www.21cnjy.com )定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质．【版权所有：21教育】
15．44°
【分析】
首先连接OB，由点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，根据等角的余角相等，易证得∠CBP=∠CPB，利用等腰三角形的性质解答即可．
解：连接OB，
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∵BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°，
∵OA=OB，∠OAB=22°，
∴∠OAB=∠OBA=22°，
∴∠APO=∠CBP=68°，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠CPB=∠ABP=68°，
∴∠OCB=180°-68°-68°=44°，
故答案为44°
【点拨】此题考查了切线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
16．
【分析】
如图：连接OP、OQ，根据,可得当OP⊥AB时，PQ最短；在中运用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求得AB、AQ的长，然后再运用等面积法求得OP的长，最后运用勾股定理解答即可．
解：如图：连接OP、OQ，
∵是的一条切线
∴PQ⊥OQ
∴
∴当OP⊥AB时，如图OP′，PQ最短
在Rt△ABC中，
∴AB=2OB=,AO=cos∠A·AB=
∵S△AOB=
∴，即OP=3
在Rt△OPQ中，OP=3,OQ=1
∴PQ=．
故答案为．
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【点拨】本题考查了切线的性质、含30°直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的性质、勾股定理等知识点，此正确作出辅助线、根据勾股定理确定当PO⊥AB时、线段PQ最短是解答本题的关键．21教育网
17．
【分析】
先证明△ECM≌△DCO（SAS）， ( http: / / www.21cnjy.com )得到EM＝OD＝4，点E在以点M为圆心，半径为4的圆上，当A、E、M三点共线时，AE取最小值AM－EM，过点M作MN⊥AO交AO的延长线于点N，证明四边形COMN是正方形，得到MN＝OC＝ON＝2，用勾股定理求出AM，得到答案．2-1-c-n-j-y
解：过点C作MC⊥OB，且使得CM＝OC，连接EM，OD，则∠OCM＝90°，
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∵点C是OB中点，
∴OC＝BC＝OB＝2，
∴CM＝OC＝2，
∵CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，
∴∠OCM＝∠DCE，
∴∠OCM＋∠OCE＝∠DCE＋∠OCE，
∴∠ECM＝∠DCO，
在△ECM和△DCO中，
，
∴△ECM≌△DCO（SAS），
∴EM＝OD＝4，
∴点E在以点M为圆心，半径为4的圆上，
∴当A、E、M三点共线时，AE取最小值，
作M作MN⊥AO交AO的延长线于点N，
∴∠MNO＝∠MCO＝∠CON＝90°，
∴四边形COMN是矩形，
∵CM＝OC，
∴四边形COMN是正方形，
∴MN＝OC＝ON＝2，
∴AN＝AO＋ON＝6，
∴AM＝，
∴AE的最小值为AM－EM＝，
故答案为：2．
【点拨】此题考查了圆的基本性质、勾股定理、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，构造辅助圆是解决此题的关键．
18． 2
【分析】
（1）如图，延长交于点D，连接，根据，由圆周角定理得到，再根据已知，可得到，所以是的直径，再根据是的中线，由垂径定理的推论得到，最后利用勾股定理可求解； 21·cn·jy·com
（2）如图，连接、，由圆周角定理得到，然后利用勾股求出圆的半径，再根据点P是优弧上的动点，是的中线，结合三角形的三边关系定理可得到，，当为的直径时最大，这时可求得的最大值．【出处：21教育名师】
解：（1）如图，延长交于点D，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是的直径，
∵是的中线，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得．
故答案为：2
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（2）如图，连接、，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵点P是优弧上的动点，是的中线，
∴，，
即，
当为的直径时最大，此时，
即
∴的最大值为．
故答案为：
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【点睛】本题考查的是圆与三角形的综合问题—动点问题，主要考查了圆周角定理、垂径定理的推论、勾股定理、三角形的三边关系定理等知识．发现当为的直径时可使取得最大值是解决问题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
19．（1）见分析；（2）6
【分析】
（1）根据作图过程作图即可；
（2）根据作图过程和圆的性质可得OM是AB的垂直平分线，即可根据勾股定理可得ON的长．
解：（1）如图所示：
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（2）如图，连接OA，
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∴OA=OB，
∴O在AB的垂直平分线上
根据作图过程可知：M在AB的垂直平分线上，
∴OM是AB的垂直平分线
∴AN=BN=AB=8，
在Rt△OBN中，OB=10，BN=8，
根据勾股定理，得
故答案为：6
【点拨】本题考查了作图-基本作图，垂径定理，解决本题的关键是根据作图过程得OM是AB的垂直平分线
20．(1)见分析；(2)
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质可得∠CAF=∠F，再由圆周角定理即可证明；
（2）过点C作CG⊥AF于点G，根据等腰三角形的性质可得AG=FG，然后根据勾股定理列出方程求解即可．21·世纪*教育网
(1)证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵CF=AC，
∴∠CAF=∠F，
∴∠ACB=∠CAF+∠F=2∠CAD，
∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ACD+∠CAD，
∴2∠CAD=∠ACD+∠CAD，
∴∠CAD=∠ACD，
∴CD=AD；
(2)如图，过点C作CG⊥AF于点G，
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∵AC=CF=AB=2，
∴AG=FG，
在Rt ACG中，根据勾股定理可得：
，
在Rt DCG中，根据勾股定理可得：
，
∴，
由（1）知：CD=AD=，
∴AG=AD+DG=+DG，
∴8-3=，
解得：，
∴AG=，
∴FD=，
∴FD的长为．
【点拨】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理等知识点，熟练运用这些知识点是解题关键．
21．(1)见分析(2)8
【分析】
（1）连接，根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据等角的余角相等可得出结论．
（2）根据垂径定理得到，根据勾股定理求出的半径，根据角平分线的性质定理解答即可．
(1)证明：连接，
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相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴平分．
(2)由可知，，
，，
，
设的半径为r，则，
在中，，
即，
解得：，
，
，，，
．
【点拨】本题考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及角平分线的判定及性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
22．8
【分析】
连接BD，延长BC到E,使CE=AB ( http: / / www.21cnjy.com )=2，连接DE，然后证明△ABD≌△CED，得出四边形ABCD的面积与三角形BDE的面积相等，最后利用三角形的面积公式求解即可．www.21-cn-jy.com
解：连接BD，延长BC到E,使CE=AB=2，连接DE，过点D作DF⊥BC，垂足为F，
∵圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠A=∠DCE，
∵AB=CE,AD=DC，
∴△ABD≌△CED，
∴BD=DE，
∴四边形ABCD的面积与三角形BDE的面积相等，
∵DF⊥BC，
∴BF=EF=(BC+CE)=BE=×8=4，
∴FC=EF-CE=4-2=2，
在Rt△DEC中，
DF=，
∴=×8×2=8．
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【点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质，圆的内接四边形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形．
23．(1)45°(2)的长为；阴影部分面积为
【分析】
（1）连接，证明，可得 再利用切线的性质可得答案；
（2）过点作于点，连接，，证明，求解， 可得的长为；再利用可得阴影部分的面积．
(1)解：连接，∵是的直径，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，
又∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴；
(2)过点作于点，连接，，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴的长为；
【点拨】本题考查的是等腰直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形的性质，三角形中位线的性质，切线的性质，圆周角定理的应用，弧长的计算，扇形面积的计算，掌握圆的基本性质与圆中的计算是解本题的关键．2·1·c·n·j·y
24．(1)见分析(2)①EG＝FG，理由见分析；②45
【分析】
（1）由OA＝OC得∠C＝ ( http: / / www.21cnjy.com )∠OAC，由∠BAD＝∠C等量代换得∠OAC＝∠BAD，再由∠BAC＝90°可得∠BAD+∠OAB＝90°，即可得出结论；
（2）①取OA的中点K，连接FK，由三角形中位线可证明△GOE≌△GKF，即可得出EG＝FG；
②延长FG交AC于M，连接AF ( http: / / www.21cnjy.com )，先证明FM垂直平分AE，得到EF＝AF，进而得到AF＝FH，由等腰三角形的性质可得∠AOF＝90°，由圆周角定理即可得到∠C＝45°．www-2-1-cnjy-com
(1)证明：∵OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC，
∵∠BAD＝∠C，
∴∠OAC＝∠BAD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠OAC+∠OAB＝90°，
∴∠BAD+∠OAB＝90°，
∵OA为⊙O的半径，
∴AD为⊙O的切线；
(2)①EG＝FG，
理由：如图，取OA的中点K，连接FK，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵F是OB的中点，K是OA的中点，
∴FK是△OAB的中位线，
∴FKAB，FK＝AB，
∵OE⊥AC，
∴E是AC的中点，
∵O是BC的中点，
∴OE是△CAB的中位线，
∴OEAB，OE＝AB，
∴OEFK，OE＝FK，
∴∠OEG＝∠KFG，∠GOE＝∠GKF
∴△GOE≌△GKF（ASA），
∴EG＝FG；
②如图，延长FG交AC于M，连接AF，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵OE⊥AC，OEFK，
∴FK⊥AC，
∵OF＝FB，OEMFAB，
∴EM＝AM，
∴FM垂直平分AE，
∴EF＝AF，
∵EF＝FH，
∴AF＝FH，
∵AO＝OH，
∴FO⊥AH，
∴∠AOF＝90°，
∴∠C＝45°，
故答案为：45．
【点拨】本题考查了切线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，垂径定理，掌握圆的相关性质定理是解题的关键
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